初中数学竞赛专题讲义 第五讲 方程组的解法

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初中数学竞赛专题讲义 第五讲 方程组的解法

二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．

例1 解方程组

解 将原方程组改写为

由方程②得x=6+4y，代入①化简得

11y-4z=-19． ④

由③得

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2y+3z=4． ⑤

④×3+⑤×4得

33y+8y=-57+16，

所以 y=-1．

将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以

为原方程组的解．

说明 本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．

解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．

例2 解方程组

解法1 由①，④消x得

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由⑥，⑦消元，得

解之得

将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以

解法2 由原方程组得

所以

x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x)

=-15+16x，

即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3

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代入⑥得y=2．所以

为原方程组的解．

解法3 ①+②+③+④得

x+y+z+u=10， ⑤

由⑤-(①+③)得

y+u=6， ⑥

由①×2-④得

4y-u=4， ⑦

⑥+⑦得y=2．以下略．

说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．

例3 解方程组

分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：

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①+②得

x+u=3， ⑥

②+③得

y+v=5， ⑦

③+④得

z+x=7， ⑧

④+⑤得

u+y=9． ⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15．⑩

⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以

为原方程组的解．

例4 解方程组

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解法1 ①×2+②得

由③得

代入④得

为原方程组的解．

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为原方程组的解．

说明 解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消

为换

元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．

例5 已知

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分析与解 一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．

①-②消去x得

①×3+②消去y得

①×5+②×3消去z得

例6 已知关于x，y的方程组

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分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．

分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．

解 由①得

2y=(1+a)-ax， ③

将③代入②得

(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)． ④

(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有

因而原方程组有唯一一组解．

(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．

(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．

例7 已知关于x，y的二元一次方程

(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，

当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个

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公共解．

解法1 根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组

将x=3，y=-1代入原方程得

(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．

所以对任何a值

都是原方程的解．

说明 取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．

解法2 可将原方程变形为

a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．

由于公共解与a无关，故有

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例8 甲、乙两人解方程组

原方程的解．

分析与解 因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解

4×(-3)-b×(-1)=-2． ③

a×5+5×4=13． ④

解由③，④联立的方程组得

所以原方程组应为

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练习五

1．解方程组

2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组

试确定3x4+2x5的值．

3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c

的形式，试求

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4．k为何值时，方程组

有唯一一组解；无解；无穷多解？

5．若方程组

的解满足x+y=0，试求m的值．

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