中国地质大学（武汉）大学物理下册习题答案

作业2 动量与角动量 功与能

2-1一步枪在射击时，子弹在枪膛内受到的推力满足 F?400?4?105t 的规律，已3知击发前子弹的速率为零，子弹出枪口时的速度为300 m/s，受到的力变为零． 求： ⑴ 子弹受到的冲量？ ⑵ 子弹的质量为多少克？ 原题 3-3

2-2 一个质量m = 50 g，以速率?= 20 m/s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力加给它的冲量是多大？ 原题 3-4

1

2-3 有一运送砂子的皮带以恒定的速率?水平运动，砂子经一静止的漏斗垂直落到皮带上，忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：

⑴ 若每秒有质量为M??d Md t的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率?运动，需要多大的功率？

⑵ 若M??20 kg/s，??1.5m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？ 解： ⑴ 设t时刻落到皮带上的砂子质量为M， 速率为?，

t + d t 时刻，皮带上的砂子质量为 M + d M，速率也是?，根据动量定理，皮带作用在砂子上的外力 F 的冲量为：

F d t?(M?d M)??(M??d M?0)?d M??

∴ F??d Md t??M?

由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F?，即F??F． 由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F???F?，因而，

??F???F，F???F，F??与?同向，

????动力源所供给的功率为： P?F??????dMdt??2dMdt??2M?

⑵ 当M??d Md t＝20 kg/s，??1.5m/s，时， 水平牵引力 F????M?＝ 30N 所需功率 P??2M?＝45W

2-4 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个非常扁的椭圆，它离太阳最近的距离是

r1?8.75?1010m，此时它的速度是 ?1?5.46?104m/s，它离太阳最远时的速率是

?2?9.08?102m/s，这时它离太阳的距离r2是多少？ 原题 3-8

2

2-5 假设一个运动的质子P只受某重核N的有心排斥力的作用．已知质子的质量为

?m，当它运动到与N 相距最近的A点时，距离为a，速度为?A，运动到某点B时，

???速度为?B，求此时重核N到速度?B的垂直距离b．（图左侧的长虚线为与?B方向平行的直线）． 解：

重核N的质量 M >> m，在质子P从接近到远离重核N的全过程中，重核 N 可视为静止． 质子P只受重核N的有心排斥力作用，P对N中心的角动量守恒．

??? L?r?m? = 恒矢量 rAm?Asin?A?rBm?Bsin?B rAsin?A?a， rBsin?B?b ∴ m?Aa?m?Bb 得 b?

N ?Ab ?B ?a A ?BP 题2-5图

N ?BvAb rBB vBa A ?Aa ?BP 2-6 一质量为 2?10?3kg 的子弹，在枪膛中前进时受到的合力 F?400?8000x (SI),

9子弹在枪口的速度为300 m/s．试计算枪筒的长度． 原题 4-1

3

2-7 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F??kr?2的作用下，作半径为r的

圆周运动，此质点的速度为 k(mr) ．若取距圆心无穷远处为势能零点，则其机械能为 ?k(2r) ．

原题 4-3

2-8 有一劲度系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离 地面为止．在此过程中外力所作的功为 m2g2(2k) ．

原题 4-7

2-9 有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空 2 倍于地球半径 R 的高度沿圆轨道运行，用m，R，引力常数 Ｇ 和地球的质量 M 表示

⑴ 卫星的动能 ；⑵ 卫星的引力势能为 ． 原题 4-8

2-10 一长方体蓄水池，面积为S = 50 m2，贮水深度为 h1 = 1.5 m．假定水平面低于地面的高度是h2 = 5 m，问要将这池水全部抽到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的功率为80％，输入功率为P = 35 kw，则抽光这池水需要多长时间？ 原题 4-2

4

2-11 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸长的关系为： F = 52.8 x + 38.4 x2（SI），求：

⑴ 将弹簧从伸长x1 = 0.50 m 拉伸到伸长 x2 = 1.00 m时所需做的功；

⑵ 将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到伸长 x = 1.00 m，再将物体由静止释放．求当弹簧回到伸长x1 = 0.50 m时，物体的速率． 原题 4-5

???qsin? t?j 2-12 一质量为m 的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为r?pcos? t i(SI)，式中p、q、?是正值常数，且p > q．求：⑴ 求质点在点 P ( p, 0 ) 和点Q ( 0,

?q ) 处的动能； ⑵ 质点所受的作用力 F，以及当质点从点 P运动到点Q的过程中的分力Fx和Fy分别作的功．

???qsin? t?j 可知： x?pco?解：⑴ 由位矢 r?pcos? t is t ，y?qsin? t

?x?d xd t??p?sin? t， ?y?d yd t?q?co?s t

22?1mvy?1mq2?2 点P ( p, 0 ) 处 co?s t ?1， sin? t ?0， EkP?1mvx22222?1mvy?1mp2?2 点Q ( 0, q ) 处 co?s t ?0， sin? t ?1， EkQ?1mvx2222 ? t ⑵ ax?d?xd t??p?2cos? t ， ay?d?yd t??q?sin???qsin??Fy???ay?? t i? t ?j) F?Fxij?m(axij)??m?2(pcos0000由点P→Q Ax??pFxd x??pmaxd x???pmp?2cos? t?d x???pm?2x d x?1mp2?2

2Ay??0Fyd y??0mayd y???0mq?2sin? t?d y???0m?2y d y??1mq2?22qqqq 5

作业4 气体动理论

4-1 氧气钢瓶体积为5升，充氧气后在27℃ 时压强为20个大气压，试求瓶内贮存有多少氧气？现高空中使用这些氧气，在高空空气的压强为0.67个大气压，温度为 -27℃，试问这时钢瓶可提供在高空使用的氧气是多少升？

0.13 kg ，117升；

原题 8—1

4-2 在P-V图上的一点代表系统 平衡状态 ；一条光滑的曲线代表 气体的准静态过程 ．

4-3 设想每秒有1023个氧分子以500 m/s的速度沿着与器壁法线成30°角的方向撞在面积为3?10?4m2的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强．

原题 8—3

6

4-4 两瓶不同类型的理想气体，它们的温度和压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 相同 ；气体的质量密度 不同 ；单位体积内气体分子的平均动能为 不同 ．

原题 8—4

4-5 若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳pV兹曼常数，则该理想气体的分子数为 N?kT ．

解： p?nkT?NpV kT N?kTV4-6 质量相同的氢气和氦气，温度相同，则氢气和氦气的内能之比为 10 : 3 ，氢分子与氦分子的平均动能之比为 5 : 3 ；氢分子与氦分子的平均平动动能之比为 1 : 1 ．

原题 8—6

4-7 试指出下列各量的物理意义

⑴ kT/2； ⑵ 3kT/2； ⑶ ikT/2.

答： ⑴ kT/2 ——理想气体分子任一自由度的平均动能； ⑵ 3kT/2 ——理想气体的分子的平均平动动能；

⑶ ikT/2 ——理想气体的分子的平均总动能

4-8 将0.2mol氧气从27℃加热到37℃，其内能增加了多少？分子的平均平动动能变化了多少？

解：氧气为双原子分子，i?5，则内能增量为

i5?E?? R(T2?T1)??0.2?8.31?10?41.55J

223分子的平均平动动能为EK?kT，其增量为

2?EK?33k?T??1.38?10?23?10?2.07?10?22J 227

4-9 一绝热密封容器的体积为10?2m3，以100 m/s的速度匀速直线运动，容器中有100g的氢气，当容器突然停止时，氢气的温度、压强各增加多少？

原题 8—7

4-10 容器内有一摩尔的双原子分子理想气体，气体的摩尔质量为?，内能为E，则气体的温度T = 2E5R ，分子的最可几速率 ?p= 2E(5?) ，分子的平均速率 ?= 4E(5π?) ． 原题 8—8

4-11 已知f(?)为麦克斯韦速率分布函数，N为分子总数， 则速率大于100 m/s的分子数目的表达式 N??dN??N???100f(?) d? ；

?速率大于100 m/s的分子数目占分子总数的百分比的表达式 P?速率大于100 m/s的分子的平均速率的表达式 ??∵

?100?f(?) d? ； f(?)d? ．

??100?f(?) d? ?100dN??f(?) d? —— 速率区间 ?~??d?内的分子数占总分子数的百分比(几率)N8

4-12 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B两部分面积相等，则该图表示[ ]

（A）?0为最概然速率 f(?)（B）?0为平均速率

（C）?0为方均根速率

A （D）速率大于和小于?0的分子数各占一半 B ?0ΔNA?0?O 参考解：A部分面积SA?； f??? d??0N题4-12图

?ΔNB SA?SB ∴ΔNA?ΔNB 答案为 [ D ] B部分面积 SB?f??? d???0N??

4-13 容积为2.0?10?3m3的容器中，有内能为6.75?102J的刚性双原子分子理想气

体，求：⑴ 气体的压强；

⑵ 设分子总数为5.4?1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度； 解：

（1） 由 E?mim?RT 和 PV?RT M2M2E2?6.75?102可得气体压强 P???1.35?105Pa ?3iV5?2.0?10（2）分子数密度n?NPPV，则该气体温度T???3.62?102k VnkNk3?21气体分子的平均平动动能为 ?k?kT?7.49?10J

2

4-14 真空管的线度为 10?2m，真空度为 1.333?10?3Pa．设空气分子的有效直径为3?10?10m，摩尔质量为28.97?10?3kg．求在27℃时真空管中空气的分子数密度、平均碰撞频率和平均自由程． 解：P301 12.26

p空气的分子数密度为 n?= …… = 3.2×1017 (m-3 )

kT1平均自由程为 ??= …… = 7.8 (m)

2π d2n平均碰撞频率为 z?2π d2n??2π d2n8RT-1

= …… = 59.9 (s ) π M 9

?m?*4-15 麦克斯韦速率分布律f(?)?4π?2??e2πkT??32?m?22kT?1?，求速率倒数的平均值??，

???并给出它与速率的平均值?的关系． 解：P296 12.9

由平均值的定义有

?1?????????0?m??2kT? d? f(?) d?? 4π??e0??2πkT?1??32m?2?m???kT??4π???? e?2πkT??m?032???m2?2kT 2m??m2? d????π kT?2kT??1?41???? ???π ?∵速率的平均值??π m ∴ 8kT

*4-16 假定 N 个粒子的速率分布曲线如图示．

⑴ 由 N 和?0求a；

⑵ 求速率在1.5?0到2.0?0之间的粒子数 ?N； ⑶ 求粒子的平均速率 ? 和方均根速率?2． 解：P295 12.7 ⑴ 由归一化条件有

af(?)O2?0题4-16图

?0?2??0f(?) d????00 d????0a d??1， 解之，得 a?3? ?0?a2?00⑵ ?N??2?01.5?0N f(?) d???2?01.5?0Na d??2N1(2.0?0?1.5?0)?N= 0.333 N 3?03?02?⑶ ??? ?f(?) d??? ??0002 d?? ??0?0?a2?01a312011??a???0= 1.22?0 a? d??3?0029?0?02?3 d??????f(?) d????? ??000022??0a2?01a41303133122??a??a?0??0 a? d??4?0031218?0?2?3162?0??0= 1.31?0 186 10

作业6 狭义相对论基础

6-1 惯性系S和S?的坐标在 t?t??0 时重合，有一事件发生在S?系中的时空坐标为60, 10, 0, 8?10?8．若s?系相对于s以速度u = 0.6c 沿x?x?轴正方向运动，则

??该事件在S系中测量时空坐标为( , , , )． 原题 6-1

6-2 天津和北京相距120 km．在北京某日19时整有一工厂因过载而断电，在天津同日19时0分0.0003秒有人放了一响礼炮． 试求在以 u?0.8c 速度沿北京到天津方向飞行的飞船中，观察者测量到这两个事件之间的时间间隔．哪一个事件发生在前．

原题 6-3

6-3 长为4m的棒静止在s系中xOy平面内，并与x轴成30?角，s?系以速度0.5c相对于s系沿x?x?轴正向运动，t?t??0时两坐标原点重合，求s?系中测得此棒的长度和它与x?轴的夹角．

原题 6-4

6-4 中子静止时的平均寿命为15 min 30 s，它能自发地衰变为三个粒子（质子、电子和中微子）．已知地球到太阳的平均距离为1.496?1011m．有一个中子被太阳抛 向地球，它必须具有 1.418×108 = 0.473 c m/s 的速率，才能在衰变前到达地球．

解： ????0??0

1?(uc)2 ? l?u??u?011

1?(uc)2 ? u?l2?0?(lc)2

6-5 一火箭静止在地面上测量时长度20 m，当它以 0.8 c 在空间竖直向上匀速直线飞行时，地面上观察者测得其长度为 ．若宇航员在飞船上举一次手用2.4 s，则地面上测到其举手所用时间为 ．

原题 6-6

6-6 以地球-月球作为参考系测得地-月之间的距离为 3.844?108m，一火箭以0.8 c 的速率沿着地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）．要求分别用：⑴ 洛仑兹变换公式，⑵ 长度收缩公式，⑶ 时间膨胀公式，求在地球-月球参考系和在火箭参考系中观测，火箭由地球飞向月球各需要多少时间？ P369 15.4；P371 15.9 解： 取地-月系为S系，地-月距离?x?3.844?108m，固定在火箭上的坐标系为S?系，

其相对S系的速率 u = 0.8 c，则在S系中火箭由地球飞向月球的时间为

?t??xu= …= 1.6 s

由已知 ??uc?0.8 ??1?5

1??23⑴ 由洛仑兹变换公式 t???(t?cx) ? ?t???(?t?c?x)

可求得在火箭S?系中 ?t?= …= 0.96 s

⑵ S?系中，测地-月距离为l?，是运动长度，由长度收缩公式 l?? l? 有 l??l? 则 ?t??l?u?t??l(u?) =…= 0.96 s

⑶ S?系中，两个事件在同一个地点发生，?t?为固有时间?0；S系中两事件时间间隔?t为运动时间?，由时间膨胀公式 ????0

?t???0?????t?=…= 0.96 s

??

6-7一匀质薄板静止时测得长、宽分别是a、b，质量为m，假定该板沿长度方向以接近光速的速度?作匀速直线运动，那么它的长度为 a1?(?2c2) ，质量为

m面积密度（单位面积的质量）为 1?(?2c2) ，m ．(原题6-8)

ab(1??2c2)解：∵ 沿运动方向 l?l0?，? a??a??a1?(?2c2)；m??? m?mmm?∵ b ⊥ 运动方向，? b??b， ? ?????abab(1??2c2)

12

1?(?2c2)

6-8 一静止长度为 l0 的火箭，相对于地面以速率 u 飞行，现从火箭的尾端发射一个光信号．试根据洛仑兹变换计算，在地面系中观测，光信号从火箭的尾端到前端所经历的位移、时间和速度． P370 15.6 解：

取固定在地面上的坐标系为S系，固定在火箭上的坐标系为S?系，自火箭尾端发射光信号为事件“1”， 光信号到达火箭前端为事件“2”，则有 S系中：事件1(x1,t1)，事件2(x2,t2)， ?x?x2?x1， ?t?t2?t1

?,t1?)，??x1??l0，??t1???x?c?l0c ?,t2?)，事件1(x1事件2(x2 ?x??x2 ?t??t2S?系中：

?S?系相对S系运动速率为u，由洛仑兹变换x??(x??? ct?)，t??(t??cx?)可得

位移 ?x??(?x??? c?t?)?[l0?u(l0c)]时间 ?t??(?t??c?x?)?[l0c?u(l0c2)] 速度 ???x?t?c

6-9 设火箭的静止质量为100 t，当它以第二宇宙速率 ??11.2?103m/s 飞行时，其质量增加了 0.7×10?? kg． P374 15.13 解： ???c，Ek?(m?m0)c2?m0?22，?m?(m?m0)?Ekc2?m0?2(2c2)=… 6-10 电子静止质量 m0?9.1?10?31Kg，当它具有2.6 ? 105 eV动能时，增加的质量与静止质量之比是 0.508 原题 6-9 解：? Ek??mc2，? ?m?EkEk?m，= 0.508 = 50.8% ? ?m0m0c2c21?(uc)2?l01?uc

1?uc?l01?uc 1?(uc)2?c1?uc6-11 ? 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量的 4 倍． (解：? Ek??mc2，? Ek?m5m0?m0 = 4 ) ??2m0cm0m0原题 6-10

6-12 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的k倍，求其运动速度的大小．（用c表示真空中光速） 原题 6-11 1Emc2mck2?1,???解： k?， ? ?? ??c1?1k2 ??2kE0m0cm01??2c2

13

6-13 ⑴ 粒子以多大速度运动时，它的相对论动量是非相对论动量的两倍？ ⑵ 如果粒子的动能与它的静能相等，粒子的速率是多少？ 原题 6-12 p解：⑴ ?p???011??2c2 = 2，? ??3c= 0.866 c 23c= 0.866 c k?mc2?m0c2?? m0c2?m0c2?m0c2，?⑵ ? E ??2，? ??2

6-14 要使电子的速率从1.2 ×108 m/s 增加到 2.4 ×108 m/s，需做多少功？P374 15.15

解：做功等于电子动能的增量

??11?? ? ?Ek?(m2?m0)c?(m1?m0)c?(m2?m1)c?m0c?1??2c21??12c2?2??2222 = … = 4.7×10??? J = 2.94×10? eV

6-15 在氢的核聚变反应中，氢原子核聚变成质量较大的核，每用 1 g 氢约损失0.006

g 静止质量．而1 g 氢燃烧变成水释放出的能量为1.3 ×105?J．氢的核聚变反应中 释放出来的能量与同质量的氢燃烧变成水释放出的能量之比为 4.1×106 ． 解：每用1g氢释放核能 ?E1??mc2=…= 5.4×1011 J；1g氢燃释放能量?E2= 1.3×105 J

6-16 两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，另一个以??0.8c的速度运动，在它们作对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的质量、速度及静止质量． ??2.31m0 6-13 (没详解) 原题 6-13 m=2.67m0，??0.5c，m0

14

*6-17 ⑴ 如果要把一个粒子的动能写作 m0?22，而误差不大于1%，试问这个粒子的最大速率等于多少？

⑵ 以这个速率运动的电子动能是多少？（电子静止质量 me?9.1?10?31Kg） ⑶ 以这个速率运动的质子动能是多少？（质子静止质量 m0?1840me） P377 15.21 解： ???c，??11??2

⑴ 相对论动能 Ek?(m?m0)c2?(??1)m0c2?[ 11??2?1]m0c2 Ek?m0?22?2?1% ? 1?依题意有 ?1%

22Ek2[ 11???1]c? 1??22[ 11???1]2?0.01

∵ ??11??2， 则 ?2?1?1?2，上式可写为

11?1?211???0.01 ? 1?2(??1)?0.01 ? 1.98?2???1?0 2 ??12?解方程 1.98?2???1?0 ? ??1?1?4?1.98

2?1.98?取正值有 ??11??2?1.0067 ? ?2?1?1?2?0.115

即 ??0.115c(= 3.45×107 m) ∴ ?max?0.115c

⑵ 以速率??0.116c时， ?= 0.115，?= 1.0067运动的电子动能 Eke?(m?me)c2?[ 11??2?1]mec2=…= 5.49×10?16 (J) = 3.43×103 eV

（电子加速电压 V ?3.5 kV 时，电子速率??=3.5×107 m时，要用相对论公式！！） ⑶∵ 质子的静止质量 mp?1840me

∴以速率??0.116c运动的质子动能 Ekp?1840Eke= 6.31×106 eV

15

作业8 波 动

8-1 一个余弦横波以速度u沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图所示．试在图中画出A，B，C，D，E，F，G各质点在该时刻的运动方向．并画出（t + T/4）时刻的波形曲线． y

u 原题 20-1

A G F

B x O

E C

D D瞬间不动

题8-1图

8-2 地震波纵波和横波的速度分别为8000 m/s和4450 m/s，观测点测得这两种波到达的时间差?t?75.6 s，则震中到观测点的距离 r = 7.58×105 m． 解： (ru2)?(ru1)??t ? r??t?u1u2(u1?u2)=…= 7.58×105 m

8-3 ⑴ 有一钢丝，长2.00 m，质量20.0×103 kg，拉紧后的张力是1000 N，则此钢丝上横波的传播速率为 316 m/s． ⑵ 钢棒中声速5200 m/s，钢的密度??7.8 g/cm3， 钢的弹性模量为 2.11×10 (N/m).

11

2

??ml，u?f?=316 m/s u?Y?，Y??u2= 2.11×1011

8-4 已知一波的波函数为 y?5?10?2sin(10π t?0.6x)

⑴ 求波长，频率，波速及传播方向；⑵ 说明x = 0时波函数的意义． 原题 20-3

16

8-5 一螺旋形长弹簧的一端系一频率为25 Hz的波源，在弹簧上激起一连续的正弦纵波，弹簧中相邻的两个稀疏区之间的距离为24 cm．⑴ 试求该纵波的传播速度；⑵ 如果弹簧中质点的最大纵向位移为 0.30 cm，而这个波沿x轴的负向传播，设波源在 x = 0 处，而x = 0 处的质点在 t = 0 时恰好在平衡位置处，且向x轴的正向运动，试写出该正弦波的波函数． 解：⑴ u???= 24 ×25 = 600 cm/s

⑵ 波源处

?π? ? 初相位 ???2，

?0??? Asin??0?y0?Aco?s?0波源振动方程为 y0?0.30cos2(π?t??0)?0.30cos(50πt?π2) 波沿x轴的负向传播的波函数为 x)??]?0.30cos[y?Acos[?(t?u50π(t?x)?π]?0.30sin[2π(25t?x)]

600224即，该正弦波的波函数为 y?0.30sin[2π(25t?x)] (cm)

24

8-6 波源作谐振动，周期为0.01s，经平衡位置向正方向运动时，作为时间起点，若此振动以?= 400 ms?1的速度沿直线传播，求： ⑴ 距波源为8 m处的振动方程和初相位；⑵ 距波源为9 m和10 m两点的相位差． 原题 20-5

17

8-7 一平面简谐波，沿x轴正向传播，波速为4 m/s，已知位于坐标原点处的波源的振动曲线如图(a)所示．⑴ 写出此波的波函数； y(cm)⑵ 在图(b)中画出t = 3 s时刻的波形图（标明尺度）．4 P317 13.16 解：

O12?23456t(s)⑴ 由图知，A = 4 cm = 4 × 10 m， T = 4 s

?4(a) ∴ ??2πT?π2，??uT= 4 × 4 = 16 m y(cm)原点处 y0?Acos??A ? 初相位 ??0 原点振动方程为 y?Acos(?t??)?Acos?t ∴ 波函数为 y?Acos?(t?xu)

即 y?4?10cos[?(t?x4)]

?2Ox(m)(b) 题8-7图

y(cm)4u2⑵ 将t = 3 s 代入波函数，得波形曲线方程

O?44812162024x(m)y?4?10?2cos[?(3?x4)]

2t = 3 s 时刻的波形图见图(b)．

(b)

8-8 一正弦式空气波沿直径为0.14 m的圆柱形管道传播，波的平均强度为1.8?10?2

J/(sm2)，频率为300 Hz，波速为300 m/s，问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻周相差为2? 的同相面之间的波段中包含有多少能量？ 原题 20-7

8-9 频率为100 Hz，传播速度为300 m/s的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为1?，则此两点距离为 0.5 m． 3原题 20-11 解：??u?=…= 3 m， ???(2π?)?x，?x?(??2π)?)=…= 0.5 m

18

8-10 在弹性媒质中有一波动方程为y?0.01cos(4t?πx?π2)（SI）的平面波沿x轴正向传播，若在x = 5.00处有一媒质分界面，且在分界面处相位突变 ?，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波函数． 原题 20-10

8-11 一平面简谐波某时刻的波形图如图所示，此波以速率u沿x轴正向传播，振幅为A，频率为v．

⑴ 若以图中B点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出此波的波函数； ⑵ 图中D点为反射点，且为波节，若以D点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出入射波的波函数和反射波的波函数；

⑶ 写出合成波的波函数，并定出波节和波腹的位置坐标． DBxP326 13.29解：

⑴ B点为坐标原点，t = 0 时刻，

题8-11图

y0?Acos???A ? 初相位 ??π ?振动方程 y?Acos(?t??) ? yB?Acos2(π?t?π) ∴ 波函数为 y?Acos2[π?(t?xu)?π]

⑵ D点为坐标原点，t = 0 时刻，

y0?Acos???0?π入射波： ? ? 初相位 ????2 ?0??? Asin???0?反射波：∵D点为波节，∴初相位 ???????π?π2

D点振动方程 y入D?Acos2(π?t?π2)， y反D?Acos(2π?t?π2) ∴波函数为 y入?Acos2[π?(t?xu)?π2]， y反?Acos2[π?(t?xu)?π2] ⑶ 合成波的波函数 y?y入?y反?2Acos2(π?xu?π2)cos2(π?t) 波节：由 2π?xu?π2?(k?12)π 得 x?k?u （k = 0, -1, -2, …）

2?波腹：由 2π?xu?π2?kπ 得 x?(k?1)u （k = 0, -1, -2, …）

24?

19

8-12 入射波的波函数为y1?Acos2π (t?x)，在x = 0处发生反射，反射点为自由端.

T?⑴ 写出反射波的波函数；⑵ 写出驻波的波函数；⑶ 给出波节和波腹的位置． P327 13.30解：反射点为自由端，是波腹，无半波损失， ⑴ 反射波的波函数为 y2?Acos2π (t?x)

T?2π xcos2π t ⑵ 驻波的波函数为 y?y1?y2?2Acos?T⑶ 当cos2π x?1，即2π x?kπ时，得波腹的位置为 x?k?，k = 0, 1, 2, …

??2当cos2π x?0，即2π x?(2k?1)π时，得波节的位置为 x?(2k?)?，k = 0, 1, 2, … ??24

*8-13 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为A = 10 cm，角频率??7π rad/s，当t =

1.0 s时，x = 10 cm处a质点的振动状态为ya?0，(dydt)a?0；同时x = 20 cm处b质点的振动状态为yb?5.0cm，(dydt)b?0．设波长??10cm，求该波的波函数．

P315 13.13解：当t = 1.0 s时刻，

a质点 ya?Aco? ? ?a?2kπ?π2 ① sa?0，?a?(dydt)a??? Asin?a?0，b质点 yb?Aco?sa?A2，?b?(dydt)b??? Asin?a?0，? ?b?2k?π?π3 a、b两点相位差 ????a??b?2π(k?k?)?5π6

a、b两点间距?x?xa?xb?10??，∴???2π，则??的取值可分两种情况 ⑴ 当k?k??0时，????a??b?5π6，????x?2π?，

则 ??2π(?x??)= 24 (cm)

∵波沿x轴正向传播，可设波函数为

y?Acos(?t?2πx??0)?10cos(7πt?2πx??0)

?24当t = 1.0 s，x = 10 cm时波函数的相位 7π?1.0?2π?10??0??a ②

24 由式①、②求得： ?0?2kπ?17π3， 不妨取 k = 0，则 ?0??17π3 波函数为 y?10cos(7πt?πx?17π) (cm)

123⑵ 当k?k???1时，????a??b??7π6 < 0，波将沿x轴负向传播，故舍去．

20

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/76bt.html