7.2.2 二重积分的计算法(2)

二重积分的计算法（2）

一、利用极坐标系计算二重积分

1122

i (ri ri) i ri 221

(2ri ri) ri i2

r (r r) ri i

2

i ri i,

D

f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd .

D

二重积分化为二次积分的公式（１）

区域特征如图极点在区域之外 ,

1( ) r 2( ).

2( )

r ( )

f(rcos ,rsin )rdrd

d

D

1( )

f(rcos ,rsin )rdr.

区域特征如图

, 1( ) r 2( ).

r( )

f(rcos ,rsin )rdrd

D

d

2( )

1( )

f(rcos ,rsin )rdr.

二重积分化为二次积分的公式（２）

区域特征如图（极点在D的边界上） ,0 r ( ).

D

r ( )

f(rcos ,rsin )rdrd

d

D

( )

f(rcos ,rsin )rdr.

注意内下限未必全为0

区域特征如图

（极点在D的内部）

A

0 2 ,0 r ( ).

( )

D

f(rcos ,rsin )rdrd

d

02

f(rcos ,rsin )rdr.

极坐标系下区域的面积

rdrd .

D

例1 写出积分 f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形

D

式，其中积分区域

D {(x,y)|1 x y 1 x, 0 x 1}.

解在极坐标系下

2

x rcos

y rsin

所以圆方程为 r 1,

1

直线方程为r ,

sin cos

x y 1

22

f(x,y)dxdy

D

x y 1

d 2

1

1sin cos

f(rcos ,rsin )rdr.

例2 计算 e

D

x2 y2

dxdy，其中D 是由中心在

原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.

解

在极坐标系下

D：0 r a，0 2 .

e

D

x2 y2

dxdy d e

x2

2 a

r2

rdr (1 e

D2

a2

).

例3 求广义积分 0e

解

22

dx.

2

2

2

D1 {(x,y)|x y R}D2 {(x,y)|x y 2R}

S {(x,y)|0 x R,0 y R}

2

S

D1

{x 0,y 0}

显然有 D1 S D2

e

x2 y2

0,

e

D1

x2 y2

dxdy e

S

x2 y2

dxdy e

D2

x2 y2

dxdy.

又 I

e

S

R0

2

x2 y2

dxdy

R

y

2

e

I1 e

D1

x

2

dx e

dy ( 0e

2

R

x2

dx);

2

x y

2

dxdy d e

R

r

2

同理I2 e

D2

x2 y2

2R2

dxdy (1 e);

4

R2

rdr (1 e);

4

I1 I I2,

R R2 x22 2R2

(1 e) ( edx) (1 e);

044 当R 时,I1 ,I2 ,44

故当R 时,

所求广义积分 edx .

0222

例4 计算 (x y)dxdy，其 D为由圆

x2

I ,

4

即(

e

x2

dx) ,

4

2

D

x y 2y，x y 4y及直线x 3y 0， y 3x 0 所围成的平面闭区域.

解

2222

y x 0

2

3

x y 4y

x y 0

22

r 4sin

1

6

x y 2y

2

2

D

22

r 2sin

3

d r rdr(x y)dxdy 2sin

6

4sin

2

15( 3).

2

2

2

sin( x y)

dxdy例5 计算二重积分 , 22

x yD

22

其中积分区域为D {(x,y)|1 x y 4}.

解由对称性，可只考虑第一象限部分，

D 4D1

注意：被积函数也要有对称性.

sin( x y)sin( x y)

4dxdy x2 y2dxdy x2 y2

D1D

2sin r2

4 d rdr 4.

01r

2222

例6 求曲线 (x y) 2a(x y)222

和x y a所围成的图形的面积.

解

根据对称性有 D 4D1

222222

在极坐标系下

x y a r a,

222

(x y) 2a(x y) r a,

222222

r a由 ,

r a

所求面积 dxdy

D

aa

得交点A (a,),

6

4 dxdy

D1

4 d

6

例7 计算

D

R x yd ,D:x y Rx

Rcos

2

2

2

rdr a2( ).

3222

2

解

I

R rrdr 0 Rcos 3d 1222

(R r)3

d

13222

[R (R Rcos )]d 3

32

R 3

3

[1 sin ]d

3

3

(注意(sin ) |sin |)

2

3

2

3

2R 3

320

(1 sin )d

R4 ( )33

3

例8

求球体x y z 4a被圆柱面x y 2ax(a 0)

2

2

2

2

2

2

所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解

由对称性

V 4 4a2 2 d d

D

4

/2

d

2acos

4a d

22

323 2 a

( )323

附、二重积分的换元法

设f(x,y)在xoy平面上的闭区域D上

连续，变换T:且满足

(1)x(u,v),y(u,v)在D 上具有一阶连续偏导；数 (x,y)

(2)在D 上雅可比式J(u,v) 0;

(u,v)

(3)变换T:D D是一对一的，则有

x x(u,v),y y(u,v)

将uov平面上的闭区域D 变为xoy平面上的D，

D

f(x,y)dxdy

D

f[x(u,v),y(u,vJ(u,v)dudv.

极坐标可看成是从极坐标平面ro 到直角

即对于ro 平坐标平面xoy的一种变换，

面上的一点M (r, )，通过上式变换，变成xoy平面上的一点M(x,y)，且这种变换是一对一的．

D上定理设f(x,y)在xoy平面上的闭区域连续，变换T:且满足

(1)x(u,v),y(u,v)在D 上具有一阶连续偏导；数 (x,y)

(2)在D 上雅可比式J(u,v) 0;

(u,v)

(3)变换T:D D是一对一的，则有

x x(u,v),y y(u,v)

将uov平面上的闭区域D 变为xoy平面上的D，

D

f(x,y)dxdy f[x(u,v),y(u,vJ(u,v)dudv.

D

例1

计算 e

D

y xy x

dxdy,其中D由x轴、y轴和直

线x y 2解

令u y x,

v y x,

v u则x ,

2

D D ,即

v uy .

2

x 0 u v;y 0 u v;

ux y 2 v 2.

11 (x,y)122J ,11 (u,v)222故

e

D

y xy x

1

dxdy e dudv

2D

u

v

uv

v1221 1 1

dv edu (e e)vdv e e.

v2020

例

xy

计算1 dxdy,其中D为22 abD

2

2

22

xy

椭圆2 2 1所围成的闭区域．

ab

解

x arcos ,作广义极坐标变换

y brsin ,

其中a 0,b 0,r 0,0 2 .

在这变换下D D {(r, )0 r 1,0 2 },

(x,y)J abr.

(r, )

J在D 内仅当r 0处为零，故换元公式仍成立，

D

xy2

1 2 2 1 rabrdrd abD

22

2

ab.3

例3求由直线

x y c,x y d,y ax,y bx(y所围成的闭区域的面积。

uuvcy解：令u x y,v ,则x ，y

1 v1 vx

'

D D

D' {(u,v)|c u d,a v b}

又雅可比式

(x,y)uJ 0,(u,v) D'2

(u,v)(1 v)

y

d

所求面积为

22bdudv(b a)(d c)

dxdy udu 22 a(1 v)c(1 v)2(1 a)(1 b)DD'

小结

同时也兼顾被积函数f(x,y)的形式．

1．作什么变换主要取决于积分区域D的形状，

基本要求:变换后定限简便，求积容易．

(x,y)1

2.J .

(u,v) (u,v)

(x,y)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/77c4.html