空间解析几何复习资料

空间解析几何练习题

1. 求点M(a,2. 设 A(?3,3. 证明 A(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点 对称点的坐标．

x,2)与B(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x．

2,3) B(3,1,5) C(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．

4. 设?ABC的三边BC?a，CA?b，AB?c，三边的中点依次为D，E，F，试用向

量abc表示 AD，BE，CF，并证明：AD?BE?CF?0 ．

5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．

6. 已知：向量a与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量a与z轴间

的夹角?．

7. 设向量a的模是5，它与x轴的夹角为

0?，求向量a在x轴上的投影． 43,5)，C(3,?1,?2)计算：

8. 已知：空间中的三点A(0,?1,2)，B(?1,2AB?3AC，AB?4AC．

9. 设a??2,10. 设：a??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．

11. 设：a?3i?5j?2k，b?2i?4j?17k，c?5i?j?4k，u?4a?3b?c 试求（1）u在y轴上的投影；（2）u在x轴和z轴上的分向量；（3）u ． 12. 证明：(a?b)?(a?b)?a?b． 13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求a?b，(a?b)．

?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x 15. 设a??0,1,?2?，b??2,?1,1?求与a和b都垂直的单位向量．

0)，B(?2,1,3)，C(2,?1,2)求?ABC的面

16. 已知：空间中的三点A(1,1,积．

17. （1）设a∥b求a?b （2）若a?b?1求a?b

18. 设a?3，b?5，试确定常数k使a?kb，a?kb相互垂直．

?19. 设向量a与b互相垂直，(a?c)?c?3求a?b?c．

?3?，(b?c)??6，且a?1，b?2，

20. 设：a?i?3j?5k，b??2i?j?3k求a?b 21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a； （2）(3a?2b)?(a?3b)；（3）a与b的夹角．

?22. 设：(a?b)?23. 设：a??1,??6且a?1，b?3，求a?b．

（1）a?b；（2）a?b； ?1,2?，b???1,?2,1?，试求：

（3）cos(a?b)．

24. 已知：a?3，b?26，a?b?72，求a?b．

25. 设a与b相互垂直，且a?3，b?4，试求（1）(a?b)?(a?b)； （2）(3a?b)?(a?2b)．

26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a 27. 已知：a?3i?2j?k，b?i?j?2k，求（1）a?b； （2）(a?2b)?(2a?3b)；（3）(a?b)?i（4）a?i?b． 28. 求与a??2,29. 已知：a??3,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量． ?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求

(a?c)b?(a?b)c在向量c上的投影．

30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线． 31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹 角．

32. 设：a??2,?3,6?b???1,2,?2?向量c在向量a与b的角平分线

上，且c?342，求向量c的坐标．

?33. 设：a?4，b?3，(a?b)?积．

34. 求过点P0(7,35. 过点P0(1,36. 过点M(1,37. 过点A(3,?6求以a?2b和a?3b为边的平行四边形面

2,?1)，且以n??2,?4,3?为法向量的平面方程．

0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．

?3,2)且垂直于过点A(2,2,?1)与B(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，B(4,?1,?1)，C(2,0,2)的平面方程．

38. 过点P0(2,1,1)且平行于向量a??2,1,1?和b??3,?2,3?的平面方程．

39. 过点Mo（1，?1，1）且垂直于平面 x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方

程．

40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距． 41. 建立下列平面方程

（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；

（2）过点A（?3，1，?2）和B（3，0，5）且平行于x 轴； （3）平行于x y 面，且过点A（3，1，?5）；

（4）过点P1（1，?5，1）和P2（3，2，?2）且垂直于x z 面．

42. 求下列各对平面间的夹角

（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；

（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0． 43. 求下列直线方程

（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量s???3，?2，1?； （2）过点Mo(3，4，?2)且平行z 轴； （3）过点M1（1，2，3）和M2（1，0，4）； （4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直． 44. 将下列直线方程化为点向试方程

（1）??x?2y?3z?4?0?x?2y?2； （2）?；

?3x?2y?4z?8?0?y?z?4?3x?2z?1?0

?y?z?0（3）?45. 将下列直线方程化成参数式方程

?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?； （2）?25．

?5y?z?2??y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．

x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线 与 的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线 64．求下列各对直线的夹角 （1）

x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1 （2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．

?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0x?1yz?1?? 与 4?1349. 证明直线

?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?50. 设直线 l的方程为：

x?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面1?2n2x?y?z?5?0 平行？

51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．

53. 求过点（1，2，1）而且与直线

?． 3?y?z?1?0

?x?2z?0?x?2y?z?1?0 与 ?x?y?z?1?0??2x?y?z?0 平行的平面方程． ?x?y?z?0?54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程． 55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l

?3x?z?2?0与平面?的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．

?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线?18?3?z??11?10t?l1与l2都垂直，求直线l的方程．

?x?y?z?1?057. 已知直线：l1:? 及点 p(3，?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相

2x?y?z?4?0?交，求直线l的方程．

58. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

z?0?62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的

x2y2z2y22?z2?2； ???10； （2）x? （1）

4343 （3）x?y?z?1； （4）(z?a)?x?y． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形

222222x2y2??1； （1）3x?4y?1； （2）2322z2?1． （3）z?4x； （4）4y?322

自测题 (A)

(一) 选择题

1．点M(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（ ） A．5 B．4 C．1 D．42 2．点A(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（ ）

A．(2,?1,?3) B．(?2,?1,3) C．(2,1,?3) D．(?2,1,?3)

3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（ ） A．?20,0,16? B．?5,4,?20? C．?16,0,?20? D．??20,0,16? 4．设向量a?4i?2j?4k，b?6i?3j?2k，则(3a?2b)(a?3b)=（ ） A．20 B．?16 C．32 D．?32 5．已知：A(1,2,3),B(5,?1,7),C(1,1,1),D(3,3,2)，则prj A．4 B．1 C．

CD?AB=（ ）

?1 D．2 2 6．设a?2i?j?k，b?i?2j?k，则(a?b)?(a?b)?（ ） A．?i?3j?5k B．?2i?6j?10k C．2i?6j?10k D．3i?4j?5k 7．设平面方程为x?y?0，则其位置（ ）

A．平行于x 轴 B．平行于y 轴 C．平行于z 轴 D．过z 轴． 8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 9．直线

x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（ ） ?2?73 A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 10．设点A(0,?1,0)到直线??y?1?0 的距离为（ ）

?x?2z?7?0 C．

A．5 B． (二) 填空题

1611 D． 58 1．设A(?3,x,2)与B(1，?2，4)，两点间的距离为29，则x?_________． 2．设u??a?3b?2c，v?2a?b?c，则2u?3v?_______________． 3．当m=_____________时，2i?3j?5k与3i?mj?2k互相垂直．

4．设a?2i?j?k，b?i?2j?2k，c?3i?4j?2k，则

prjc(a?b)= ．

4． 设a?2i?j?k，b?i?2j?3k，则(2a?b)?(a?2b)=_________． 5． 与A(3,2,?1)和B(4,?3,0)等距离的点的轨迹方程为_______________．

（5，1，7）（4，0，?2）6． 过点，且平行于z 轴的平面方程_______________．

7． 设平面：x?y?z?1?0,与2x?2y?2z?3?0 平行，则它们之间的距离 _________________________．

（2，?8，3）8． 过点且垂直平面x?2y?3z?2?0 直线方程为______________．

10．曲面方程为：x?y?4z?4，它是由曲线______________绕_____________旋转而成的．

(三) 解答题

1．求平行于a??6,3,?2?的单位向量．

2．已知作用于一点的三个力F1???2,3,?4?,F2??1,2,3?,F3??3,?4,5?求合力的大小与方向．

3． 如果a??2,?1,1?，b??1,2,?1?求a在b上的投影．

4． 用向量方法，求顶点在(2,?1,1),(1,?3,?5),(3,?4,?4)的三角形的三个内角． 5． 设a??i?2k，b?2i?j?k，c?i?2j?2k，试将下列各式用i,j,k表示． （1） (a?b)?c； （2）(a?b)?(a?c)．

2226． 求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．

7． 在平面x?y?2z?0上找一点p，使它与点(2,1,5),(4,?3,1)及(?2,?1,3)之间的 距离相等．

8． 求过 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 的圆的方程，并求该圆在坐标平面x y 上的投影 曲线方程．

9．求过点（1,2,1）且同时平行2x?3y?z?1?0和3x?y?z?5?0两平面的直线 方程．

10．方程：2x2?y2?z2?1表示什么图形？

自测题（B）

(一) 选择题

1．设a??2,?3,1?,b??1,?1,3?,c??1,?2,0?，则(a?b)?c?（ ）

? A．8 B．10 C．?0,?1,?1? D．?2,1,212．设a??1,?1,2?,b??2,?2,2?，则同时垂直于a和b的单位向量（ ） A．?{12,111,0} B．?{,,0} C．?{2,2,0} D．?{2,2,0}

222b//a，且b?14，则b?（ ） 3．若a?6i?3j?2k， A．?(12i?6j?4k) B．?(12i?6j) C．?(12i?4k) D．?(6j?4k) 4．若M1(1,1,1),M2(2,2,1),M3(2,1,2)，则M1M2与M1M3的夹角?（ ） A．

???? B． C． D． 6234 5．过M1(2，?1，4),M2(?1，3，?2)和M3(0，2，3)，的平面方程（ ） A．14x?9y?z?15?0 B．2x?7y?8z?6?0 C．14x?9y?z?15?0 D．14x?9y?z?15?0 6．求平面x?y?2z?6?0 与平面2x?y?z?5?0的夹角（ ） A．

???? B． C． D． 2634 7．直线??A1x?B1y?C1z?D1?0 各系数满足（ ）条件，使它与y 轴相交．

?A2x?B2y?C2z?D2?0 A．A1?A2?0 B．

B1D1 C．C1?C2?0 D．D1?D2?0 ?B2D2?x?y?z?1?0 8．设点Mo(3,?1,2)，直线l?，则MO到l的距离为（ ）

2x?y?z?4?0? A．

3235352 B． C． D． 2542x?2y?3z?4??与平面2x?y?z?6夹角为（ ） 1125 A．30o B．60o C．90o D．arcsin

6 9．直线

10．过点(?1,?2,?5)且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）

A．(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?52 B．(x?5)2?(y?5)2?(z?5)2?52 C．(x?2)2?(y?2)2?(z?2)2?52 D．(x?5)2?(y?5)2?(z?5)2?52 (二) 填空题

1．设a?i?2j?3k，b?2i?j，c??i?j?k，则a?b与c是否平行__________． 2．设a?{3,5,8}，b?{2,?4,?7}，c?{5,1,?4}，则4a?3b?c在x 轴上的投影_________________．

3．化简：(a?b?c)?c?(a?b?c)?b?(b?c)?a?__________________． 4．直线 l:?置关系． 5．过直线??5x?3y?2z?5?0 和平面 ?:4x?3y?7z?7?0的___________位

2x?y?z?1?0??4x?y?z?1?0 且与x 轴平行的平面方程___________________．

?x?5y?z?2?02，则k?_________________． 6．原点(0,0,0)到平面2x?y?kz?6，的距离为 7．与平面2x?y?2z?5?0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．

8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：16x?9y?9z?25 则曲面名称为________________．

22222??z?2?x?y 10．曲线? 在y z 面上的投影方程______________． 22??z?(x?1)?(y?1) (三) 解答题

1．设a?{1,1,1},b?{0,1,1},c?{1,1,0}并令d?xa?yb?zc（x ,y ,z 为数量） 求 （1）d； （2）当d?{1,2,3}时，x,y,z． 2．求平行于a?{6,3,?2}的单位向量．

3．确定k值，使三个平面：kx?3y?z?2,3x?2y?4z?1,x?8y?2z?3通过同一条直线．

4．已知两个不平行的向量a与b，a?b?2，a?1，b?4，设c?2(a?b)?3b， 求（1）a?(b?c)； （2）c； （3）b与c的夹角余弦． 5．求以向量i?j,j?k,k?i为棱的平行六面体的体积． 6．垂直平分连接A(4,3,?1),B(2,5,3)的线段的平面方程．

7．求与平面2x?6y?3z?4平行平面，使点(3,2,8)为这两个平面公垂线中点． 8．在平面x?y?2z?0上找一点p使它与点(2,1,5),(4,?3,1)及(?2,?1,3)之间的距离相等．

9．方程：4x?y?8x?4y?4?0表示什么曲面？

22?x2?y2?z2?6x?4y?09． 方程组? 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与

?2x?y?2z?1?0半径．

参考答案

练习题

1．（1）第Ⅱ挂限； （2）第Ⅴ挂限； （3）第Ⅶ挂限； （4）第Ⅵ挂限． 2．可能在第Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅶ挂限．

3．（1）(a,?b,c)； （2）(a,?b,?c)； （3）(?a,?b,?c)． 4．x?1或x??5． 5．略

6．算出距离后，证明满足勾股定理 7．M(0,?3,0)． 8．a．

9．A1A2?u； A2A3?u?v； A3A4?v； A4A5??u； A5A6??(u?v)； A6A1??v． 10．当

． a与b方向相同时等号成立 11．?8a?9b?7c．

1(AB?AC)． 2111 13．AA'?(AB?AC)； BB'?(AC?2AB)； CC'?(AB?2AC)．

222 12．AD? 14．AD?c?abc； BE?a?； CF?b?． 222 15．2a?3b?11i?j?k； 2a?3b??7i?5j?7k． 16．??45或135． 17．中点 x????x1?x2y?y2z?z2,y?1,z?1． 222 18．

52． 2 19．A(?2,3,0)．

20．2AB?3AC?{?11,8,18},AB?4AC?{11,4,?13}． 21．a?b?{1,2,1},2a?5b?{9,?10,?12},3a?b?{7,?2,?5}． 22．单位向量为{,?2321,}． 33? 23．（1）7； （2）u在x 轴的分向量13i，u在z 轴的分向量?9k；

（3）u??299．

24．利用数量积运算法则．

25．a?b??9； (ab)???arccos?935． 70 26．x =4． 27．单位向量：?121???(i?4j?2k)．

317． 2???????????? 29．(1)若a与b同向，则a?b?a?b，若a与b反向，则a?b??a?b；

28．S?ABC???? （2）cos(ab)．

3． 5??? 31．a?b?c?17?63．

30．k???? 32．a?b?16．

33．（1）46； （2）?2； （3）(ab)???arccos?8483．

34．

3． 2???1 35．（1）3； （2）3i?3j?3k； （3）．

2 36．?30．

37．（1）24； （2）60． 38．略

????????39．（1）3i?7j?5k； （2）?21i?49j?35k； （3）j?k；

（4）i?2j． 40．14．

??122,}． 3334237 42．?．

13????? 43．提示：验证(a?d)?(b?c)是否为0．

41．?{,? 44．(ab)???3????，提示：c?d则c?d?0．

? 45．c?{?3,15,12},或c?{3.?15.?12}． 46．30．

47．2x?4y?3z?3?0．

? 48．x?y?3z?4?0． 49．x?2z?3?0． 50．3x?3y?z?8?0． 51．5x?3y?7z?0． 52．y?z?2?0． 53．截距式：?xyz???1，在x y ,z 轴截距分别是 ?9,?6,18． 9618 54．(1)平行于x z 面； (2)过原点； (3)平行于z 轴； (4)平行于x 轴且过原点．

55．（1）x?3y?0； （2）y?z?5?0； （3）z?5?0；（4）3x?2z?5?0． 56．（1） 58．(1) (3) 59．(1)

(3)

??； （2）． 32x?2y?1z?3x?3y?4z?2????； (2) ； ?3?21001x?1y?2z?3xyz???． ； (4) ?0?213?12x?4y?6z?4x?2yz?4????； (2) ； 2138211x?1y?1z?1??． 23?3?x?2?5t?x?6?2t?? 60． (1)?y??1?t； (2)?y?2 ．

?z??3?5t?z??1?5t?? 61．

x?1y?1z?1??． 31?1 62．8x?9y?22z?59?0． 63．5x?3y?z?1?0．

64．（1）arccos 66．n=4．

?22； （2）．

227 67．x?3y?0 或 3x?y?0． 68．

xy?1z??． ?23?1 69．x?y?z?0．

70．x2?y2??8(z?2)． 71．l//?,l与?间的距离为16．

x?1??65x?3? 73．4 72．y?16z?1?． ?22?37y?1z?2?． ?11 74．球心：(2,1,?1)，半径5． 75．球心：(1,?3,2)，半径5． 76．y2?z2?5x． 77．4x2?9y2?4z2?36．

?x2y2?10?? 78．（1） 由?3 绕y 轴旋转而成． 4?z?0??2y2?2?x? （2）? 绕y 轴旋转而成． 4?z?0??x2?y2?1 （3）?绕x 轴旋转而成．

z?0??(z?a)2?x2 (4)? 绕z 轴旋转而成．

?y?0 79．（1）母线平行于z 轴的椭圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面； （3）母线平行于y 轴的抛物柱面； （4）母线平行于x 轴的椭圆柱面．

?2z2?z?2y?1?x? 80．（1）? 旋转轴 z 轴； （2）? 旋转轴 x 轴． 3?x?0?y?0?

自测题(A)

(一) 选择题

1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．A． (二) 填空题

?419?? 1．x?1或x??5； 2．?8a?9b?7c； 3．m??； 4．

329 5．575； 6．2x?10y?2z?11?0； 7．x?y?4?0；

5x?2y?2x?3y23； 9．???z2?1绕z 轴旋转而成． 8．； 10．曲线612?34 (三) 解答题

6?3?2??(i?j?k) 1．

777????? 2．F?2i?j?4k； 大小F?21；

方向：cos??22116,cos??121,cos??421．

?a?acos???3．prjb??；

?.9239B?0.38264．cosA?0.9239； A?arcco0s； ?A?2230'； cos；

?B?6730'； ?C?90．

???????? 5．（1）8i?3j?7k； （2）?2i?j?4k．

6．2x?y?0． 7．(,1,)．

7515?x2?y2?z2?1?x2?y2?xy?x?y?0 8．圆? x y 投影?．

?x?y?z?1?z?0 9．4x?5y?7z?1?0．

10．表示双叶旋转双曲面，旋转轴为x 轴．

自测题(B)

(一) 选择题

1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B

(二) 填空题

?? 1．不平行； 2．13； 3．2(a?b)； 4．l在?内； 5．21y?7z?9?0；

2 6．k??2； 7．2x?y?2z??233； 8．x?10z??25；

?2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0 9．双叶双曲面； 10．?．

?x?0 (三) 解答题

1．（1）d?{x?z,x?y?z,x?y}； （2）x?2,y?1,z??1．

6?3?2?2．?(i?j?k)．

7773．k?2．

4．（1）?4； （2）c?83； （3）cos??? 5．2．

6．x?y?2z?5?0． 7．2x?6y?3z?32?0． 8．点p(,1,)．

9．母线平行于z 轴的椭圆柱面．

10．是圆．圆半径为

?3． 37515213111417，圆心(,,?)． 3999

?2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0 9．双叶双曲面； 10．?．

?x?0 (三) 解答题

1．（1）d?{x?z,x?y?z,x?y}； （2）x?2,y?1,z??1．

6?3?2?2．?(i?j?k)．

7773．k?2．

4．（1）?4； （2）c?83； （3）cos??? 5．2．

6．x?y?2z?5?0． 7．2x?6y?3z?32?0． 8．点p(,1,)．

9．母线平行于z 轴的椭圆柱面．

10．是圆．圆半径为

?3． 37515213111417，圆心(,,?)． 3999

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