10：抽象函数问题的题型综述

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：

一. 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)?f(4?x)且f(2?x)?f(x?2)?0，求

f(2000)的值。

解：由f(2?x)?f(x?2)?0， 以t?x?2代入，有f(?t)?f(t)， ?f(x)为奇函数且有f(0)?0 又由f(x?4)?f[4?(?x)]

?f(?x)??f(x) ?f(x?8)

??f(x?4)?f(x) 故f(x)是周期为8的周期函数， ?f(2000)?f(0)?0

例2 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，

f(x)?0，f(?1)??2，求f(x)在[?2，1]上的值域。

解：设x1?x2 且x1，x2?R， 则x2?x1?0，

1

由条件当x?0时，f(x)?0 ?f(x2?x1)?0

又f(x2)?f[(x2?x1)?x1] ?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x)为增函数，

令y??x，则f(0)?f(x)?f(?x) 又令x?y?0 得f(0)?0 ?f(?x)??f(x)， 故f(x)为奇函数，

?f(1)??f(1)?2，f(?2)?2f(?1)??4 ?f(x)在[?2，1]上的值域为[?4，2]

二. 求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知f(x)是定义在（?1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足

f(a?2)?f(4?a2)?0，试确定a的取值范围。

解：?f(x)是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ?f(x)在(?1，0)上是减函数，

??1?a?2?1 由?得3?a?5。 2?1?4?a?1? （1）当a?2时，

f(a?2)?f(4?a)?f(0)，不等式不成立。

2

2 （2）当3?a?2时，

f(a?2)?f(4?a2)??1?a?2?0?22 ?f(a?4)???1?a?4?0

?a?2?a2?4?解之得，3?a?2 （3）当2?a?5时， f(a?2)?f(4?a2)

?0?a?2?1??f(a2?4)??0?a2?4?1 ?a?2?a2?4

?解之得，2?a?5 综上所述，所求a的取值范围是(3，2)?(2，5)。

例4 已知f(x)是定义在(??，1]上的减函数，若f(m2?sinx)?f(m?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数m的取值范围。

?m2?sinx?3?2 解：??m?1?cosx?3

?m2?sinx?m?1?cos2x?2??m?sinx?3 对x?R恒成立??2 2??m?sinx?m?1?cosx 对x?R恒成立?

?m2?3?sinx? ?2125 2?m?m?1?sinx?cosx??(sinx?2)?4? 对x?R恒成立，

?m2?3?1???25m?m?1? ?4???2?m?1?10为所求。2

3

三. 解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。

例5 已知函数f(x)对任意x，y?R有f(x)?f(y)?2?f(x?y)，当x?0时，

f(x)?2，f(3)?5，求不等式f(a2?2a?2)?3的解集。

解：设x1、x2?R且x1?x2 则x2?x1?0 ?f(x2?x1)?2， 即f(x2?x1)?2?0，

?f(x2)?f[(x2?x1)?x1] ?f(x2?x1)?f(x1)?2?f(x1)

?f(x2)?f(x1) 故f(x)为增函数，

又f(3)?f(2?1)?f(2)?f(1)?2?3f(1)?4?5

?f(1)?3

?f(a2?2a?2)?3?f(1)，即a?2a?2?1??1?a?32

因此不等式f(a?2a?2)?3的解集为?a|?1?a?3?。

2

四. 证明某些问题

例6 设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)?f(x?1)?f(x?2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。

分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x?T)?f(x)（T为非零常数）则f(x)为周期函数，且周期为T。 证明：?f(x)?f(x?1)?f(x?2) ?f(x?1)?f(x?2)?f(x?3)(1) (2)

4

(1)?(2)得f(x)??f(x?3) 由（3）得f(x?3)??f(x?6)(3) (4)

由（3）和（4）得f(x)?f(x?6)。

上式对任意x?R都成立，因此f(x)是周期函数，且周期为6。

例7 已知f(x)对一切x，y，满足f(0)?0，f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，f(x)?1，求证：（1）x?0时，0?f(x)?1；（2）f(x)在R上为减函数。 证明：?对一切x，y?R有f(x?y)?f(x)?f(y)。 且f(0)?0，令x?y?0，得f(0)?1， 现设x?0，则?x?0，f(?x)?1， 而f(0)?f(x)?f(?x)?1

?f(?x)?1?1 f(x) ?0?f(x)?1， 设x1，x2?R且x1?x2， 则0?f(x2?x1)?1， f(x2)?f[(x2?x1)?x1] ?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x1)?f(x2)， 即f(x)为减函数。

五. 综合问题求解

抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。

5

例8 设函数y?f(x)定义在R上，当x?0时，f(x)?1，且对任意m，n，有

f(m?n)?f(m)?f(n)，当m?n时f(m)?f(n)。

（1）证明f(0)?1；

（2）证明：f(x)在R上是增函数；

22 （3）设A?(x，y)|f(x)?f(y)?f(1)，

?? B?{(x，y)|f(ax?by?c)?1，a，b，c?R，a?0}，若A?B??，求

a，b，c满足的条件。

解：（1）令m?n?0得f(0)?f(0)?f(0)， ?f(0)?0或f(0)?1。

若f(0)?0，当m?0时，有f(m?0)?f(m)?f(0)，这与当m?n时，

f(m)?f(n)矛盾，

?f(0)?1。

（2）设x1?x2，则x2?x1?0，由已知得f(x2?x1)?1，因为x1?0，

f(x1)?1，若x1?0时，?x1?0，f(?x1)?1，由f(0)?f(x1)?f(?x1)

?f(x1)?1?0f(?x1) f(x2)?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1)

?f(x)在R上为增函数。 （3）由f(x)?f(y)?f(1)得x?y?1(1) 由f(ax?by?c)?1得ax?by?c?0 （2）

22222 从（1）、（2）中消去y得(a?b)x?2acx?c?b?0，因为A?B??

222222222 ???(2ac)?4(a?b)(c?b)?0， 即a?b?c

6

222 例9 定义在（?1，1）上的函数f(x)满足（1），对任意x，y?(?1，1)都有

f(x)?f(y)?f(x?y)， 1?xy （2）当x?(?1，0)时，有f(x)?0，

（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)的单调性； （3）求证f()?f(15111)???f(2)?f()。 112n?3n?1 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

解：（1）对条件中的x，y，令x?y?0，再令y??x可得

??f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0，所以f(x)是奇函数。 ???f(x)?f(?x)?0?f(?x)??f(x)x1?x2)

1?x1x2 （2）设?1?x1?x2?0，则f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f( ?x1?x2?0，0?x1x2?1， ?x1?x2x?x2?0，由条件（2）知f(1)?0，从而有f(x1)?f(x2)?0，即

1?x1x21?x1x2f(x1)?f(x2)，故f(x)在(?1，0)上单调递减，由奇函数性质可知，f(x)在（0，1）

上仍是单调减函数。 （3）?f(1)

n2?3n?1?f(

1)(n?1)(n?2)?1?1? ?1?(?n?1n?2)??f??1?1?1?()()??n?1n?2???7

1?1)?f()n?1n?211?f()?f()，n?1n?2111?f()?f()???f(2)511n?3n?1 111111?f()?f()?f()?f()???f()?f()2334n?1n?211?f()?f()2n?211?0??1，?f()?0n?2n?2?f(111?f()?f()?f()2n?22 1111?f()?f()???f(2)?f()。5112n?3n?1抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域

这类问题只要紧紧抓住：将函数f[g(x)]中的g(x)看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

例1. 函数y?f(x)的定义域为(??，1]，则函数y?f[log2定义域是___。 (x2?2)]的

分析：因为l当于f(x)中的x，所以log2(x2?2)?1，解得 og2(x??2)相

2?x?2或?2?x??2。 例2.

1已知f(x)的定义域为(0，1)，则y?f(x?a)?f(x?a)(|a|?)的定义域是______。

2 分析：因为x?a及x?a均相当于f(x)中的x，所以

8

?0?x?a?1??a?x?1?a ? ??0?x?a?1a?x?1?a??1 (1)当??a?0时，则x?(?a，1?a)

21 (2)当0?a?时，则x?(a，1?a)

2 2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(?x)的关系。 例3.

已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(xy)?f(x)?f(y)，求证：f(x)是偶函数。 分析：在f(xy)?f(x)?f(y)中，令x?y?1， 得f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0

令x?y??1，得f(1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0 于是f(?x)?f(?1?x)?f(?1)?f(x)?f(x) 故f(x)是偶函数。

例4. 若函数y?f(x)(f(x)?0)与y??f(x)的图象关于原点对称，求证：函数

y?f(x)是偶函数。

证明：设y?f(x)图象上任意一点为P（x0，y0） ?y?f(x)与y??f(x)的图象关于原点对称，

?P(x0，y0)关于原点的对称点(?x0，?y0)在y??f(x)的图象上，

??y0??f(?x0) ?y0?f(?x0) 又y0?f(x0)

?f(?x0)?f(x0)

9

即对于函数定义域上的任意x都有f(?x)?f(x)，所以y?f(x)是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间[?7，?3]上是 A. 增函数且最小值为?5 B. 增函数且最大值为?5 C. 减函数且最小值为?5 D. 减函数且最大值为?5 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

y 图1 例6. 5 已知偶函数f(x)在(0，??)上是减函数，问f(x)在是增函数还是减函数，并证明你的结论。 (??，0)上

分析：如图2所示，易知f(x)在(??，0)上是增函数，证明如下：

任取x1?x2?0??x1??x2?0

因为f(x)在(0，??)上是减函数，所以f(?x1)?f(?x2)。 又f(x)是偶函数，所以

f(?x1)?f(x1)，f(?x2)?f(x2)，

从而f(x1)?f(x2)，故f(x)在(??，0)上是增函数。

图2

y O x O -7 -3 3 7 x -5 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例7. 设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y有

cf(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y)，并存在正实数c，使f()?0。试问f(x)是否为周期函数

2？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

10

且2(b?a)是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f(x)还是不是周期函数？经过探索，我们得到

思考三：设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x?1对称。证明f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明：于x?1对称 ?f(x)关 ?f(x)?f(2?x)，x?R 又由f(x)是奇函数知

f(?x)??f(x)，x?R ?f(2?x)??f(?x)，x?R 将上式的?x以x代换，得 f(2?x)??f(x)，x?R?f(x?4)?f[2?(x?2)]??f(x?2) ??[?f(x)]?f(x)，x?R ?f(x)是R上的周期函数 且4是它的一个周期

奇函数的实质是f(x)的图象关于原点（0，0）中心对称，又f(x)的图象关于直线x?1对f(x)是

称，可得f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a，0)中心对称，且其图象关于直线

x?b(b?a)对称。证明f(x)是周期函数，且4(b?a)是它的一个周期。 ?f(x)关 证明：于点M(a，0)对称

?f(2a?x)??f(x)，x?R ?f(x)关于直线x?b对称

16

?f(x)?f(2b?x)，x?R ?f(2b?x)??f(2a?x)，x?R 将上式中的?x以x代换，得

f(2b?x)??f(2a?x)，x?R?f[x?4(b?a)]?f[2b?(x?2b?4a)] ??f[2a?(x?2b?4a)]??f[2b?(x?2a)]?f[2a?(x?2a)]?f(x)，x?R

?f(x)是R上的周期函数 且4(b?a)是它的一个周期

由上我们发现，定义在R上的函数f(x)，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则的周期函数。进一步我们想到，定义在R上的函数f(x)，其图象如果有两个对称中心，f(x)是R上

那么f(x)是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a，0)和N(b，0)(a?b)对称。证明周期函数，且2(b?a)是它的一个周期。 f(x)是

?f(x)关 证明：于M(a，0)，N(b，0)对称

?f(2a?x)??f(x)，x?R f(2b?x)??f(x)，x?R

?f(2a?x)?f(2b?x)，x?R 将上式中的?x以x代换，得 f(2a?x)?f(2b?x)，x?R?f[x?2(b?a)]?f[2b?(x?2a)] ?f[2a?(x?2a)]?f(x)，x?R ?f(x)是周期函数

17

且2(b?a)是它的一个周期

抽象函数解法例谈

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法

1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等

2在求函数值时,可用特殊值代入

3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.

总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.

1．已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t为自然数,(t>0)试求f(t)的表达式

②满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由 ③若t为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.

2．已知函数f(x)=

g(x)?1g(x)?1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1)

=2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证：①f(x)是R上的增函数

②当n?N,n≥3时,f(n)>

n n?118

解: ①设x1>x2

? g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 ? g(x) > g(x) >0 ?g(x)+1 > g(x)+1 >0

22? > >0

1

2

1

2

g(x2)?1g(x1)?1??

22 - >0

g(x2)?1g(x1)?1

f(x1)- f(x2)=

g(x1)?1g(x2)?122- =1--(1-)

g(x1)?1g(x2)?1g(x1)?1g(x2)?1 =

22->0

g(x2)?1g(x1)?12

? f(x) >f(x)

? f(x)是R上的增函数

1

②

? g(x) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)>0 ? g(n)=[ g(1)]=2

n

n

? 当n?N,n≥3时, 2>n

?f(n)=2?1＝1-2 ，

n

n

2n?12n?1n1＝1-

n?1n?1? 2＝（1+1）＝1+n+?+C+?+n+1>2n+1

? 2+1>2n+2

?2<1,即1-2>1-1

2?1n?12?1n?1?当n?N,n≥3时,f(n)>n

n

n

inn

nnn?1

3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设

f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|

19

①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0、b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证明:设 x1>x2>0

?f(x) 在(0,+∞)上单增

1

f1(x1)－ f1(x2)>0

1

1

1

?| f(x)－ f(x)|= f(x)－ f(x)>0

2

1

1

1

2

| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|

1

2

1

1

2

1

2

2

1

?f(x)- f(x) f(x)+ f(x) ?f(x)> f(x)

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

2

f (x)在(0,+∞)上单增 ②

?F(x)=x f (x), a>0、b>0

a+b>a>0,a+b>b>0

F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)

?f (x)在(0,+∞)上单增

?F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)

4．函数y＝f(x)满足

①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m、n为互质整数，n≠0

m求f()的值

n?f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f(0)

?f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾) ?f(1)=1

2

?f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16

f(1)=f2(

?f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.

f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)

20

1)≥0 2

?f(-a)=

*

1 f(a)n

n

-n

?n∈N时f(n)=f(1)=2,f(-n)=2

f(1)=f(

1111++?+)=fn()=2 nnnn1n?f(1)= 2nn

mn?f(m)=[f(1)]= 2m

n

5．定义在（-1，1）上的函数f (x)满足 ① 任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+ f(y)＝f (

x?y)，②x∈（-1，0）时， 1?xy有f(x) >0

1) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由 2) 判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明

1113) 求证：f (2)＝f ()－f ()

n?3n?1n?1n?21111或f ()+f ()+?+f (2)> f () (n∈N*)

511n?3n?12 解:1)

?定义在（-1，1）上的函数f (x)满足任意x、y∈（-1，1）

都有f(x)+ f(y)＝f (

x?y),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) 1?xy

?f(0)=0

? 当-x=y时, f(x)+ f(-x)＝f(0) ?f(x)是（-1，1）上的奇函数

2) 设0>x1>x2>-1

?f(x)-f(x)= f(x)+ f(-x)=f(x?x1

2

1

2

121?x1x2)

?0>x>x>-1 ,x∈（-1，0）时，

1

2

有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0

21

?f(x?x121?x1x2)>0

即f(x)在（-1，0）上单调递增.

113) f (2)=f(2)

n?3n?1n?3n?2?1?111?(n?1)(n?2)=f( )=f(n?1n?2)

1111?1??(n?1)(n?2)n?1n?211)-f() n?1n?2111f ()+f ()+?+f (2)

511n?3n?11111111=f()-f()+f()-f()+f()+?+f()-f()

23344n?1n?21111= f() -f()=f()+f(-)

22n?2n?2=f(

?22n?2n?21111即f ()+f ()+?+f (2)> f ()

511n?3n?121) 6．设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,

?x∈（-1，0）时，有f(x) >0

?f(-1)>0, f(1)+f(-1)>f(1)

1

对任意x1、x2?[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0.

211

①求f ()及 f ();

24②证明f(x)是周期函数 ③记an=f(2n+

1

), 求lim(lnan) 2nn??xx

解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]2?0,f(x)

22a= f(1)=f(2n·

11111)=f(++?+)＝[f ()]2 2n2n2n2n2n

22

11

解得f ()=a2n

2n

? f (1)=a2

②

1211

,f ()=a4.

4

? f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, ? f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x). ? f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). ?f(x)是以2为周期的周期函数.

③

??lim(lna)= limlna=0

n

111

an=f(2n+)= f ()=a2n

2n2n

n??n??2a

7．设y?f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有

f(x+y)＝f(x)f(y)

①求f(0)，

②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0

1③设a1=,an=f(n)（n∈N* ），sn为数列｛an｝前n项和，求limsn.

n??2解：①②仿前几例，略。 ③

?a＝f(n)， ? a＝f(1)＝1

n1

?a＝f(n+1)=f(n)f(1)＝1a

2?数列｛a｝是首项为1公比为1的等比数列

n+1

n

n

2?s＝1-??1??n

22n

?lims＝1

n

n???2?8．设y?f(x)是定义在区间[?1,1]上的函数，且满足条件：

23

（i）f(?1)?f(1)?0;

（ii）对任意的u,v?[?1,1],都有|f(u)?f(v)|?|u?v|. （Ⅰ）证明：对任意的x?[?1,1],都有x?1?f(x)?1?x; （Ⅱ）证明：对任意的u,v?[?1,1],都有|f(u)?f(v)|?1;

（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y?f(x)，且使得

1?|f(u)?f(v)|?|u?v|.当u,v?[0,].??2 ?

1?|f(u)?f(v)|?|u?v|,当u,v?[,1].?2?若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x?[?1,1]时，有

|f(x)?|f(x)?f(1)?|x?1|?1?x,

即x?1?f(x)?1?x.

（Ⅱ）证法一：对任意的u,v?[?1,1],当|u?v|?1时,有|f(u)-f(v)|?|u-v|?1.

当|u-v|?1时,u?v?0,不妨设u?0,则v?0且v-u?1, 所以，|f(u)?f(v)|?|f(u)?f(?1)|?|f(v)?f(1)|?|u?1|?|v?1|

?1?u?1?v?2?(v?u)?1.综上可知，对任意的u,v?[?1,1],都有

|f(u)?f(v)|?1.

证法二：由（Ⅰ）可得，当

x?[0,1]时,f(x)?1-x,x?[?1,0]时,|f(x)|?|f(x)?f(?1)?1?x?1?|x|.

所以，当x?[?1,1]时,|f(x)?1?|x|.因此，对任意的u,v?[?1,1], 当|u?v|?1时，|f(u)?f(v)|?|u?v|?1.当|u?v|?1时，有u?v?0

且1?|u?v|?|u|?|v|?2. 所以|f(u)?f(v)|?|f(u)|?|f(v)|?1?|u|?1?|v|?2?(|u|?|v)?1.

f(u)?f(v)|?1.

综上可知，对任意的u,v?[?1,1],都有|24

（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.

理由如下，假设存在函数f(x)满足条件，则由|1f(u)?f(v)|?|u?v|,u,v?[,1],

211 得|f(1)?f(1)|?|1?1|?1. 又f(1)?0,所以|f()|?.①

22222 又因为f(x)为奇数，所以f(0)?0.由条件|得 |f(1)|?|f(1)?f(0)|?1.②

2221f(u)?f(v)|?|u?v|,u,v?[0,],

2①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. 练习:

1. 函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)-1，且x>0时，f(x) >1 ①求证f(x)是R上的增函数

②若f(4)＝5，解不等式f(3x2-x-2)<3

2.f(x)是R上的函数, 对任意的实数x1、x2都满足f(x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2), 当x>0时，f(x) >0且f(2)=3 ①试判断f(x)的奇偶性和单调性

?②当θ∈[0,]时, f(cos2θ－3)+

2f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求n1实数的取值范围

3.f (n)是定义在N上且取值为整数的严格单增函数，m、n互质时f(m·n)＝f

(m)·f (n)

若f(19)＝19，求f(f(19) ·f(98))的值

4. f (x)定义域为R，对任意x1、x2? R都有f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且x>0时，f(x) <0、f(1)＝-2 ①试判断f (x)的奇偶性 ②试判断在[-3，3]上，f

(x)是否有最大值或最小值？如果有求之，如果没有，说明理由

11③解关于x的不等式 f（bx2）－f(x)> f（b2x）－f（b）（b2≠2）

225.f (x)定义域为R，对任意实数m、n都有f(m+n)＝f (m)·f (n)，且当x>0时，0< f (x) <1 ①求f (0)证明x<0时 f (x) >1.

②证明f(x)在R上单减，并举出一个满足①②的函数f(x)

(x,y)|f(ax?y?1)?1,a?R?，若A∩B② 设A＝(x,y)|f(x2)?f(y2)?f(1)，B＝?＝?求a取值范围

6.定义在（0，+∞）上的函数f (x)满足

①对于任意正数x、y都有f (x·y)＝f(x)+ f(y)， ②f

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??(2)＝p－1，③x>1时总有f(x)

12) 求f (1)及f ()的值（写成关于p的表达式）

23) 求证：f (x)在（0，+∞）上是减函数 设an＝ f (2n)（n?

N*），数列?an?的前项和为Sn ，当且仅当n＝5时Sn取得最大值，求p的取值范围

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(2)＝p－1，③x>1时总有f(x)

12) 求f (1)及f ()的值（写成关于p的表达式）

23) 求证：f (x)在（0，+∞）上是减函数 设an＝ f (2n)（n?

N*），数列?an?的前项和为Sn ，当且仅当n＝5时Sn取得最大值，求p的取值范围

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