材料力学教案（第二章）

山东大学授课教案

课程名称 材料力学 本次授课内容 第二章 杆件的内力 教学日期 第2～5讲

授课教师姓名 李文娟 职称 讲师 授课对象 本科二年级 授课时数 2

教材名称及版本 材料力学（蔺海荣主编） 授课方式（讲课 实验 实习 设计） 讲课

本单元或章节的教学目的与要求

1. 理解轴向拉伸和压缩的概念，熟练掌握轴力的计算和轴力图的绘制。

2. 理解扭转变形的概念，掌握外力偶矩的计算方法，熟练掌握扭矩的计算和扭矩图的绘制。

3. 理解弯曲变形和平面弯曲的概念，熟练写出剪力方程和弯矩方程并且画剪力图和弯矩图。

4. 熟练掌握根据载荷集度、剪力和弯矩的关系做剪力图和弯矩图。

授课主要内容及学时分配：

轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图（50min），扭转的概念.扭矩与扭矩图（50min），弯曲的概念.剪力与弯矩（30min）剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图（40min），载荷集度、剪力与弯矩之间的关系（50min）平面刚架与平面曲杆的弯矩内力（30min）

重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）

重点：各种基本变形杆件内力的计算及其内力图的绘制

难点：内力的正负号的判定，载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系的理解，平面刚架与平面曲杆的弯矩内力

要求：

1．熟练掌握截面法计算轴力，画轴力图。 2．熟练掌握截面法计算扭矩，画扭矩图。 3. 理解对称弯曲的概念。

4．熟练掌握截面法计算剪力与弯矩，写剪力方程与弯矩方程，画剪力图与弯矩图。 5．熟练掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其应用。 6．掌握平面刚架与平面曲杆的内力计算。 7．自学叠加法求剪力图、弯矩图。

主要外语词汇

内力internal force，截面法method of sections，轴向拉伸axial tension ，轴向压缩axial compression，轴力axial force，轴力图axial force diagram，扭转torsion，外力偶矩 external moment，扭矩图torque diagram，梁beams，弯曲bending，平面弯曲plane bending，简支梁simply supported beam，外伸梁overhanging beam，悬臂梁cantilever beam，剪力shear force， 弯矩bending moment，剪力图shear-force diagrams，弯矩图bending-moment diagrams，平面刚架plane frame members，平面曲杆Plane curved bars

辅助教学情况（多媒体课件、板书、绘图、标本、示教等） 多媒体课件、板书

复习思考题

参考教材（资料） 1．《材料力学》 [美]S.铁摩辛柯 科学出版社出版。 2．《材料力学》（第四版，上、下册） 刘鸿文主编 高等教育出版社 3 《材料力学》（第三版，上、下册） 孙训方主编 高等教育出版社 4．《材料力学解题指导及习题集》 清华材料力学教研室编 高等教育出版社

5．《材料力学学习指导》 华东材料力学与强度协会编著 中国矿业大学出版社

授课主要内容 1．轴向拉伸和压缩 1）轴向拉伸或压缩的概念 受力特点：外力或合外力与轴线重合； 变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。 计算简图为： 图2-1 2）轴力 轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用FN表示，单位为牛顿（N）。 轴力的正负号规定：拉为正，压为负。 3）轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。 2．扭转 1）扭转的概念 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。计算简图为： 轴 2）外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 PMe?9549(N.m) n当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

PMe?7024(N.m)

n3）扭矩、扭矩图

当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩—扭矩，用T表示。

扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。

表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。

3．弯曲内力

纵向对称面 1）基本概念 弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根轴线 对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位图2-3 于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2-3所示。 2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。 静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩 剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的图2-4 合力，称为剪力，用FS表示。 弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表示。 剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力FS规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）所示 。 根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面F?FS(x)在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即S

M?M(x)上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5）剪力图和弯矩图

为了直观地表达剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：

图2-5 （1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)。 在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明

FSmax、Mmax的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度q（x）、剪力FS（x）与弯矩M（x）之间的关系为:

dFS(x)?q(x) dxdM(x)?FS(x) dxd2M(x)dFS(x)??q(x) 2dxdx根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

(a)若某段梁上无分布载荷，即q(x)?0，则该段梁的剪力FS（x）为常量，剪力图为平行于x轴的直线；而弯矩M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。

(b)若某段梁上的分布载荷q(x)?q（常量），则该段梁的剪力FS（x）为x的一次函数，剪力图为斜直线；而M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。当q?0（q向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当q?0（q向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。

dM(x)(c)若某截面的剪力FS（x）=0，根据?0，该截面的弯矩为极值。

dx利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：

第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）； 第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；

第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定FSmax和Mmax。

FSmax可能出现的地方：①集中力F作用处；②支座处。Mmax可能出现的地方：①剪

力FS=0的截面；②集中力F作用处；③集中力偶M作用处。

6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力

刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。 各杆连接处称为刚节点。

刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能

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