2013江苏省高考数学真题（含答案）

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数y?3sin(2x??4)的最小正周期为 ．

开始 n?1，a?22．设z?(2?i)2（i为虚数单位），则复数z的模为 ．

x2y2??1的两条渐近线的方程为 ． 3．双曲线

1694．集合{?1,0,1}共有 个子集．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ．

运动员 甲 乙

第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 a?20n ?n?1Y a?3a?2N 输出n 结束 （第5题）

6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 第四次 89 88 第五次 93 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． (89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2?2． 方差为：S?527．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m?7，n?9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为 ．

8．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是

C1

B1

AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1 A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2? ．

F E A C

B

D

29．抛物线y?x在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若

点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是 ．

10．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?12AB，BE?BC， 23若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 ．

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x2?4x，则不等式f(x)?x 的解

集用区间表示为 ．

x2y212．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为

abF，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，

若d2?6d1，则椭圆C的离心率为 ．

13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?

1

（x?0）图象上一动点， x

若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ． 14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的 2最大正整数n的值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．

（1）若|a?b|?2，求证：a?b；

（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，过A作AF?SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

S （1）平面EFG//平面ABC；

（2）BC?SA．

G E

F

C

A

B

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4． 设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线， 求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 标a的取值范围．

18．（本小题满分16分）

O y A l x 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行

到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从 A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的 速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA?（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？

B

D

C 19．（本小题满分16分）

123，cosC?． 135M N A

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和．记bn?nSn， n2?cn?N*，其中c为实数．

*（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N）；

（2）若{bn}是等差数列，证明：c?0．

20．（本小题满分16分）

设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?e?ax，其中a为实数．

（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围； （2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

x2013年答案

一、 填空题 1、【答案】π

2π2π

【解析】T＝|ω |＝|2 |＝π． 2、【答案】5

【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝

3、【答案】y??

＝5．

3x4

x2y29x23??0，得y??【解析】令：??x． 169164

4、【答案】8

【解析】23＝8．

5、【答案】3

【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6、【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x?

7、【答案】

89?90?91?88?92?905

20 634?520?． 7?963【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的概率为 8、【答案】1：24

【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为1：2，故体积之比为1：8． 又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：3．所以，三棱锥F?ADE与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：24．

19、【答案】[—2，2 ]

1z

【解析】抛物线y?x2在x?1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x?2y，y＝—2 x＋2 ． 11

画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(2 ，0)时，zmax＝2 ．

y y＝2x—1 O x 1y＝—2 x

1

10、【答案】2

【解析】DE?DB?BE?

1212AB?BC?AB?(BA?AC) 232312??AB?AC??1AB??2AC

63所以，?1??

112，?2?，?1??2?2 ． 6311、【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)

2【解析】做出f(x)?x?4x (x?0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，

利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

y P(5,5) y＝x y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)

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