第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

21.设随机变量E(?)??，方差D(?)??，则由切比雪夫不等式有P{|???|?3?}? 2.设?1,?2,?,?n是

1 . 9n个相互独立同分布的随机变量，

E(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i，写出所满足的切彼雪夫不等式 ?i?1nnP{|???|??}?D(?)811? ，并估计 . ?P{|???|?4}?2n?2n?23. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,

DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式

i?19直接可得PX?9??? 1???9 . ?2解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有

?2?2P{|X??|??}?2, 或者P{|X??|??}?1?2.

??由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

9?9?9??E(X)?E??Xi???E(Xi)??1?9,

i?1?i?1?i?19?9?9??D(X)?D??Xi???D(Xi)??1?9.

i?1?i?1?i?12

4. 设随机变量X满足：E(X)??,D(X)??, 则由切比雪夫不等式, 有P{|X??|?4?} ?221 . 16 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足E(X)??,D(X)??, 则对任意

?2?21 的??0, 有P{|X??|??}?2.由此得 P{|X??|?4?}??.

?(4?)216 41

5、设随机变量?,E(?)??,D(?)??，则P{|???|?2?}?

23 . 46、设?1,?2,?,?n为相互独立的随机变量序列，且?i(i?1,2,?)服从参数为?的泊松

分布，则limP{i?1n????ni?n??x}? n?12??x??e?t22dt .

7、设?n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的

b?npnp(1?p)a?npnp(1?p)概率，则P{a??n?b}? ?1e2??t22dt.

8. 设随机变量?n, 服从二项分布B(n,p), 其中0?p?1,n?1,2,?, 那么, 对于任 一实数x, 有limP{|?n?np|?x|}? 0 . n???9. 设X1,X2,?,Xn为随机变量序列,a为常数, 则{Xn}依概率收敛于a是指 ???0,limPXn?a??? 1 ,或???0,limPXn?a??? 0 。

n????n????????

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落 在75至85之间的概率不小于 9 .

25 解：E(X)?80,D(X)?16, 于是

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则E(X)?500,D(X)?250

P(75?X?85)?P(|X?80|?5)?1?169?. 2525P{450?X?550}?P{|X?500|?50}

?P{|X?E(X)|?50}?1?D(X)250?1??0.9 2250050 42

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解：

设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

X~B(50,0.90).

由此 P(通信系统能正常工作)?P(45?X?50)

X?50?0.950?50?0.9??45?50?0.9?P????50?0.9?0.150?0.9?0.1? ?50?0.9?0.1??(2.36)??(0)?0.9909?0.5?0.4909.

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数?~b(120,0.05),np?6,npq?5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

?10?6?P{??10}?1?????1??(1.67)?0.0475.?5.7?

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.

解：设去阅览室学习的人数为?, 要准备k个座位.

?~b(n,p),n?4900,p?0.1,np?4900?0.1?490,npq?4900?0.1?0.9?441?21.

?k?np??0?np??k?490??0?490?P{0???k}?????????????????npq??npq?2121????????

?k?490??k?490??????(?23.23)??????0.99.?21??21?

k?490?2.3263,k?21?2.3263?490?538.8523N(0,1)查分布表可得21

?539.

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.

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5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设 ?表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。

?i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，?，6

?1， ?2， ? ，?6 相 互 独 立 ， 显 然 ????

ii?161?1?2?3?4?5?6??762124935 22D?i?1?2???6??641235E??21D??2E?i???p?9???33??p???E??12??1?p???E??13?

?1?D???35?1??0.9 1693386. 设随机变量?1,?2,?,?n 相互独立，且均服从指数分布

???e??xx?0???0? 为 使 P?1f(x)???0x?0?n 问： n的最小值应如何 ？

??k?k?1n11?95???100， ?10??

解: E?k?11,D?k?2 ??1?1n?1?1n?1nE???k??,D???k??2??D?k??2

n??nk?1???nk?1?nk?1由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

?P???12?1?95111??1??1?n???P??E???1??, ???????k??k?k2?nn10?100nk?1?10?????k?1??1??k?1???10???nnn即 1?100n95 , 从 而 n ? 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 ?n100

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品

率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?

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解：? 设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则X~b(n,0.1)，

P{X?10}?0.9，而P{X?n?0.110?n?0.1?}?0.9

n?0.1?0.9n?0.1?0.9所以P{X?n?0.110?0.1n?}?0.1

n?0.1?0.90.09n由中心极限定理知，当n充分大时， 有P{X?0.1n10?0.1n10?0.1n?}??()?0.1，

n?0.1?0.90.09n0.3n10?0.1n)?0.1

0.3n查表得

? 由?(10?0.1n??1.28 ?n?147

0.3n8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X表示正常工作的元件数，则X~b(100,0.9)，

85?90X?100?0.9100?90P{X?85}?P{100?X?85}?P{??

9100?0.1?0.995X?9010?P{???}

333由中心极限定理可知

105105)??(?)??()?(1??()) 33331055??()??()?1??()?0.95

333P{X?85}??((2)设X表示正常工作的元件数，则X~b(n,0.9)

P(X?0.8n)?P(0.8n?X?n)?P{?0.1nX?0.9n0.2n??

0.3nn?0.9?0.10.3n?P{?nX?0.9n2nX?0.9n??n}?P{??} 3330.3n0.3nnn)??()?0.95?33

n5? 33

?1??(??n?25

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