广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∩B）=（） A． {2} B． {3} C． {1，4} D．{1，3，4}

2．（5分）复数 A． 第一象限

（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（） B． 第二象限

C． 第三象限

D．第四象限

3．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为（） A． ﹣2

B．

C．

D．2

4．（5分）若实数x，y满足条件，则x﹣2y的最小值是（）

A． ﹣3

B． ﹣2 C． ﹣1 D．0

5．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣））的值为（）

A．

B．

2

C． D．﹣

6．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a＞0”是“a＞b”的（）

A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 既不充分也不必要条件 D． 充要条件 7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A． 若m∥n，m∥α，则n∥α B． 若α⊥β，m∥α，则m⊥β C． 若α⊥β，m⊥β，则m∥α D． 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β 8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）

A． 2013

9．（5分）已知双曲线

B． 2014

C． 1

D．2

﹣=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y=16x

2

的焦点重合，则mn的值为（） A． 4 B． 12 C． 16 D．48 10．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下三个结论： ①2013∈[3]

②﹣2∈[2]

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； 其中，正确结论的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3 二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）

11．（5分）在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=．

12．（5分）一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是．

13．（5分）若两个正实数x，y满足

坐标系与参数方程选做题

=1，则x+2y的最小值是．

14．（5分）在极坐标系中，点到直线ρcosθ=1的距离是．

几何证明选讲选做题

15．如图3，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，∠ACD=30°．则

=．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）

2

16．（12分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R． （1）求f（x）的最大值；

（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求

的值．

17．（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据： x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．

参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=420． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°． （1）求证：OM∥平面PAB；

（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．

19．（14分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12，数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等比数列； （3）记cn=小正整数m．

20．（14分）已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，左、右焦点分别为F1和F2． （1）求椭圆方程；

（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点P，使在，请说明理由．

21．（14分）已知函数 f（x）=

+3a（a+2）x+1，a∈R．

，若存在，请求出点P的坐标；若不存

），离心率为

，

，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜

对一切n∈N都成立，求最

+

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）当a=﹣1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；

（3）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∩B）=（） A． {2} B． {3} C． {1，4} D．{1，3，4}

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．

分析： 根据两个集合的并集的定义求得A∩B，再根据补集的定义求得?U（A∩B）．

解答： 解：∵集合U={1， 2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，∴A∩B={2}，∴?U（A∩B）={1，3，4}， 故选D．

点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．

2．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

C． 第三象限

D．第四象限

A． 第一象限 B． 第二象限

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 将复数解答： 解：

=

的分母实数化，即可判断出答案．

=3+4i，在复平面内对应的点P（3，4），为第一

象限内的点，

故选：A．

点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．

3．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为（） A． ﹣2

B．

C．

D．2

考点： 平行向量与共线向量． 专题： 平面向量及应用．

分析： 直接由向量平行的坐标表示列式求解m的值．

解答： 解：由向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥， ∴1×（﹣1）﹣（﹣2）×m=0，解得：m=．

故选：C．

点评： 本题考查了平行向量与共线向量，考查了向量平行的坐标表示，是基础的计算题．

4．（5分）若实数x，y满足条件，则x﹣2y的最小值是（）

A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D．0

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答： 解：设z=x﹣2y，则y=，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y=

，

，过点A时，直线y=

的截距最大，此时z最小，

由图象可知当直线y=

由，解得，代入目标函数z=x﹣2y，得z=﹣1﹣2=﹣3，

∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3． 故选：A

点评： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

5．（5分）已知函数f（x）=

，则f（f（﹣））的值为（）

A． B． C． D．﹣

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用分段函数直接求出f（﹣），然后求解f（f（﹣））的值．

解答： 解：∵函数f（x）=，

∴f（﹣）=﹣=，

∴f（f（﹣））=f（）==．

故选：A．

点评： 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

6．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a＞0”是“a＞b”的（） A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 既不充分也不必要条件 D． 充要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．

2

解答： 解：若（a﹣b）a＞0，则a≠0且a﹣b＞0，即a＞b成立．

2

当a=0，b=﹣1时，满足a＞b，但（a﹣b）a＞0不成立，

2

∴“（a﹣b）a＞0”是“a＞b”的充分不必要条件． 故选：B．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键． 7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A． 若m∥n，m∥α，则n∥α B． 若α⊥β，m∥α，则m⊥β C． 若α⊥β，m⊥β，则m∥α D． 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 常规题型．

分析： A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断； B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断； C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断；

D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断； 解答： 解：A选项不正确，因为n?α是可能的；

B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m?β都是可能的； C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m?α； D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的． 故选D

点评： 本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，属基础题．

2

8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）

A． 2013 B． 2014

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

C． 1 D．2

分析： 根据框图流程依次计算程序运行的结果，当S=2时，S=S+sin（π）=S，由此可得答案．

解答： 解：由程序框图知：第一次运行S=1+sin（π）=2，i=1； 第二次运行S=2+sin（π）=2，i=2； 第三次运行S=2+sin（π）=2，i=3；

…

直到i=2013时，不满足条件i＜2013，程序运行终止，输出S=2． 故选：D．

点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次求解运行的结果是解答此类问题的关键．

9．（5分）已知双曲线

﹣

=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y=16x

2

的焦点重合，则mn的值为（） A． 4 B． 12 C． 16 D．48

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=16，求得n，则答案可得．

解答： 解：∵抛物线y=16x的焦点为（4，0），则双曲线的焦距为8， 则有m+n=16，① ∵双曲线∴e=

﹣=2②

=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，

2

由①②解得m=4，n=12， ∴mn=48

故选：D．

点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质熟练掌握，属于基础题． 10．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下三个结论： ①2013∈[3]

②﹣2∈[2]

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； 其中，正确结论的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 新定义．

分析： 由2013和﹣2除以5得到的余数判断命题①②的真假；由于所有的整数除以5得到的余数只有0，1，2，3，4五种情况，所以可以断定命题③真假． 解答： 解：因为2013=402×5+3，所以2013∈[3]，则①正确； ﹣2=﹣1×5+3，所以﹣2∈[3]，所以②不正确；

因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确． 所以正确结论的个数有2个． 故选C．

点评： 本题是新定义题，解答的关键是理解题目意思，属基础题． 二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）

11．（5分）在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=2

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．

．

分析： 在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则由余弦定理可得a 的值，从而求得a的值．

2

解答： 解：在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则由余弦定理可得a=b+c﹣2bc?cosA=9+1﹣6×=8，

故a=2，

故答案为 2．

点评： 本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题． 12．（5分）一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是．

考点： 等可能事件的概率． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： 确定装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球的情况，恰有1只红球的情况，根据概率公式即可求得答案．

222

解答： 解：装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，共有只红球，共有

=6种情况，

=．

=10种情况，恰有1

∴恰有1只红球的概率是故答案为：．

点评： 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．（5分）若两个正实数x，y满足

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

=1，则x+2y的最小值是8．

分析： 根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，

注意等号成立的条件．

解答： 解：∵两个正实数x，y满足∴x+2y=（x+2y）（

）=4+

≥4+2

=1，

=8，当且仅当

时取等号即x=4，y=2，

故x+2y的最小值是8．

故答案为：8．

点评： 本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

坐标系与参数方程选做题 14．（5分）在极坐标系中，点

到直线ρcosθ=1的距离是．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 选作题；坐标系和参数方程．

分析： 把极坐标方程转化为普通方程，极坐标转化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解．

解答： 解：直线l的方程是ρcosθ=1，它的直角坐标方程为：x=1，点坐标为（﹣，所以点故答案为：．

），

到直线l的距离为：1+=．

的直角

点评： 本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，

考查计算能力．

几何证明选讲选做题

15．如图3，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，∠ACD=30°．则

=．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．

分析： 连结OC，由题设条件推导出∠AOC=2∠ACD=60°，∠PCO=90°，∠POC=60°，

∠OPC=30°，由此能求出的值．

解答： 解：连结OC，

∵AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，∠ACD=30°， ∴∠AOC=2∠ACD=60°，∠PCO=90°， ∴∠POC=60°，∠OPC=30°， 设OC=a，则AC=OC=a，OP=2a，PC=∴

=

=

． ．

=，

故答案为：

点评： 本题考查与圆有关的两条线段的比值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的合理运用．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）

2

16．（12分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R． （1）求f（x）的最大值；

（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求

的值．

考点： 二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．

分析： （1）先利用辅助角公式对已知函数化简，结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值

（2）结合（1）及诱导公式对已知函数化简，结合三角函数的定义即可求解 解答： 解：（1）f（x）=sin2x+cos2x…（2分）

=…（5分）

…（6分）．

…（7分）

所以f（x）的最大值为（2）由（1）得=

…（8分）

P（﹣3，4）在角α的终边上，所以=

…（12分）．

…（10分） …（11分）

点评： 本题主要考查了辅助角公式，诱导公式及三角函数的定义的简单应用，属于基础试题 17．（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据： x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；

（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．

参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=420．

考点： 线性回归方程．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： （1）根据表中所给的数据，做出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（2）把所给的x的值，代入上一问求出的线性回归方程中，做出对应的y的值，这是一个估计值，是一个预报值．

解答： 解：（1）=3.5，=28…（2分）

=2×18+3×27+4×32+5×35=420，

=54（5分）

∴b==5.6（7分）

a=﹣b=8.4（8分）

∴y关于x的线性回归方程是y=5.6x+8.4…（9分）

（2）当x=10时，y=5.6×10+8.4=64.4（万元）…（11分）

答：预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．…（12分）

点评： 本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是细心地做出线性回归方程要用的系数． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°． （1）求证：OM∥平面PAB；

（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．

考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： （1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC； （3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．

解答： （1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）

∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，…（3分） ∴OM∥平面PAB．…（4分）

（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分） ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）

∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分） ∵BD?平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）

（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°， ∴菱形ABCD的面积为分）

∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴

，得

…（12分）

，…（11

∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分） 在Rt△PAB中，

．…（14分）

点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

19．（14分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12，数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等比数列；

（3）记cn=，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜

对一切n∈N都成立，求最

+

小正整数m．

考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．

（2）由已知得当n=1时，

，当n≥2时，Sn+bn=1，Sn﹣1+bn﹣1=1，从而能够证

明{bn}是以为首项，公比为的等比数列． （3）由bn=2?（），得cn=

最小正整数m．

解答： （1）解：设{an}的公差为d， 则a2=a1+d=6，a5=a1+4d=12， 解得：a1=4，d=2，

∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2．…（2分）

（2）证明：∵数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1， ∴当n=1时，

，解得b1=，…（4分）

n

==，由此利用裂项求和法能求出

当n≥2时，Sn+bn=1，Sn﹣1+bn﹣1=1， 两式相减，得∴

，…（6分）

=0，…（5分）

∴{bn}是以为首项，公比为的等比数列…（7分） （3）解：由（2）可知：bn=∴cn=

=

=2?（），…（8分） =

=

，

n

∴Tn=∵Tn＜∴

+…+（

对一切n∈N都成立，

+

）=1﹣＜1．…（12分）

，解得m≥2015，∴最小正整数m=2015．…（14分）

点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

20．（14分）已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，左、右焦点分别为F1和F2． （1）求椭圆方程；

（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点P，使

，若存在，请求出点P的坐标；若不存

），离心率为

，

在，请说明理由．

考点： 向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；存在型；反证法．

分析： （1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得

2

2

2

，根

据a=b+c求出a的值，即求出椭圆标准方程；

（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值； （3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得定义列出两个方程，求出点P．

解答： 解：（1）由题意设椭圆标准方程为

．

，根据椭圆的焦距和椭圆的

的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在

由已知得，．（2分）

2

则，∴．解得a=6（4分）

∴所求椭圆方程为

（2）令M（x1，y1），则∵点M在椭圆上，∴∴当

（3）假设存在一点P，使

时，

（5分）

（7分）

，故|y1|的最大值为

的最大值为

．（9分）

（8分）

，

∵，∴

2

，（10分）

2

2

∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4 ①（11分） 又∵

2

②（12分）

，（13分）

最大值为．（14分）

，故矛盾，

∴②﹣①，得2|PF1|?|PF2|=20，∴即

=5，由（1）得

∴不存在一点P，使

点评： 本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a=b+c求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，

即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．

21．（14分）已知函数 f（x）=

+3a（a+2）x+1，a∈R．

2

2

2

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）当a=﹣1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；

（3）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析： （1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；

（2）求出a=﹣1的函数的导数，求出单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到最值； （3）求出导数，分解因式，讨论①当x1=x2时，②当x1＞x2时，③当x1＜x2时，函数的零点与区间的关系，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=0时，

∴f（3）=1，∵f′（x）=x﹣2x，

曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f′（3）=3 ∴所求的切线方程为y﹣1=3（x﹣3），即y=3x﹣8， （2）当a=﹣1时，函数

2

2

，

，

∵f′（x）=x+2x﹣3，令f′（x）=0得x1=1，x2=﹣3， x2?[0，4]，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0， 即函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，

当x∈（1，4）时，f′（x）＞0，即函数y=f（x）在（1，4）上单调递增， ∴函数y=f（x）在[0，4]上有最小值，又

；

，

∴当a=﹣1时，函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分别为（3）∵f'（x）=x﹣2（2a+1）x+3a（a+2）=（x﹣3a）（x﹣a﹣2） ∴x1=3a，x2=a+2，

①当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，

函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求； ②当x1＞x2时，即3a＞a+2?a＞1，这时x1＞x2＞3， 又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点， ∴

，

2

．

③当x1＜x2时，即a＜1，这时x1＜x2＜3

又函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点， ∴

，

综上得，当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时， a的取值范围是：﹣2＜a≤0或

或a=1．

点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题和易错题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/75r7.html