天字1号排列组合的讲义（新篇）

排列组合的讲义

作者：徐克猛（天字1号） 2009-2-19

一、 排列组合定义

1、什么是C

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用， 这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C（3，2）＝3

2、什么是P或A

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）

3、A和C的关系

事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求

组合：C（M，N）＝M！÷（ N！×（M－N）！） 条件：N<=M 排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！ 条件：N<=M

为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C（M，[M－N]），因为 C（M，N）＝C（M，[M－N]）

二、 排列组合常见的恒等公式

1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n

2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1） 针对这2组公式我来举例运用

(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512

(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？

C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。

三、 排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）

(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零， 例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，

第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5） 第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）

我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是A（5，5）＋A（5，5）＝240

(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×?×mn种不同的方法．

例如： 7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则， 第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A（5，5） 第二步：我们再排甲乙，A（2，2） 这样就是 A（5，5）×A（2，2）＝240

如何区分两个原理：

我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；

我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来

（3）特殊优先，一般次要的原则

例题：

（1）从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有___个。

第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。

（2）在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。

（3）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有C（6，1）种方法； （二）从剩下的5双手套中任选2双，有C（5，2）种方法。

（三）这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双；

即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240

（4）身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90种。

四、 解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1＝a＋b 就是我们构建逆向思维的数学模型了， 当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a＝1－b。

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点 我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。

例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略： （1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集

例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数? （2）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?

P55×－P44＝120－24＝96

用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?

25，75 （3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60

（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?

3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略 例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有

C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6×10=60个 4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。144

5、插板法

插板法的条件构成： 1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个

插板法的类型： （1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法 点评略） （2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法： 这个题目对照插板法的3个条件我们发现 至少满足1个这个条件没有， 所以我们必须使其满足，最好的方法 就是用14块奶糖来分，至少每人1块 ，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）

（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法： 已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排 使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合！） （4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法 这里不多讲，见我排列组合基础讲义）

6、递归法（枚举法）

公考也有这样的类型， 排错信封问题，还有一些邮票问题

归纳法：

例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？

枚举法：

例如：10张相同的邮票 分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？ 枚举：

1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9种方法！

五、 疑难问题

1、如何验证重复问题

2、关于位置与元素的相同问题，

例如： 6个人平均分配给3个不同的班级，跟 6个学生平分成3组的区别

3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。

例题： 1，2，3，4，5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？ 例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？

注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。 当对立情况的概率相等，即对称原理。

4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解） 例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法？

例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？

注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中 每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。

5、几何问题：见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。 1 点

1．1 共面的点

例题： 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ）

A．30种 B．33种 C．36种 D．39种

答案：B

点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点

例2： 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A．150种 B．147种 C．144种 D．141种

解析：从10 个点中任取4个点有C（10，4）＝210 种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C（6，2）＝15种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141 种。

答案：D。 点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

几何型排列组合问题的求解策略

有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.

一 分步求解

例1 圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______．

解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2n个点中构成直径（即斜边）共有n种取法；再从余下的(2n－2)个点中取一点作为直角顶点，有(2n－2)种不同取法．故总共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．故填2n(n－1)．

例2： 从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有____条（结果用数值来表示）.

解：因为直线过原点，所以C＝0. 从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B， 两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为 P（6，2）＝30． 二 分类求解

例3 四边体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有（ ）

(A)30种 (B)33种 (C)36种 (D)39种

解：符合条件的取法可分三类：① 4个点（含A）在同一侧面上，有3 ＝30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B. 三 排除法求解

例4 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）

(A) 8种 (B) 12种 (C) 16种 (D) 20种

解：由六个任取3个面共有 C（6，3）＝20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有 20－8＝12种，故选(B)．

例5 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ ）个？

解：从7个点中任取3个点，共有C（7，3）＝35 个，排除掉不能构成三角形的情形．3点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有 35－3＝32个． 四 转化法求解

例6 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？

解：考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于这六个点可构成C（6，4）＝15 个三棱锥，故共有3×15 ＝45对异面直线.

例7 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？

解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数．显然可构成 C（10，4）＝210个圆内接四边形，故10个点连成的点最多能在圆中交点210个.

6、染色问题：

不涉及环形染色 可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。 环形染色可采用如下公式解决：

An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^n n表示被划分的个数，a表示颜色种类

原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类 在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理

例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法？

图1

例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？

图2

例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？

图3

例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，要求相邻区域不同色，那么则有多少种染色方法？

图4

例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分（如图5） 现在要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花，则有多少种不同栽种方式？

图5：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/76u6.html