爆炸力学讲义 - 图文

爆炸力学

讲

义

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第一章绪论

§1.1 爆炸力学的基本概念

爆炸效应是多种多样的，包括物理、力学、化学等多个学科领域，如主要以力学的观点和方法来研究爆炸，则可称之为“爆炸力学”。郑哲敏教授和朱兆祥教授提出：“爆炸力学是力学的一个分支，是主要研究爆炸的发生和发展规律以及爆炸的力学效应的应用和防护的学科”。

爆炸力学从力学角度研究化学爆炸、核爆炸、电爆炸、粒子束爆炸(也称辐射爆炸)、高速碰撞等能量突然释放或急剧转化的过程，以及由此产生的强冲击波(又称激波)、高速流动、大变形和破坏、抛掷等效应。自然界的雷电、地震、火山爆发、陨石碰撞、星体爆发等现象也可用爆炸力学方法来研究。

爆炸力学是流体力学、固体力学和物理学、化学之间的一门交叉学科，在武器研制、交通运输和水利建设、矿藏开发、机械加工、安全生产等方面有广泛的应用。 §1.2 爆炸力学的发展历程

人们知道利用爆炸能为自己服务已经有很长的历史了，可以说从炸药发明以后就开始了。黑火药是我国古代四大发明之一，这在我国是家喻户晓的常识，但在西方国家却不这么认为。丁儆教授在1980年参加美国国际烟火技术会议（IPS)，在会上作报告述及中国发明火药和烟火技术的事实，引起许多欧美学者的惊异，因为西方教材中都说火药是英国的罗吉?培根（Roger Bacon）发明的，为了纠正西方的错误，丁儆教授回国后进行了中国古代火药和爆炸方面历史的研究，研究表明，大约在公元8世纪（唐朝），中国就出现了火药的原始配方，在十世纪已应用于军事，北宋初官修著的《武经总要》中记载有火炮、蒺藜火球和毒烟火球等几种实战武器的火药配方。宋代周密揆在《葵辛杂记》中记载了火药产生的爆炸事故：“??守兵百余人皆糜碎无余，盈栋皆寸裂，或为炮风崩至十余里外。”《宋史》记载元兵破静江时有：“??娄乃令所都人拥一火炮燃之，声如雷霆，震城土皆崩，烟气涨天外，兵多惊死者。”火药的知识由阿拉伯人传入欧洲，直到十三世纪，英国人罗吉?培根才涉及火药的配方和应用，他的工作比中国人晚300~500年。之后丁儆教授先后在日本（1987年）和美国（1989年、1990年）及很多不同的场合宣讲我国古代的成就，以历史的事实和科学的态度，纠正了西方的错误观点，捍卫了我国古代文明的贡献。

尽管我国古代在爆炸领域做出过卓越的贡献，但是近代爆炸力学的基础是在19世纪以来由欧洲学者完成的。17世纪匈牙利开始有火药用于开矿的记载。19世纪中叶开始，欧美各国大力发展铁路建设和采矿事业，大量使用黑火药，工程师们总结出工程爆破药量计算的许多经验公式。1846年硝化甘油发明后，瑞典科学家诺贝尔制成了硝化甘油系列的几种混合炸药，并于1865年发明了雷管，实现了“爆轰”，开创了爆炸的新时期。随着两次世界大战以及爆炸的工业应用，爆炸力学的学科基础逐步形成。

英国工程师兰金和法国炮兵军官雨贡纽研究了冲击波的性质，后者又完整地解决了冲击载荷下杆中弹性波传播问题。查普曼和儒盖（1899年、1905）各自独立地创立了平稳自持爆轰理论，后者还写出第一本爆炸力学著作《炸药的力学》。

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对爆炸力学的研究与对许多其它先进技术的研究一样，首先是出于军事的需要。第一次和第二次世界大战，高能炸药已经得到了广泛的使用，出现了飞机、大炮和坦克等多种先进武器。为了控制破片的大小和方向，提高炮弹、导弹的杀伤力，人们开始研究炸药对金属的破碎机理；为了提高穿甲弹、破甲弹的穿深、威力，提高坦克的防御能力，人们研究了炸药对金属的动力学作用原理。

第二次世界大战期间，爆炸的力学效应问题由于战时的需要引起许多著名科学家的重视。泰勒研究了炸药作用下弹壳的变形和飞散，并首先用不可压缩流体模型，研究锥形罩空心药柱形成的金属射流及其对装甲的侵彻作用。泰勒、卡门、拉赫马图林各自独立创建了塑性波理论，发展了测定冲击载荷下材料的力学性能的方法。

泽利多维奇和诺伊曼研究了爆轰波的内部结构，使爆轰理论得到巨大的进展。朗道和斯坦纽科维奇等研究了爆轰产物的状态方程，并推进了非定常气体动力学的发展。科克伍德等建立了水下爆炸波的传播理论。

原子武器的研制大大促进了凝聚态炸药爆轰、固体中的激波和高压状态方程以及强爆炸理论的研究。泰勒、诺伊曼和谢多夫各自建立了点源强爆炸的自模拟理论，以麦奎因为代表的美国科学家对固体材料在高压下的物理力学性能作了系统的研究。经过这一时期的工作，爆炸力学作为一门具有自己特点的学科终于形成。

当然，当时这些研究都是秘密进行的，又由于当时科技条件的限制，开始时人们对炸药在高温、高压、高速下对金属的动态作用过程和行为的研究进展很缓慢。爆炸力学真正独立成为一门学科，还是近六、七十年的事，随着科学技术的发展，特别是随着x光摄影技术、高速摄影技术、瞬态示波器、计算机等先进仪器的出现，为爆炸力学的研究提供了极其有利的条件，通过这些仪器设备，人们可以观察、记录爆炸作用下介质材料内部和外部的变化情况。x光摄影机，可以记录固体介质材料（如金属、岩石、混凝土等）在爆炸作用下内部裂纹发展和破坏的情况；高速摄影机，可以在炸药爆炸整个过程，记录爆炸作用下介质材料（固体、液体）的运动和外部破坏情况。目前好的高速相机可达500万幅/秒；示波器可以记录某一观察点在爆炸作用下瞬间的压力、速度、温度等变化历程，目前好的示波器可以记录纳秒（10-9）甚至皮秒（10-12）量极发生的变化，大量的第一手资料，使爆炸力学很快发展和充实起来。

第二次世界大战后，核武器和常规武器的效应及其防护措施的研究继续有所发展。同时炸药在民用方面的应用越来越广泛，人们除了使用炸药进行传统的开山炸石、采矿、采煤、筑路、修坝外，还应用炸药进行爆炸焊接、爆炸切割、爆炸成型、爆炸合成和定向爆破。特别是第二次世界大战以后，大量需要拆除的危旧楼房，使定向爆破技术迅速发展了起来。同这些新技术发展相适应，爆炸力学也就发展成为包括有爆轰学、冲击波理论、应力波理论、材料动力学、空中爆炸和水中爆炸力学、高速碰撞动力学(包括穿甲力学、终点弹道学)、粒子束高能量密度动力学、爆破工程力学、爆炸工艺力学、爆炸结构动力学、瞬态力学测量技术等分支学科和研究领域。

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§1.3 爆炸力学的研究内容和应用

爆炸力学的一个基本特点是研究高功率密度的能量转化过程，大量能量通过高速的波动来传递，历时特短，强度特大。其次，爆炸力学中的研究，常需要考虑力学因素和化学物理因素的耦合、流体特性和固体特性的耦合、载荷和介质的耦合等，因此，多学科的渗透和结合成为爆炸力学发展的必要条件。

爆炸研究促进了流体和固体介质中冲击波理论、流体弹塑性理论、粘塑性固体动力学的发展。爆炸在固体中产生的高应变率、大变形、高压和热效应等推动了凝聚态物质高压状态方程、非线性本构关系、动态断裂理论和热塑不稳定性理论的研究。爆炸的瞬变过程的研究则推动了各种快速采样的实验技术，其中包括高速摄影、脉冲x射线照相、瞬态波形记录和数据处理技术的发展。爆炸力学还促进了二维、三维、具有各种分界面的非定常计算力学的发展。

爆炸力学在军事科学技术中起重要作用。在发展核武器、进行核试验、研究核爆炸防护措施方面，爆炸力学是重要工具。在各种常规武器弹药的研制、防御方面，炸药爆轰理论、应力波传播理论和材料的动态特性理论等都是理论基础。激光武器和粒子束武器也需要从爆炸力学的角度进行研制，爆炸力学研究还为航天工程提供多种轻便可靠的控制装置。爆炸力学实验技术(如冲击波高压技术)为冲击载荷下材料的力学性能的研究提供了方法和工具。

在矿业、水利和交通运输工程中，用炸药爆破岩石(爆破工程)是必不可少的传统方法。现在光面爆破、预裂爆破技术的应用日益广泛。在城市改造、国土整治中，控制爆破技术更是十分重要。爆炸在机械加工方面也有广泛的应用，如爆炸成型、爆炸焊接、爆炸合成金刚石、爆炸硬化等。

目前全世界每年消耗炸药几千万吨，我国每年炸药的消耗也有几百万吨之巨，80%以上都是民用消耗。工程爆破的规模小到几毫克，大到万吨级的都有。如用炸药碎石治疗膀胱结石的方法，用药量一般在2~20毫克，1992年12月28日珠海大爆破的总装药量达到1.2万吨，爆破总方量1085.2万立方米。进行如此规模的爆破，需要复杂的爆破设计和高难度的技术，仅靠经验是不行的。这就要求我们对炸药爆炸作用下介质的动力学性质有足够的了解和掌握，事先要进行精确的计算和设计（当然这里所说的精确是相对我们的要求来说的，并不是绝对的精确。）所以要求我们研究爆炸在除金属以外，在一般介质中的传播和作用机理。而我们所要学习的爆炸力学方面的知识，主要就是着重于民用爆破理论的研究，主要是学习炸药爆炸后，其爆炸波在空气、岩石、土、混凝土、水等的传播和作用机理。

爆炸力学是一门交叉科学，它涉及流体动力学、气体动力学、固体力学、物理学和化学动力学等多学科的知识。通过爆炸力学的学习，使同学们看一般爆破设计时都知道其理论依据，毕业后再加上一定的实际工作经验，很快就能独立地进行爆破工程设计，对爆破过程中出现的一些问题和现象有一个思路，知道应该从哪个方面去解决

爆炸现象十分复杂，并不要求对所有因素都进行精确的描述，因此抓住主要矛盾进行实验和建立简化模型。特别是运用和发展各种相似律或模型律，具有重要意义。

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爆炸力学近几十年来虽然发展很快，但它还不能算是一门成熟的学科。在爆炸力学的许多问题上还都有争议，各有各的一套理论和数据、公式。其中许多公式都不是纯理论推导的，而是建立在实验之上的经验和半经验公式。因为是以实验为基础的，由于各自的实验条件不同，再加上爆炸本身具有一定的不确定性，所以个人得出的数据就不尽相同，因此对同一个参数具有不同的公式表达形式。有些你也不能说谁对谁错，因为它们各自都有各自的使用条件。所以希望同学们学习了爆炸力学后，掌握一些爆炸力学的理论和研究方法，出去后通过自己的实验数据来建立一套适合我国地质条件或适合各种特殊地质条件地下的公式。

炸药爆炸后，爆炸作用是以爆炸波的形式在介质中传播的，因此在讲爆炸对介质的作用之前有必要讲一些应力波的基本知识。

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第二章 固体中的应力波理论

§2.1 概述

固体中的应力波主要是研究当固体物质突然受到冲击载荷的作用时，其内部应力、应变的变 化情况。材料受到冲击载荷的例子很多，如炸药的爆炸作用、子弹、汽车的高速碰撞等。甚至我们日常生活中用锤子击打钉子时，锤子与钉子的作用，飞掷石块，石块与接触物的作用等都属于冲击载荷，只是载荷强度小些而已。

物体在冲击载荷的作用下，材料内部的运动、变形和断裂机理与静态实验的结果有很大区别。静力学理论所研究的是处于静态平衡状态下的固体介质，常规静态实验中载荷随时间的变化不显著，材料的应变率一般在10-5~10-1秒-1量级。这时可以忽略介质微元的惯性，以前我们在普通物理、材料力学、弹性力学、理论力学等学科中所接触的力学问题都属于静力学的范畴，它们在处理问题时都不考虑介质微元的惯性，不考虑随时间变化材料内部状态的变化情况。

而当物体受到冲击在和作用时，情况就不同了。冲击载荷的特征就是历时短，也就是说冲击载荷的作用时间很短，它使物体的运动参数在毫秒、微秒，甚至毫微秒的短暂时间内就发生了显著的变化。例如，子弹以102~103米/秒的速度打在靶板上，炸药与固体物体接触爆炸，在历时几个，十几个微秒的时间内，压力就升高到十几，几十万个大气压，此时，材料的应变率一般在102~105秒-1，有时甚至高达107秒-1，比静态高得多，在这样的动载荷作用下，介质微元所受的力处于随时间迅速变化着的动态过程，对此就要考虑介质微元的惯性。大量的实验表明，在应变率不同时，材料的力学性能也往往不同。通常表现为随着应变率的提高，材料的屈服极限提高（?y?）、强度极限提高（?u?）、延伸率降低（??L??LL），屈服滞后和断裂滞后等现象变得明显起来。

其原因，一个是由于介质质点的惯性作用，另一个重要因素就是材料本身的本构关系和应变率有关。从热力学角度来讲，静态条件下，应力、应变关系接近于等温过程，而高应变率条件下的动态应力、应变关系接近于绝热过程，为了研究冲击载荷作用下力的作用过程，就引入了应力波的研究。

事实上，当外载荷作用于固体介质某部分时，如图2.1所示，一开始只有那些直接受到外载荷作用的那部分介质质点离开了初始位置，远离外载荷作用点的材料的其它部分的介质质点由于惯性的作用仍位于原来的位置，并没有发生运动。因为初始质点的运动，使其与相邻介质质点之间发生了位移，这部分介质质点当然要受到相邻介质质点给与的作用力，但同时也给相邻介质质点以反作用力，

而使它们也离开初始位置而运动起来。依此类推，外载荷所引起的扰动就这样由近及远的传播出去，形成了所谓的应力波。

扰动区域未扰动区的分界面称为波阵面，扰动的传播速度称为波速。常见材料的波速在

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102~103量级，例如，钢是8300m/s、有机玻璃是2600m/s等，在应力波的学习时，我们应该注意区分波速和质点速度两个不同的概念。波速（c）是指扰动的传播速度，而质点速度(u)则是介质质点本身的运动速度。 u一般比c小得多。

如果由扰动引起的介质质点的运动速度的变化u与波速c的传播方向一致，则把这种扰动波称为纵波；如果由扰动引起的介质

点速度的变化u与波速c垂直，则称为横波。

如图2.2所示，像这样一个轴，突然施加一个图示方向的冲击力，所产生的应力波（扰动）是沿轴向传播的，也即c沿轴向，而介质质点却沿切向运动，就形成了一个横波。

纵波由法向应力引起，在法向应力应力作用下，介质微元的体积发生变化，因此纵波又称为膨胀波、法向波，体积波；横波由剪应力引起，介质微元在剪应力作用下仅发生变形，而体积不变，因此，横波由称为剪切波、等体积波或畸变波。

一切固体都具有惯性和可变形性，当受到随时间变化的外载荷作用时，它的运动过程总是一个应力的传播和相互作用过程，在静力学中只是由于载荷随时间变化的比较缓慢，可忽略或没有必要去考虑在达到静力平衡前应力波的传播和相互作用。在冲击载荷作用下，由于在与应力波传过物体长度所需时间相比是同量级或更低量级的时间尺度上，载荷已经发生了显著变化，甚至已经作用完毕，我们在研究这种载荷作用下物体的运动情况时，就必须考虑应力波的传播过程。

人们对应力波的研究已经有一百多年的历史，由线弹性波的研究发展到大变形非弹性波；由低压的弹性波和极高压的流体应力波的研究发展到弹塑性和粘塑性波；由单纯波发展到复合波；由连续波的研究发展到具有多阶间断的奇异面波的研究，如冲击波和加速波等，但由于时间的关系，我们只简单介绍一些线弹性波和冲击波的知识。

§2.2 无限介质中的瞬间弹性平面波的特性 2.2.1 弹性平面波的特性

按照波阵面的形状，可以将应力波分为平面波、球面波、柱面波等。顾名思义，平面波也就是说波阵面是一个平面。在实际形成的应力波中，平面波是很少的，但如果我们的观察区距离扰动源很远，而我们的研究范围又不大，此时，不管初始波是什么形状，我们都可以将它当作平面波来处理。

应力波的中应力的分布取决于扰动源，也就是取决于冲击载荷的性质，图2.3列举了几种瞬间应力波的形式。其中纵坐标表示压应力，横坐标表示距离。

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图2.3 各种瞬间应力波的形式

（a）方形波； （b）锯齿形波； （c）指数衰减波； （d）平顶波；

（e）平顶的指数衰减波； （f）三角形波； （g）快速上升，缓慢衰减波； （h）半正弦波

通过材料的运动方程和弹性材料的应力应变关系，我们可以推导出弹性纵波和弹性横波运动速度：

在介质材料中传播的弹性纵波的运动速度为：c1???2G ?G 在介质材料中传播的弹性剪切波的运动的速度为：c2? 式中：λ、G——拉梅常数（Lame's parameter）

G也即剪切模量；

???E?(1??)(1?2?)

E为弹性模量（亦称杨氏模量）；?为泊松比。

从弹性应力波的波速表达式可以看出：第一，弹性纵波与弹性剪切波的传播速度不同；第二，弹性应力波的波速是由材料的性质决定的，与外载荷的强度无关；亦就是说对给定的材料，弹性应力波的速度就给定了，并不随外载荷的变化而变化。

一般地说，应力波在介质中传播时，能量是有损失的。例如，冲击载荷所产生突然扰动，在持续一段时间，运动一段距离后就减弱了。所以应力波的波形在运动过程中随时间和距离也在发生着变化。

但当介质材料中传播一个弹性平面波时，如果忽略材料的粘性，内摩擦，弹性平面波在传播过程中能量没有损失，也就是说弹性平面波不管传播到介质材料的哪个部分，其应力和传播速度都不变。这是弹性平面波得很重要和独特的性质。

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如图2.4所示，一个指数衰减的弹性膨胀波在t1时刻，a、b、c处的应力为σ1、σ2、σ3，a、b、c之间的距离为λ/4和λ，经过一段时间Δt以后,应力波到达介质材料的另一处，则，a、b、c运动的距离皆为c1×Δt，a′、b′、c′处的应力仍为σ1、σ2、σ3，应力波的形状不变。

2.2.2 波的行进的描述

在应力波的运动过程中，通常用变形状态的前进速率来描述弹性平面波，如图2.5所示。这种描述是以横坐标表示距离，纵坐标表示时间。

这种描图法又称为 拉格朗日算子图解法，每根线的梯度为1/c1。

用这种方法表示发源于同一点的膨胀波与畸变波，如图2.6所示，从图中可以看出，随着时间的增加，膨胀波与畸变波的距离越拉越大。

2.2.3 质点速度的概念

当瞬间应力波通过时，材料内部质点发生运动，变形不断变化的性质是通过材料内部质点的运动来完成的。在弹性体中，应力波中任意点的质点速度与该点的即时应力成线性关系。

如图2.7所示，假定平面膨胀波的一点（可能是锯齿波的b点），它在t=t1时刻运动到MN位

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置，在t= t1+Δt时，运动到PQ位置，

Δt→0时，我们认为MN与PQ所包围的材料所处的应力水平均为σx，由于应力的不平衡，这部分材料在Δt时间内所获的冲量为：σx·s·Δt 由牛顿第二定律：介质微元所获得的动量应等于微元动量的变化量，即：

σx·s·Δt=ρ·s·Δx·Δu =ρ·s·Δt·c1·Δu σx·s·Δt=ρc1Δu 若u0=0，则 Δu=u

ux??x ?c1就是应力波通过介质时，材料质点所获得的运动速度。对膨胀波ux的方向与应力波的运动方向在同一条轴线上。

对于剪切波，同样可以证明有：

?yz??c2Vy

Vy垂直于波的运动方向。

但必须特别指出，以上应力波作用下介质质点的运动速度的计算公式仅适用于单个波作用的情况，对两个或多个波叠加时，应该考虑波的传播方向，不能简单的套用公式。

从介质质点的运动速度公式可以看出，质点速度与应力成线性关系，比例常数?c为材料密度与波速的乘积。?c一般称为材料的声阻抗，也是由材料本身所决定的一材料常数。

2.2.4 位移的概念

当一个瞬间应力波经过一种材料后，一般会在材料中留下一个永久性的位移。这明显不同于一个在平衡位置的往复运动，材料在平衡位置往复运动，当运动停止后，质点仍回复到原来位置，不产生永久性位移。但瞬间应力波的作用不同，当瞬间应力波到达物体中一点时，该点突然地开始运动，当应力波通过后，该介质点就在一种无应力状态下停下来。邻近介质质点之间不存在位移，但在这期间，在应力波的通道上，每一点都永久性的移动了。移动距离d，

d??T0u(t)dt?(1?c)?0?x(t)dtT

u(t)、?x(t)为质点速度、应力在瞬间应力波中的分布，T为应力波的持续时间。

如图2.8所示，当一个锯齿形应力波在介质中传播时，当波通过a、b、c后，a、b、c就移动

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到了a′、b′、c′处，ab=a′b′、bc=b′c′，波正通过d点，cd＞c′d′。波还没有到达e点，e点处在原来位置，没有移动。

我们来看，将一点的位移作为时间的函数，几种不同的瞬间应力波通过时，位移随时间的变化情况。

对于方形波：

u0?T?0?c1

T0

d??u(t)dt??u0dt?u0T0

对锯齿形波：

u0??0T?c1； u(t)??(t)[1??c1?t?]0tT?[1?]u0

?c1T11d??u(t)dt?u0T?u0T?u0T0 222.2.5 动量含量

如果介质材料原来是静止的，即u0=0，那么介质中任意点，在瞬间应力波到达之前没有运动，在瞬间应力波过后仍回复到静止状态，只有在应力波通过的瞬间才产生运动。这就是说弹性平面应力波的能量和动量全都携带在应力波中，在应力波的运动过程中没有损失。

我们来考察应力波中所含有的动量，将厚度为无穷小的应力波的单元中，包含在单位面积上的动量记为dM，则：dM??u(x)dx

那么，每单位面积上波的总动量为M：

M??dMdx??0??0?u(x)dx??()?(x)dx

0?1c式中，λ为波的总长度，即波长。 从这个式子中还可以得到其它关系式，如：

?x?cdMdx

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§2.3 无限介质中的球面与柱面弹性波

球面波与柱面波等非平面波的研究，有很大的实用价值，因为在实际生产中由爆炸和高度集中的冲击产生的应力波，基本上都是非平面波。非平面波的形状多样，其中比较规则、比较常用的有球面波和柱面波。集中装药爆炸在介质中形成的是球面波，条形装药爆炸在介质中形成的是近似柱面波。非平面波与平面波的不同在于球面波与柱面波在传播过程中，波的形状、波中的应力与质点速度的分布都要发生变化，一个压缩输入脉冲会迅速地发展成拉伸应力。球面波的波前应力或质点速度以1/r的比率衰减。圆柱形波的衰减比率为1离。

但非平面波与平面波并非完全没有联系，当我们要考察的区域距扰动源较远，所考察的范围不大，这是可以将球面波或柱面波近似当作平面波处理，在工程上不会出现大的误差。

非平面波的使用价值虽然很大，但遗憾的是非平面波的波动方程解起来却比较复杂，因为时间的关系，我们在本节的学习中就不定量来研究球面波与柱面波的计算问题，只要定性的了解一下球面波和柱面波作用下应力的变化情况就行了

2.3.1 在球形空洞中爆炸、按指数规律衰减的压力脉冲的球面波的应力变化

一般球形装药爆炸产生的压力脉冲在球壳的表面很迅速地突然升到高压P0，然后按指数规律衰减，用公式表达就是

r，其中r为考察点距扰动源的距

?p?0???t?p?p0eα——时间衰减常数；

t?0t?0

根据球面波的波动方程可以推出：

球面波在球壳处的应力为，径向应力：?r?p0

切向应力：????p0/(??2G) 球面波运动到任一点时的初始应力为：径向应力：?r?p0a/r 切向应力：????p0a/(??2G)r 其中，a为装药半径； r为应力波前距爆炸中心的距离。

球面波作用下，介质材料是否发生破坏，关键是看应力波作用下最大的径向、切向和最大剪切应力的大小。下面我们来研究球面波通过前后，介质材料应力的变化情况

如图2.9所示，对于球面波作用下介质材料中径向应力、切向应力与最大剪切应力随时间的变化情况，选择r?a、r=2a、r/a=∞处的应力变化情况来描述。

初始条件是：p(a,t)?p0。 即在球表面处压力保持不变，也就是说??0

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图2.9 从r=a的球形空峒产生的球面膨胀波作用下介质中的应力变化示意图 图中，为了进行比较，横坐标和纵坐标都采用无量纲量。横坐标的单位为：t??ct纵坐标分别为：(r)?r?(r?a)

aaap0、 (r)??ap0、 (r)??ap0。其中：?r为径向应力； ??为切向应力；

??为最大剪切应力。

从图（a）中可以看出，径向应力在r =a处，由于直接受外力作用，其值一直维持在?ra?p0，不随时间变化；在r =2a处，径向应力在波前到达的瞬间达到最大值，然后随时间迅速下降，在某一时间下降到最小，然后略有回升，最后趋于一个稳定值，但其应力值始终为压应力；对于无穷远点r/a=∞，径向应力也是在应力波到达的瞬间达到最大，然后随时间迅速下降，由压缩应力变为拉伸应力，在某一时刻达到最大拉伸应力，最后恢复到零值附近。

径向应力的这种变化情况是由于质点的振动引起的，其原因还是由于球面波在传播过程中波前能量不断衰减，在不同半径出质点之间的运动速度不同，指点之间有产生相对位移的趋势，而固体的刚性又阻止了这种相对位移，这样就引起质点的振动，产生了径向应力的各种变化。

图（b）表示了不同点处切向应力随时间的变化情况。从图上可以看出，所有点的切向应力都由应力波到达时的压应力随着时间变为拉应力，并在某一时刻达到最大拉伸，然后趋于一个拉伸应力值。

出现这种切向应力的变化情况可以这样理解：在应力波达到的瞬间，受应力波影响的质点产生了运动，而它外部的质点还没有发生运动，它给外部质点一个作用力，也受外部质点一个反作用力，此时质点切向所受到的是一个压应力。但应力波过后质点要向外膨胀，这样质点所受切向应力就迅速地由压变为拉。质点发生振动，最后在膨胀拉应力状态下趋于稳定。

图（c）所表示的是介质材料中最大剪切应力的变化情况，由材料力学的知识我们知道

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???(?r???)/2，总图中可以看出，在空硐表面，即r=a处，有一个很大的剪切应力值，它大

约等于0.8p0。这一点很重要，很多固体材料，往往不能承受很大的剪切应力，像岩石、素混凝土等，这些材料在球面波的作用下，容易在最大剪应力作用面上发生破坏。

与球面波相联系的位移也比较复炸，同包括振动项，也包括不振动项，位移的变化情况主要受应力的作用情况影响。 2.3.2 与柱面波相联系的应力数值

柱面波作用下介质材料应力的变化情况与球面波很相似，由于时间的关系我们就不讲了。

§2.4 波的叠加

有时一个介质在不同位置处会同时或近似同时受到冲击载荷的作用，这样在同一个物体中就会有两个或几个应力波同时传播。例如，我们爆破时，大多数时候会在同一块岩石或混凝土上打许多炮孔，当这些炮孔爆破时，他们都会各自产生一个应力波，这样在同一个介质中就有许多应力波存在。另外，一个单一的应力波在材料的边界或不同材料的交界面处要发生反射或转变，在物体中产生另一种应力波。当这些应力波相遇时，就会产生波的干涉和叠加，而应力波的叠加常常会导致介质局部高度的应力集中，引起材料的破坏。所以我们不仅要研究单个应力波作用下介质材料的应力、应变情况而且要研究出现应力叠加时材料中的应力、应变情况。 2.4.1 波的叠加原理

对于实际材料，如果要考虑材料的粘塑性时，应力的叠加是很复杂的。但对于符合胡克定律，应力与应变成线性关系的弹性体，情况就简单多了，此时应力的作用可由波的叠加原理给出。

波的叠加原理为：任何数目的力同时作用下造成的运动为这些单个的力产生的运动的矢量和。 这样对材料中的一点，只要给出了单个应力波作用的应力情况，用矢量合成法则，就可以求出几个应力波作用下的应力、应变情况。 2.4.2 平行波的叠加

应力波叠加的最简单情况就是那些干涉波的运动是平行的，这样各个同性质的应力波的应力方向都是平行的，矢量的叠加，就可以简化为代数的叠加。

如，一个陡峭波前的弹性平面压缩波，具有恒定的应力水平?0，质点速度u0，假定以速度c1向左运动。同时另一个同等应力绝对值得拉伸应力波以同一速度向右运动，当两个平行波相遇时，拉伸与压缩相互抵消，则干涉区应力水平为零。但由于两个波的质点运动方向是相同的，都是向左运动，于是干涉区内介质质点将以2u0的速度向左运动。

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这是一个拉伸波与压缩波相互平行作用的情况，但如果是两个平行的压缩波或两个平行的拉伸波相遇时，其干涉区内应力与质点速度的变化情况则与一个压缩波于一个拉伸波相互作用的情况相反。当两个波形相同的压缩波相互作用时，作用区内应力变为原来的两倍，材料介质的质点速度将变为零。

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由随时间变化的冲击载荷产生的可变应力扰动，其平行的相互作用，叠加区内应力的分布与质点速度的情况，基本上可用同样的方法来处理。

如两个完全相同的锯齿形压缩波，相向运动，当波前相遇的瞬间，相遇平面上的应力就立即变为2倍，波前继续运动，重叠区内的应力值稳定地下降，当两个波互相超过时，应力变为零。应力波叠加区材料质点速度有正有负，在两波相遇的初始点处，质点速度恒为零，在重叠区，初始点右侧质点速度为正，左侧为负。

2.4.3 倾斜波的叠加

在一般实际问题中，我们遇到的波的相互作用，平行波比较少，而倾斜波比较多。应力波倾斜相交问题，也不外是求在波的相互作用下，叠加区材料的主应力?、??、???及最大剪切应力

?max的大小和方向。而?、??、???及?max的求解我们可以采用摩尔园图解法来进行，与单个平

面膨胀波相应的主应力为：

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?i、 [?(1??)]?i、 [?(1??)]?i

其中，?为泊松比；?i适于波前相垂直的应力；

{注释：一个平面波，仅有x方向的位移（变形），y、z方向的位移v=w=0，即y、z方向的应变?=0，根据对称原理，y、z方向上的应力相同，设为?，在y方向有：

*?i?E??*?E??*E?0， 得： ?*=[?(1??)]?i}

对于应力水平为?i的剪切波，其主应力为： ?i 、―?i、0；其中?i=?i

弄清楚单个应力波对应的主应力之后，我们就可以求叠加区的主应力?、??、???和?max了，三次应用摩尔园作图法即可。 §2.5 弹性波传播中的边界效应

到目前为止，我们讨论应力波时，都假定波在无限介质中传播。但实际我们所遇到的一切物体都有边界，应力波在传播过程中迟早遇到一个或多个边界，当波遇到边界时就将与边界发生相互作用，在边界上产生反射和透射。

本节我们介绍几种波与边界作用的特殊情况，如波在一自由边界的垂直入射、在自由边界的倾斜入射在两种不同介质之间的垂直入射、在有粘结力的两种不同介质之间的倾斜入射等。 2.5.1 平面波在自由边界垂直入射

应力波与边界作用的最简单情况就是平面弹性波垂直地冲击一自由边界，此时产生相位角改变1800的全反射（所谓相位角改变1800就是所入射波与反射波性质相反）。如果入射波是一个压缩波就反射为一个拉伸波；如果入射波是一个拉伸波，则反射波为位移压缩波，因为自由面不能承受法向应力与剪切应力，所以自由面在波的反射作用过程中始终保持无应力状态。

一般地说，波的持续时间是有限的，当它反射时，反射波的波头首先叠加到入射波的头部，等到入射波的尾部反射后，反射波与入射波叠加完毕，即作为一个完整的波出现，并向入射波的相反方向传播。

我们以一个锯齿形压缩波为例，来研究其在自由边界时的垂直入射时的反射情况。

18

下面，我们在边界不同距离处选定距自由面距离分别为?、?/2、?/4、0的a、b、c、d4个点来研究这四个点的应力随时间的变化情况；

2.5.2 平面弹性波在有粘结力的两种不同介质边界上的垂直入射

当一弹性平面波垂直冲击一个两种不同物质的交界面时，一般要产生一个反射波和一个透射波。如图2.15所示，一个在介质Ⅰ中传播的波A垂直入射到介质Ⅰ与介质Ⅱ的交界面，一般会产生一个透射平面波B在介质Ⅱ中传播，还会产生一个反射波C回到介质Ⅰ中传播。B波的传播方向与A相同，C波的传播方向与A相反。透射波的性质总是与入射波相同，即如果入射波是压缩波，则透射波亦为压缩波，如果入射波为拉伸波透射波亦为拉伸波。而反射波的性质则视两种介质的性质而定，可能与入射波性质相同，也可能相反。

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平面波与交界面的相互作用，要受到两个边界条件的控制：第一，边界两侧的应力在相互作用的每一瞬间都是相等的（根据牛顿第三定律）；第二，边界两侧的介质质点速度是相等的。

第一个条件我们可由牛顿第三定律，作用力与反作用力相等得出。第二个条件是为了保证边界的稳定接触。

将这两个条件用方程表示出来，就有：

?I??R??T

VI?VR?VT

其中?I、VI表示入射波的应力和质点速度； 其中?R、VR表示反射波的应力和质点速度； 其中?T、VT表示透射波的应力和质点速度； 由应力波的质点速度与应力之间的关系得：

VI??I??； VR??R； VT?T

??c1?c1??c1??I??R=T联立?I??R??T求解，可

??c1?c1??c1 将VI、VR、VT代入VI?VR?VT有： 得： ?T????2??c1???I ??(?c??c11??????

I?)?(?c1???c1????c1(??c1 ?R??从上式中可以看出，透射波的符号总是与入射波相同。而反射波相对就比较复杂，从公式可以看出：

???c1，则有?R=0，即没有反射波； 1）若??c1???c1，则反射波与入射波的性质相同； 2）若??c1???c1，则反射波的性质与入射波相反。 3）若??c1??0，?R=-?I， 就相当于入射波在自由面反射，一个入射压缩波就以它全部压力若??c1

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水平反射为一个拉伸波。

????c1，?R=2?I，例如第二种介质是一种刚体时，刚体表面反射应力的强度为入射若??c1应力的两倍。

从?c对反射波性质的影响我们可以知道，材料的声阻抗是一种很重要的参数。 我们举个例子来说明一个应力波在两种不同物质交界面处的垂直入射的情况：

2.5.3 平面波在自由边界倾斜入射

当一个弹性平面波倾斜入射到一自由面时，就在自由面上产生倾斜反射，边界条件为自由面上的正交应力、剪切应力为零，但切向应力 不一定为零。当入射波为一平面纵波时，反 射时可能产生两种波：一个反射纵波与一个 反射剪切波。反射纵波与自由面法向的夹角 等于入射波与法向的夹角，但反射剪切波与 法向的夹角则不同，可证明（与光的菲涅尔定律一样）为：

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sin?c1?。 sin?c2原来波的能量分配于反射纵波与反射剪切波之中，分配与每种波的能量大小取决于入射角和介质材料的泊松比，利用边界条件可得：

??R?R?I ???[(R?1)ctg2?]?I?Rtg??tg22??tg?式中?R、?R分别为反射纵波与反射剪切波的应力，反射系数R=。 2tg??tg2??tg??为入射角，与材料性质无关。?角与c2c有关，即与材料性质有关。反射系数R可以等

1于零、小于零也可以大于零。

2.5.4 平面波在两种不同物质有粘结力的边界倾斜入射

当一个弹性平面应力波倾斜入射到两种不同物质有粘结力的交界面时，也要产生反射和透射，如图所示，当入射波A倾斜到达介质Ⅰ与介质Ⅱ的有粘结力的交界面MN的O点时，一般在O点产生四种新波，即透射纵波E、反射纵波C和透射剪切波F以及反射剪切波D，设它们与交界面法线之间的夹角分别为?、?、?、?，则它们存在如下关系：

sin?sin?sin?sin??????c1c2c1c2

若界面不发生相对滑动，则必须满足两个界面条件：

1）位移的连续性，即界面两侧的法向位移与切向位移必须相等； 2）应力的连续性，即界面两侧的法向应力和切向应力必须相等。

根据这两个界面条件，可以列出四个方程，解这四个方程，就可以求出反射纵波，反射剪切波、透射纵波、透射剪切波的强度。

当剪切波到达有粘结力的交界面时，同样产生四种新波。也满足两个边界条件，即位移的连续性与应力的连续性。

22

2.5.5 平面波在两种不同物质无粘结力的边界倾斜入射

所谓非粘结性边界，是指两块接触材料之间的边界毫无阻力，可以自由滑动。这样起边界条件就与有粘结力的边界不同。无粘结力的边界中的应力只能垂直于边界的方向传播，另外非粘结性边界不能承受拉伸，入射拉伸波在非粘结性边界的反射与在自由边界的反射一样。对一个入射压缩波就必须满足边界条件：

1）交界面两侧法向位移的连续性；

2）交界面两侧的正应力的连续性，在交界面两侧介质中无剪切应力。

§2.6 动量的转移

当一个体系受到冲击后，就在该体系中引入动量。动量与能量相似，它们都不能被消灭，但与能量相比，材料的动量更容易记录和观察，研究起来更方便。许多情况下我们需要通过研究物体系统的动量变化来考察物体运动的变化，以及所受的外力的情况。

当物体受到冲击载荷作用时，特别是当载荷的作用时间很短时，我们通过研究动量的变化来研究介质中应力、质点速度等的变化过程是比较方便的。 2.6.1 板速度与应力——时间曲线的关系

在第二节我们已经讲到，介质中瞬间应力波每单位面积所含的动量为：

M???u(x)dx

0?如果写成增量的形式，则有：

dM??u(x)dx?(?)dx??dt

c假定一厚度为L，侧向无限长的板子， 松松地与另一无限侧长的板子靠在一起，一 个平行于左右两板交界面的压缩波从左板进 入右板，如果两板的材料相同，则交界面对 波的传播无任何影响，当波传播到右板右侧 自由面时，在自由面上反射为一个拉伸波。

我们应该注意，在拉伸波的作用下介质质点速度与入射压缩波作用下介质质点速度方向一致，都是向右运动的。当反射拉伸波到达两板交界面MN时，因为非粘结性交界面不能受拉，两板将分开，右板向右飞走。

右板飞走时，收集到的动量，决定于右板的厚度L和压缩波的波长?，当L≥?/2时，右板收集了压缩波的所有动量，它的飞离速度为：

?V?M?L???0?u(x)dxL??c10?(t)dt?L

若板的厚度L＜?/2时，则应力波的波形与强度将决定右板的飞离速度：

23

2l?V?2l0?u(x)dxL??c10?(t)dt?L

2.6.2 阻抗效应

如果左右两板材料不同，一般它们的声阻抗不同。那么，当入射波到达两板交界面MN时，波

??2??c1?的能量一部分透射，另一部分反射。透射波的强度?T????I，每单位面积转??(?c??c11??换至右板的动量为：

MT??2L?c10??2??c1??T(t)dt=????(?c??c)11???2L?c10?Idt

该公式中，L的定义域为：0?L???c12c1或0?2L?（即透射波传到右板的右侧自由面又反?，

?c1c1射回到MN界面的时间小于入射波的持续时间）否则，计算中持续时间用?/c1。

?较左板的声阻抗?c1大得多时，右板收集到的动从公式中可以看出，如果右板的声阻抗??c1量几乎是原入射波动量的两倍，那么动量是否不守恒了呢？其实总的动量还是守恒的，因为右板

?较左板的声阻抗?c1大得多时，反射入左板中的反射波几乎是与入射波相同的一个的声阻抗??c1压缩波，反射波所具有的动量与入射波的动量大小几乎相等，而方向相反，这样反射波加上入射波的动量仍然等与入射波的动量。此时右板飞离的速度为：

V?MT?2c1?=???)???L?L(?c1???c1??2L?c10?Idt

2.6.3 复合板

如果好几块板子叠在一起，应力波通过后，每块板子将获得一个不同的速度，如图所示，板Ⅰ的材料与板1、2、3、4的材料完全相同，有一个入射压缩波在板Ⅰ中运动，压缩波的运动方向垂直于板Ⅰ与板1、2、3、4的交界面。在入射波到达板1右侧自由面之前，这些交界面对波的运动不产生任何影响。当波运动到板1右侧自由面时，将反射一个拉伸波，当拉伸波到达板1与板2的交界

24

面时，板1将向右飞离；板1飞离之后，板2的右侧变为自由面，此时如果板2中还有入射压缩波，将继续在板2的右侧反射新的拉伸波，当板2反射的拉伸波到达板2与板3的交界面时，板2将向右飞离；以此类推，如果入射波波长足够长，每块板将依次向右飞离。板的飞离速度为：

V1??2L1c10?(t)dt?L

1c1V2??2L12(L1?L2)c1?(t)dt?L

22n?0c?Vi???1?L??i?11?(t)dti?2?Ln?n?0?Lni

c1(i=1,2,3,4)

其中L0?0，如果2则上限取为：?；

?Ln?0in??，

c1若2?Ln?0i?1n??，则Vi?0，也就

是说，当反射波还没有回到i-1与i板的交界面，入射波已经完全通过了i板，在i板中就不会再有反射波产生，所以i板也就不会运动飞离。

如果1，2，3，4板与Ⅰ板材料各不相同，计算各板的飞离速度就相对复杂一些，按照应力波在交界面的作用原理，一个板一个板的算即可。 2.6.4 间隙的闭合

如果主体板与接收板之间有一狭 窄的自由间隙，如图所示。当应力波 达到主体板自由面时，压缩波反射为 拉伸波，自由面上介质质点速度翻倍，自由面向右运动，在空隙合拢之前，无应力波进入接收板。空隙合拢的时间T为：

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s??2u(t)dt

0T当空隙合拢之后，边界情况就发生变化，边界上不再有反射波，没有反射的压缩波部分不变地通过交界面进入接收板。从图上可以看出，当有间隙存在时，对动量的传递有很大的影响，特别是对衰减很快的应力波，一个很小的间隙就可能阻断很大部分动量的传播。如果间隙足够大，其合拢的时间等于或大于冲击载荷脉冲的持续时间，则无动量传入接收板。

§2.7 边界上的非平面波前的发展

在第五节我们简单介绍了平面波在不同边界上的作用情况。但在实际应用中，平面波是比较少见的，我们遇到的根多的还是非平面波，非平面波与平面波一样，当它运动到两种不同介质交界面时，也要产生反射和透射。但非平面波的反射和透射波的形状以及波阵面上的应力分布远较平面波复杂。本节我们主要介绍球面波在自由面和两种不同介质交界面上的作用情况，其他形状的波与交界面的作用情况可以用相似的方法来自研究。 2.7.1 球面波在自由面上的反射情况 一般要追踪波前的前进，对波前上的每一个点需要两个信息，一个是它的运动方向，一个是波前的运动速度。运动方向可以用一条在观测点上垂直于波前的射线来表示；波前的运动速度根据波的性质而定，对纵波为c1，对剪切波为c2。

当曲面波与边界作用时，我们假设其波前由无数的无穷小平面单元所组成，然后每个单元与边界作用服从平面波与边界作用的规律。如果在自由面反射，新反射膨胀波将从它到达的同一角度?离开，而剪切波的反射角?为：

sin??sin??c2c1。

每一条入射射线在边界反射产生两支小反射射线，反射射线之一对应于膨胀波，另一支对应于剪切波。

如图2.23所示，一个球面波在介质中运动，它波前的任何一点运动到自由面MN时都要发生反射。

图中给出的是某一时刻反射波的情况。显然，作为膨胀波从O点到B点到

D点的时间等于膨胀波首先从O至B，然后作为剪切波从B到C。

反射膨胀波前的位置很容易确定，它在与O关于MN对称的点O?为圆心的同心圆上。反射

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剪切波的波前不是球面，作图稍微麻烦一点。最简单的办法是画几条射线并计算出波前射线走了多远：

c?BC???2c?BD

1??方向角?由：sin??c2sin?算出。 c1球面波在自由面反射时，每点处的入射能量不尽相同。反射的膨胀波与剪切的强度也不同。入射波的能量在反射膨胀波与反射剪切波中的分配按第五节所介绍的公式计算：

??R?R?I ???[(R?1)ctg2?]?I?R 球面入射波本身的能量以1/r的比率衰减，若以波前位置的粗细来表示强度的变化，就是在F点正上方反射纵波最强，反射剪切波为零。

2.7.2 球面波在两种不同介质交界面上的反射情况

当球面波运动到两种不同介质交界面时，我们仍然可以把波前当作由无数无穷小的平面单元组成，然后按照第五节所讲平面波在两种不同介质边界的倾斜入射来处理。一个球面波到达两种不同介质边界也产生四种新波，即透射纵波、透射剪切波、反射纵波、反射剪切波。

?我们主要来研究一下在c1?c1?两种条件下，反射与入射纵与c1?c1波的情况。

?时，反射波前KML与入射波前有同一曲率半径，位置的确定办法与上一小节讲的一当c1?c1样。而透射纵波的波前每一点的曲率半径是变化的，当KL的距离增加时，它变得平缓了。透射波前的位置可由公式：

sin?sin???c1c1

OB?BE???OB?BF? c1c1c127

BE?BF? c1c1知道入射角?，可以求出透射角?。已知时间，可求出OB、BF，代入上式计可求出BE，对应于不同的?，求出一系列的值，就可以画出透射波前。对透射剪切波和反射剪切波波前可以采用同样的办法画出。

?时，当c1?c1sin?sin???c1???c1??1，??arcsin?，随着?地增加?逐渐增加，sin????c1c1??当?增大到某一值时，sin???c1c?=1，?再增大，有sin??1?1，没有?角与此值对应，则此c1c1时入射波完全反射，不产生传递纵波。

发生全反射时，入射角??arcsin??c1??，当??arcsin?c1?，上部入射波沿边界的掠射

?c????c11???速度将小于c?1，因此沿边界下部的波将比上部的波跑得快，这样是的波在边界的情况发生变化，不再产生传递纵波。

§2.8 应力波与拐角的

28

作用

当应力波进入由两个自由面相交所组成的拐角时，应力波在两个自由面上都要进行反射，每个自由面上都产生一个反射纵波和一个反射剪切波，反射波在运动过程中总要相遇。相遇时产生波的叠加，形成高度应力集中，应力集中的结果是常常在拐角处产生破裂。

因为反射纵波的运动速度远较反射剪切波的运动速度快，一般情况下总是反射纵波首先相互叠加，引起材料的破坏。但有时反射剪切波也可能成为破裂的主要原因，不过本节我们主要讨论反射纵波相互叠加的情况。 2.8.1 基本的几何作图

我们通过三个特定的拐角：一个锐角、一个直角、一个钝角来说明在拐角处产生的反射波的作用情况。

1）拐角为锐角

拐角?为锐角，如图2.27所示，这是在t1、t2、t3三个不同时刻，平面入射波前和与之相对应的反射波的位置，剪切波未画出。

当波运动时，两个膨胀波前开始相交，交点的轨迹线为AF，交点距入射波前的距离，随着入射波距拐角顶点的距离的减小而减小。当入射波到达顶点时，两个反射波的交点就与入射波重合。

我们来研究在拐角为锐角时，入射波、反射波之间角度的关系。记入射波前与拐角下底边的夹角为?，与另一条边的夹角为?，则两个反射波前与对应的两条边之间的夹角也为?和?。

记两个反射波的轨迹线AF与下底边的夹角为?，两反射波之间的交角为?，则我们容易知道AF平分角?（全等三角形，从AF上任一点作OO??O?F、OO???O??F，则由应力波性质可知：

OO??OO??）

对于给定拐角和入射波，?、?、?都是已知的，我们的目的是求出?和?。

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有几何原理我们可以知道：

???????? ???????180? ????????180?2? ???2??

?????2?????90

其中?和?的最大值均可取900，此时入射波与锐角的一个边成掠射。 当波前与拐角?的交平分线成正交时， ???2?90

2

??????90?? 两反射波的交叉轨迹线沿着拐角的交平分线进行运动。

2）拐角为直角

当拐角为直角时，情况与锐角就完全不同。 拐角为直角，??90，两反射波之间的夹角

0??1800?2??0。

这意味着，两个反射波的交叉是一个对头的， 沿AF线的瞬时碰撞，AF线经过拐角顶点，与拐 角底边所成的倾斜角??????90??，这是 拐角为直角的情况。 2）拐角为钝角

当拐角为钝角时，反射波叠加的过程与锐角和直角都不相同。反射波的叠加仅当入射波到达拐角顶点后才能开始。这时两个反射波的叠加点从拐角向上运动回材料中。

2.8.2 主应力的计算

应力波在拐角入射时，反射波的叠加是否引起介质材料的破坏，决定于叠加区主应力的大小及最大剪切应力的数值。如果主应力或最大剪切应力大于材料的极限应力，则材料发生破裂，否则材料不破裂。

当发生破裂时，交叉线上每一点裂纹的方向又取决于主应力或最大剪切应力的方向。如果对

30

于叠加区的每一点，我们能求出其主应立及最大剪切应力的大小与方向，一切问题就都明了了。

一般应力波都有一个持续时间，即有一定的波长，我们在进行波的叠加计算时，要区别两种情况：

1）两个反射波之间的叠加发生于顶点附近。此时叠加区即有反射波也有入射波。

2）两个反射波的叠加发生于距离顶点较远处，这时叠加区只存在反射波，不受入射波的影响。 对于任何拐角?，Ⅰ区与Ⅱ区的分界面可以通过作图求得。

计算叠加区的主应力时，最简单的情况为波在90的拐角入射的情况。此时，Ⅰ区与Ⅱ区的分界面位于顶点?处，在Ⅱ区两个相互叠加的波的应力作用方向相同，可以按代数相加，而?1、

0

?2的大小可由第五节所讲的倾斜波在自由面上的反射来求。

对于拐角为锐角和钝角的情况，以及Ⅰ区的情况，一般来说主应力的方向既不与交叉线平行，亦不与交叉线垂直。其大小与方向的确定方法就是根据我们前面讲的多次应用摩尔园求解。

如果主应力之一大于材料的强度极限，就在交叉点处形成一系列的微细裂纹，每一条裂纹将垂直于引起裂纹的正交拉伸应力，然后这一系列为裂纹连接起来就形成最后的破裂面。

2.8.3 某些金属爆炸系统上的破裂

有很多金属爆炸系统引起的拐角破裂现象，从静载荷作用的观点来看是颇出意料之外的，但从应力波的作用原理来看，是很容易理解的

例如，一个装满炸药的厚壁圆柱体， 当炸药爆炸后，就在圆柱体壁中产生一个 具有陡峭波前的高强度应力波，因为炸药 的爆炸是以有限的速度传播的，所以圆柱 的载荷是不对称的，引起的应力波通过圆 柱向外向右传播，根据第三节我们所讲的 球面波、柱面波的有关知识，在圆柱壁中 圆周方向存在一个很高的切向拉伸应力??、一

个径向压应力?r、一个平行于圆柱纵轴的压应力?z。这三个应力的大小随着应力波传播是的发散而迅速衰减。

波前PQ与圆柱纵轴形成的倾角?近似为：

??arecsin(c1D)

31

c1——金属圆柱材料的纵波速度；

D——炸药爆速

当倾斜的PQ波前冲击到圆柱体的外表面时，它将发生反射，当两个反射波相遇时，相互叠加产生高强度拉伸，就会引起材料的破裂。我们可以看到，在动载荷作用下圆筒是沿最厚的断面破裂的。这用静载荷的作用理论是不能解释的。当然这有一个前提，就是圆柱壁足够坚固、足够后，由炸药爆炸引起的冲击波的压应力不足以将圆柱体压裂，如圆柱体不够坚固，在爆炸冲击波作用下就粉碎成很多快，就无所谓拐角破裂不拐角破裂了。 下面我们再来看几个金属系统爆炸破裂的例子。

首先看一个集中装药在立方体中爆炸引起的破裂情况，如图2.32。

再看一个具有星形断面的圆柱筒爆炸后的破裂情况，如图2.33。 最后看一个有槽的圆柱筒内部装药爆炸后引起的破裂情况，如图2.4。

2.8.4 点载荷、线载荷作用下块柱体的破裂

当材料受到冲击载荷作用时，物体的形状对破裂有着重要的影响，下面我们讨论几个点载荷、线载荷作用下，由于拐角反射所引起的破裂模型。

1、当一个长方体沿轴施加一个冲击载荷时，最可能产生破裂的位置在长方体的中央和拐角处。

32

2、当一个载荷偏离长方体的中心时，最可能产生破裂的位置不是在载荷的正下方，而是在与载荷的位置以正方块的轴成平面镜形象的位置

3、在单尖斜劈中产生的破裂。这种破裂，因为一部分波损失了，已不可能从倾斜面反射，所以破裂比正方形板轻。

4、在双尖劈中的反射。

5、在各种不同厚度板上，点载荷引起的破裂。

33

§2.9 剥落破裂

剥落破裂是由于高强度的应力波从自由面上反射，反射波与未反射的入射波在自由面附近叠加所造成的。

将炸药紧贴着一个圆柱体引爆，与炸药相接触的材料会被炸坏，有时材料背面也会产生破坏。当一个物体高速碰撞到另一个物体时，会在物体的反面造成破坏。例如，当穿甲弹打在坦克上时，会在坦克装甲内壁引起破片，对坦克内的人员、设备造成破坏。

材料的强度。如破裂强度与介质的各向异性将主要地控制剥落过程的特性。 2.9.1 产生剥落破裂的动力学

剥落破裂是已经反射为拉伸波的入射压缩波与尚未反射的入射波在靠近自由面叠加的结果。

例如，一个锯齿形压缩波垂直地冲击一个自由面，在自由面上反射为一个同等强度的拉伸波。对许多脆性介质如岩石、混凝土、铸铁等，它们可以承受很高的压缩应力，但其抗拉强度却不大，只有抗压强度的几分之一、十几分之几一。所以有

时压缩波不能引起材料的破坏，反射拉伸波却可以造成材料的破坏。

发生剥落破裂的位置决定于材料的抗拉强度、入射波的强度和形状。对锯齿形波，如果波前的强度为?0、波长?、材料的动态极限抗拉强度为??，则在破裂面处有：

?0??b??? ?b??0???

s??b???1?b???0

??s??0??????1?b???0

??sb???? ?0d?1sb 2d——剥落面距自由面的距离，亦即剥落块的厚度；

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对于方形波，如果有剥落，剥落总是发生在距自 由面1?处。因为方形波叠加区的应力为零。

2对于梯形波，如果发生剥落，剥落的位置总是发生在大于1?处，剥落块厚度d?41?????。 44?对于指数衰减波???0e??t

?b??0???

?b??0e??t

?0?????0e??t

ln??t???0?????0????

???0???????sb?tc1??ln?????c1 ?0????1d?sb

22.9.2 坚固材料的剥落

均质的、各向同性抗压强度远大于抗拉强度的脆性材料，受到冲击载荷作用时容易产生剥落现象。

当入射波的强度较高时，还会产生多层剥落。即几个平行并列的破裂，此时应力波阵面的应力水平高于材料介质抗拉强度的两倍以上。

例如，一个指数衰减波，波前压力?0， 材料抗拉强度??，当?b=?0-??时，第 一块剥落发生，此时剥落片厚度d1为：

d1??1???0??????ln?????c1 ?2???0??t?第一片剥落块的飞离速度：V1?0ln??t???(t)dt?d1

?0?????0????

当第一块剥落片飞离以后，B处就变为自由面，入射波的?b以后的部分就在b面反射，此时

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入射波的形式为：??(t)??be??t，同样，我们可以算出第二片剥离片的厚度d2：

d2??1???b??????ln?????c1 ?2???b??第二片剥离片的飞离速度V2

V2??t?0??(t)dt?d2

??(t)??be??t

ln??t????b?????b????

依此类推，我们可以算出d3、d4、d5、??、dn，其中n??0取整 ??对于指数衰减波从公式中可以看出：d2?d1，即对于各向同性介质，当材料中传播的是一个指数衰减波时，多层剥落片的厚度越来越厚。

2.9.3 层状材料的剥落 材料的结构对剥落模型有很大的影响，有些材料并非各向同性的，而是具有层状结构。每层的材料都相同，但为较弱的平面所隔开。许多岩石具有这种层状结构，有些金属，特别是杂质很多的轧制钢板也具有这种结构。

如果应力波的运动方向与这些层面向垂直，则剥落一般发生在薄弱层面上。 如果应力波的运动方向与这些层向平行，则剥落模型不受层面影响，与均质材料一样

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2.9.4 无粘结力材料的剥落

当应力波在土壤、粉状体、液体等无粘结力或粘结力很小的材料中传播时，在这些材料的自由面上也发生剥落现象，但因为这些材料所能承受的拉应力极小，当一有反射波产生材料就发生剥落。

任何一小片的飞离速度Vp为：

Vp?2??c

1其中，?为小片飞离自由面时入射波前的应力，?、c1为材料的密度与纵波速度，速度最大的小片是那些最先飞出去的小片，它们的速度为：

V?0?20?c

1

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第三章 应力波运动方程的解

§3.1 应力波按应力种类的分类

应力按种类可分为法向应力和剪切应力，相应地应力波也可分为法向波和剪切波。法向波是法向应力的载波，剪切波时剪切应力的载波。很多时候一个载荷往往同时产生法向和剪切两种波，但因为两种波在介质中的传播速度不同，传播一段距离后就会互相分离。

法向应力又分为压应力和拉应力，因此法向波又有压缩波和拉伸波之分。在不传递拉应力的介质，如液体、气体、松散材料，这些物质一般靠流体静压的作用而结合在一起，拉伸波使他们变稀疏，故拉伸波又称为稀疏波。

法向应力是介质微元的体积发生变化，故法向波又称为体积波；剪切应力仅使介质微元的形状发生变化，故剪切波又称为等体积波、形状波或畸变波。

此外，在法向应力和剪切应力的作用下介质微元的运动也有本质的区别，法向应力波作用介质质点的运动方向与波的传播方向一致，而剪切波的作用下介质质点的运动方向与波的运动方向垂直。故此，法向波又称为纵波或P波，剪切波则称为横波或S波。

§3.2 应力波按应力大小的分类

前面我们讲了应力波按应力种类的分类，现在我们来看看应力波按应力大小的分类。 应力波的特性，即应力波在介质中的性质和变化，首先取决于介质本身的性质，要透彻了解应力波的传播机制，必须了解介质的一般特征。

通常我们可以用???(?)来表示介质的物理、力学性质。其中?为应力、?为相对体积变形。对?压应力为正，拉应力为负；对?，体积减小为正，体积增大为负。

对于液体和气体，???(?)用图像表示出来为：对于固体，用图像表示???(?)的形式为：

图3.1 压应力和相对体积百女性之间的关系

（a）液体和气体； （b）固体

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下面，我们来确定受到冲击载荷作用时介质中纵波的传播速度的关系式。 假设一应力和介质微元速度分别为无限小量d?和du的应力波，以速度N沿流动方向传播。考察纵向应力波中单位质量横截面积上的质量流动。

设某一时间t，波到达截面AA?，该截面的密度由原来的?变为??d?，而在时间t+dt波到达截面CC?，由动量守恒定律

有： 图3.2 质量流动图示

d??dt?s???N?s?dt?du

?Ndu?d?

由质量守恒定律有：

??N?dt?s?s?(??d?)?(N?du)?dt

整理，忽略二阶小量得：

Nd???du

联立?Ndu?d?可求得：

N?d? d?又由于，比容v、密度?和相对体积变形?有如下关系：

v?1

?11dv?d()??2d?

??d???dvd?d??2? v?v?N?d??d?d? （1） ?d?我们用公式（1）来说明应力波传播中应力大小的影响。结合介质材料的???(?)关系图，对于液体、气体及含水土等，从???(?)关系图上可以看出，对应于任何一个?值，都有：

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d?d?2?0、d?d?2?0，即d?d?随着?的增大而增大，也即应力波的传播速度随着?的

增大而增大，即高压比低压传播速度快。在这种介质中，任何一种压缩波，总要转变成冲击波（即强间断波），在波阵面上压力和其它参数出现阶跃，压力在波阵面上达到最大值，然后越来越小。如果冲击波在传播过程中受到外部干扰，波阵面可再次产生，从这种意义上来说，他是稳定的冲击波。??0时的传播速度N?cz称为声速。如果介质是压力P?的预压作用，那么压力P?下的声速为：czp???(1??d?)??2，这里(d?)?是关系式???(?)在??P?时的)(d???P??d???P??1导数。

对于固体介质，从固体介质的???(?)关系图上可以看出，在压力0????A时，应力?随

?线性变化，在物理上，这个区域成为弹性区。在弹性区内d?d??cansant，即在0????A范围内，所有压力的传播速度N都相同。并等于声速N?cz。在传播过程中，

如果不受到外界干扰，压力波的剖面不发生变化。但若它的剖面因受外力干扰而发生了变化，那么它将以变化了的剖面继续传播，而不能像液体中的情形那样恢复到原来的波剖面形状。因此这种情形下只能传播不稳定的应力波。

在压力?A????B时，物质的本构关系变得不同了，即使压力变化很小，介质也发生很大的变形，固体开始表现出一定的流体的性质，这一过程在B点到达顶峰，在此区域内d?d??0、

d2?d?2?0，即d?d?随着?的增大而减小，也即应力波的传播速度随着?的增大而降低，

即高压比低压传播速度慢。在传播过程中，高压滞后于低压，形成所谓的塑性应力波。

d?当压力?B????C时，固体介质的性质变得与液体相同，此时，

但在这一区域内d?d?d2??0、

d?2?0，

d?的值比0????A区内的小，即小于声速cz。在这一区域内高压比低压

传播得快，但在高压区前还有一个弹性先驱波。

当???c时，介质的性质变得与液体完全相同，在这一区域内有：d?d??0、

d2?d?2?0，且d?d?的值大于0????A区内的值。即此区内N?cz，因此，此区为稳定

的冲击波区。

应用我们上面的分析，我们可以画出爆炸波随着传播距离的变化波剖面的变化情况。 在装药内部及其附近，爆炸波的压力很高，P???c，爆炸波以远高于声速的速度传播。随着爆炸波传播距离的增加，爆炸波波阵面上的压力迅速衰减，在某一距离处Rc?R?RB处，爆

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