版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第讲双曲线练习理新人教A

【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解

析几何 第6讲 双曲线练习 理 新人教A版

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

x2y25

1.(20152广东卷)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双

ab4

曲线C的方程为( ) A.－＝1

43C.

x2y2x2

16

B.－＝1 916D.－＝1 34

x2y2

－＝1 9

y2x2y2

c52

解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，ba4

＝c－a＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.

169答案 C

2

2

x2y2

x2y2π

2.(20162南昌模拟)若双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线倾斜角为，则双曲ab6

线C的离心率为( ) A.2或3

B.23

3

23C.2或

3

D.2

b3b2c2－a2123

解析 由题意＝，∴2＝2＝，e＝，

a3aa33

故选B. 答案 B

x2y2

3.(20152天津卷)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲

ab线的一个焦点在抛物线y＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.

－＝1 2128

2

x2y2

B.－＝1 2821

x2y2

C.－＝1 34

x2y2

D.－＝1 43

x2y2

x2y2b2b解析 双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，3)，所以＝3，

abaa即2b＝3a，①

抛物线y＝47x的准线方程为x＝－7，

1

2

由已知，得a＋b＝7，即a＋b＝7，② 联立①②解得a＝4，b＝3， 所求双曲线的方程为－＝1，选D.

43答案 D

4.(20152全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，

2→→

若MF12MF2<0，则y0的取值范围是( ) 33??

，? 3??3

?2222?C.?－，?

3??3A.?－

B.?－

2

2

2222

x2y2

x2

2

?

?33?，? 66?

?2323?

D.?－，?

3??3

解析 由题意知a＝2，b＝1，c＝3， 不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)，

→→

所以MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0).

33→→222

∵MF12MF2＝x0－3＋y0＝3y0－1＜0，所以－

33答案 A

5.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B4分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则

x2

2

C2的离心率是( )

A.2 B.3

36C. D. 22

x2y2

解析 |F1F2|＝23.设双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0).

ab∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°， ∴|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|， 即(2－a)＋(2＋a)＝(23)， ∴a＝2，∴e＝＝答案 D

2

2

2

2

2

2

ca3

6

＝.故选D. 22

2

二、填空题

6.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，

916点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________. 解析 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

916∴|PQ|＝4b＝16>2a.

又∵A(5，0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上， 且PQ所在直线过双曲线的右焦点，

??|PF|－|PA|＝2a＝6，

由双曲线定义知?

?|QF|－|QA|＝2a＝6，?

x2y2

x2y2

∴|PF|＋|QF|＝28.

∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. 答案 44

x2y2

7.已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________.

解析 因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3c－c＝2a，所以e＝＝答案

3＋1

ca23－1

＝3＋1.

x2y2

8.过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.

ab若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.

解析 如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标

x2y222

2a代入2－2＝1中，得y＝3b，

ab不妨令点P的坐标为(2a，－3b)， 此时kPF2＝

3bb＝，得到c＝(2＋3)a， c－2aa即双曲线C的离心率e＝＝2＋3. 答案 2＋3 三、解答题

9.(20162江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，

3

ca且过点P(4，－10). (1)求双曲线的方程；

→→

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF12MF2＝0. (1)解 ∵e＝2，

∴可设双曲线的方程为x2

－y2

＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x2

－y2＝6.

(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝6， ∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMFmm1＝

3＋23，kMF2＝3－23

，

2

kMF12kMFm2m2＝

9－12＝－3

.∵点M(3，m)在双曲线上，

∴9－m2

＝6，m2

＝3，

故kMFkMF⊥MF→→

122＝－1，∴MF12.∴MF12MF2＝0. 法二 由(1)可知，a＝b＝6，∴c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)，

MF→→

1＝(－23－3，－m)，MF2＝(23－3，－m)，

∴MF→→23)＋m2＝－3＋m2

12MF2＝(3＋23)3(3－， ∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2

＝6，即m2

－3＝0， ∴MF→→

12MF2＝0.

10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23. (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.

解 (1)设双曲线C的方程为x2y2

a2－b2＝1(a>0，b>0).

由已知得：a＝3，c＝2，再由a2

＋b2

＝c2

，得b2

＝1， ∴双曲线C的方程为x2

2

3

－y＝1.

4

(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入－y＝1，得(1－3k)x－62kx－9＝0.

3

x2

222

?Δ＝36（1－k）>0，?362k由题意知?x＋x＝<0，解得3

1－3k－9?xx＝?1－3k>0，

2

1－3k≠0，

2

AB2

AB2

∴当

3

62k2， 1－3k(3)由(2)得：xA＋xB＝∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2) 22

＝k(xA＋xB)＋22＝2.

1－3k2??32k∴AB的中点P的坐标为?2，2?.

?1－3k1－3k?1

设直线l0的方程为：y＝－x＋m，

k42

将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝2. 1－3k∵

32

∴m的取值范围为(－∞，－22).

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

x2y22

11.(20162柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝8x有

ab一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为( ) A.x±2y＝0

2

B.2x±y＝0 C.x±3y＝0 D.3x±y＝0

x2y2解析 抛物线y＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为直线x＝－2，∵双曲线2－2＝1(aab＞0，b＞0)与抛物线y＝8x有一个公共的焦点F，则双曲线的半焦距c＝2，∴a＋b＝4①，又∵|PF|＝5，∴点P的横坐标为3，代入抛物线y＝8x得y＝±26，则P(3，±26)，

2

2

2

2

x2y2∵点P在双曲线上，则有2－2＝1②，联立①②，解得a＝1，b＝3，∴双曲线2－2＝abab9

24

5

1的渐近线方程为y＝±3x. 答案 D

x2y2

12.(20162太原二模)已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的

ab直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.

6＋3

25＋22

2

B.6＋3

C. D.5＋22

解析 ∵|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，∴|BF2|＝2|AF2|.又由双曲线的定义知|BF1|－|BF2|＝2a，

∴|AF1|＋|AB|－2|AF2|＝2a，即|AF1|＋(1－2)2|AF2|＝2a.又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2(2＋2)a，

|AF1|＝2(1＋2)a.在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|，即[2(2＋2)a]＋[2(1＋

2

2

2

2

c2

2)a]＝(2c)，∴2＝9＋62，∴e＝9＋62＝6＋3.故选B.

a2

2

答案 B

x2y2

13.(20142浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近

ab线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________.

x－3y＋m＝0，???am，bm?，

解析 由?b得点A的坐标为?3b－a3b－a???y＝x，?a?

x－3y＋m＝0，???－am，bm?， 由?得点B的坐标为?3b＋a3b＋a?b??y＝－x，?a?

2

a2m3bm??则AB的中点C的坐标为?22，22?， ?9b－a9b－a?

1

而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点C与点P连线的斜率为－3，即kCP＝2＝3am22－m9b－a3bm229b－a2

?b?1

－3，化简得??＝，

?a?4

2

6

所以双曲线的离心率e＝答案

5 2

?b?1＋??＝?a?

2

151＋＝. 42

x2y2

14.(20162兰州诊断)已知曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，

aba23

右焦点F到直线x＝的距离为.

c2

(1)求双曲线C的方程；

(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，→→

0)，若DF2BF＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

ba23

(1)解 依题意有＝3，c－＝，

ac2

∵a＋b＝c，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b＝3， ∴双曲线C的方程为x－＝1.

3

(2)证明 设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，

2

2

2

2

2

y2

B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M， y＝x＋m，??22由?2y2得2x－2mx－m－3＝0，

x－＝1?3?

∴x1＋x2＝m，x1x2＝－

m2＋3

2

，

→→

又DF2BF＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， ∴m＝0(舍)或m＝2，

7x1＋x2

∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，

22

→→

∵DA2BA＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0， ∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径， ∵点M的横坐标为1，∴MA⊥ x轴. ∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7743.html