7对称性与周期性学生版版

导学案（ 7 ）

1 函数图形的对称性和周期性

一、对称性(点 线)

（1）函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+

（2）函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+

二、 含绝对值的函数的对称性

（1）()R x x f y ∈=,图象关于y 轴对称。思考(),y f

x a x R =+∈ (2)()R x x f y ∈=,图象关于x 轴对称。 (3)()R x x f y ∈=,图象关于x 轴、y 轴及原点对称。

三、周期性（知道两个对称性一定可以求周期 ）对于非零常数A a

(1)(A)()f x f x +=-，则周期为2A (2)1(A)()

f x f x +=±，则周期为2A 。 (3) ()1()()1f x f x a f x -+=+周期是4a (4)1()()1()

f x f x a f x -+=+周期是2a 。 (5) ()()f a x f a x +=-；()()f b x f b x +=-,且它的一个周期2()T a b =-

（6）()f x =()f x a +(2)f x a -+则()f x 为周期函数且它的周期是6a 。

（7）n k n n k a a a +-=- {}n a 必定是周期数列,6k 就是它的周期(n k >)

四、 试题

1．已知函数2

2()1x f x x =＋，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234

f f f f f f f ++++++＝ 2.设2

21)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 )6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为=

3函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()

f x f x +=，若(1)5f =-，求((5))f f ＝ ． 4．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝

5．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________.

6．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．

①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；

②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；

③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数；

④ 函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．

7． 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f

一定是 函数

导学案（ 7 ）

2

8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ . 9.设函数()y f x = 满足1

(1)1()

f x f x +=-,求该函数的最小正周期T 。

10. 已知函数()y f x =的定义域是R, (1)[1()]1()f x f x f x +-=+

，(1)f =(2006)f 的值 。

11.设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

⑴试判断函数()y f x =的奇偶性；

⑵试求方程()0f x =在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

五、思维拓展

由函数()tan

,(,f x x k N ka

π

=∈,可知周期是ka ,tan

tan

tan

()1tan

tan

x

k

ka

x a ka

x

k

ka

π

π

π

π

π

++=

-

a 、当6k =时,

函数方程是()f x a +=

，其周期为6a

b 、当4k =时, 函数方程是1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，其周期为4a

c 、当3k =时,

函数方程是()f x a +=

，其周期为3a

（3）由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期性的函数（未必是最小正周期） 由函数()cos

f x x ka

π

=，可知周期为2ka ,且

cos

()cos

()2cos

cos

x a x a x ka

ka

ka

k π

π

π

π

++-=从而抽象出函数方程

g 、当6k =时,

函数方程是()()()f x a f x a x ++-=，其周期为12a h 、当4k =时,

函数方程是()()()f x a f x a x ++-=，其周期为8a

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