可靠性试验设计与分析2

第四章(42) 可靠性试验设计与分析

§4.3可靠性测定试验的参数估计

可靠性测定试验是为确定可靠性特性而进行的试验,如测定寿命分布及参数,安全余量,环境适应性及耐久性等.

在寿命分布已知情况下，就可以求出产品的可靠度、故障概率及各种可靠性特征量，但要确定产品的寿命分布则需要大量试验。产品寿命分布参数不仅随产品的类型的不同而不同，甚至随着产品的批次的不同而有所变动。由于在实际中允许的试验次数是有限的，也就是只取局部（样本）的参数来估计产品的可靠性。将样本的有限个数据经数理统计推断，得出产品的寿命特征参数的估计值。

用样本观测值估计总体参数值的过程称为参数估计。 §4.3.1分布参数的点估计

点估计是用样本观测值对未知参数给出接近真值的一个估计数值。用于估计总体参数的统计量是样本的函数，称为点估计量，用样本观测值对点估计量计算的结果叫估计值。

当产品的寿命分布类型已知，而分布参数未知时，可根据子样寿命数据t1, ,tn对寿命分布中的参数进行估计的方法称为分布参数的点估计。不同的点估计方法给出的点估计值不同，不同样本的观察值得到的点估计也不同。

点估计是一个随机变量，它本身也有数学期望值和标准差。估计方法有很多，如矩法，极大似然法，图估法，最小二乘法，最好线性无偏估计等方法。

一、矩法

以子样的均值、方差作为总体期望值、方差的估计。

如抽取n个样本进行寿命试验，其寿命分布为t1, ,tn，子样的均值作为总体分布的数学期望E(T) 的估计，子样的方差S作为总体方差D(T) 的估计，因此总体参数的估计值：

2

2

i t

S

2

2

(t

i

)2

2

例：假设一产品的寿命分布服从正态分布N( , )，现随机抽取4台做寿命试验，得到寿命数据为1502h,1453h,1369h,1650h,求正态分布的待估参数。

解：

(1502h 1253h 1369h 1650h)/4 1493h

S (1502 1493) (1253 1493) ..... /4 1047h

2

2

2

2

2

二、极大似然估计（MLE——Maximum Likelihood Estimation）

极大似然估计法是一种重要的参数估计方法。其基本思想：样本来自总体，如果一次试验中得到样本的观察值t1, ,tn，取一个使样本观察值结果出现概率达到最大时的待估参

数 i,i 1,2, ,l作为估计值，这就是极大似然估计值。

设总体分布具有故障概率密度函数f(t, 1, 2, , l)，其中 i,i 1,2, ,l为待估参数。若从总体中抽n个样本进行寿命试验，得到寿命数据t1, ,tn，假设第一个故障样本在(t1,t1 dt1)区间内，第二个在(t2,t2 dt2)内故障，……，第n个样本在(tn,tn dtn)区间内故障，则试验中故障出现的概率为：

P n! f(ti, 1, , l)dti

i 1

n

上述中n!和dti为常数，为使其概率达到最大，只需下式达到最大，即得到似然函数：

L( ) f(ti, )

i 1

n

由于上式是连乘，为求解方便，引入自然对数（变成加法）

lnL( ) lnf(ti, )

i 1

n

当L( )是单调函数时，使L( )最大，等价于使lnL( )达到最大，只要解下列方程：

lnL( ) 0

1

lnL( ) 0

2

, , , 。 求出待估参数 12l

lnL( ) 0

l

1、完全寿命下的极大似然估计

完全寿命试验就是所有样本均试验到故障而得到的样本观测值。其极大似然估计称为完全寿命试验下的极大似然估计。假设从总体中抽取n个样本进行寿命试验，得到试验寿命数据t1,t2, ,tn，这些数据是服从某种分布。

下边是常见分布的完全寿命试验中的分布参数的极大似然估计。

(1).指数分布

指数分布的故障率函数是不随时间而变化的连续寿命分布。即 (t) Const

指数分布的密度函数为f(t, ) e t，可靠度函数R(t) e t，累积故障概率

1/ 。由于故障率为常数，且又与平均寿命互为倒数，因此F(t) 1 e t，平均寿命

指数分布给计算带来了很大的方便。这也是在数理统计和数据处理中常用指数分布的原因之

一。

失效率与时间无关，这正是前述的浴盆曲线底部的失效模式，因此指数分布可以用来描述产品去除早期失效，进入恒定失效率期的一段失效。在这个阶段，尽管产品本身的失效机理，如磨损、老化等还是存在并不断累积，但并不表现出产品的失效，所以从产品的失效现象来说完全可以忽略。但是，严格具有这样物理背景的情况是不多的，因此限制了它的使用范围，特别对于那些呈现老化、衰变的产品，用指数分布来描述就有差距了。 对于指数分布，其待估参数只有一个，即故障率 ，由前面可知，其极大似然估计函数：

t

L( ) e t1 e t2 e tn ne i

对其取对数

lnL( ) nln ti

解似然方程，求出待估的故障率

dlnL( )n

ti 0

d

ti

可得到产品的可靠度和平均寿命的估计值分别为 由故障率的估计值

e t， 1 ti R

的估计值与矩法得到的结果一样。

在指数分布场合，可靠寿命tr可以从方程e

tr R(tr)中解出，其中 ，R(tr)

是可靠度，tr ln(1/R(tr))，即tr是平均寿命 的ln(1/R(tr))倍。

例：一台机器的平均寿命为15000小时，假设其寿命服从指数分布，试问：其可靠度分

别为78.40％和61.47%时的寿命是多少？ 解：

t0.784 ln(1/R(t0.784)) 15000ln(1/0.784) 3650ht0.6147 ln(1/R(t0.6147)) 15000ln(1/0.6147) 7299h

如果机器每天平均工作2h,每年365天，5年共3650h,说明78.4%是这台机器5年工作的可靠度。

(2).威布尔分布

威布尔分布是可靠性中常用的等参分布，许多电子和机械元件与设备的寿命都是威布尔

分布，它可从最弱环模型导出，最弱环模型认为故障发生在产品的构成因素中最弱部位，这相当于构成链条的各个环节中最弱环节的寿命就是整个链条的寿命，假设各环节的分布是相同的，那么链条的寿命就服从威布尔分布。大量实践证明，凡是因为某一局部失效或故障就会引起全局机能停止的元件、器件、设备等的寿命均可看作或近似看作威布尔分布，金属材料（如轴承）的寿命分布就是威布尔分布。威布尔分布适用的范围相当宽，至今已成为有代表性的寿命模型。凡是一个串联系统，如果每一个元件的寿命分布相同，而每一个元件的失效都相互独立，那么系统的寿命决定与最小的元件。这样系统的寿命均可认为是威布尔分布。

4.14威布尔分布的密度函数 4.15威布尔分布的函数

威布尔分布的密度函数：

mm 1 t0

f(t,m,t0) te

t0

它有两个待估计参数：

t0( 0)是尺度参数

m( 0)是形状参数

当m 1，早期失效较多

m 1，威布尔即为指数分布 m 1，密度是呈单峰状

m 3，渐呈对称状，近似正态分布。 一般m取0.5~5之间

有时用t0 m来表示， 为特征寿命，此时寿命密度函数的表达式为 f(t,m, ) (m/ )(t/ )m 1e (t/ ) 其可靠度函数为 R(t) e (t/ ) 累积失效概率

F(t) 1 e (t/ )平均寿命

mm

m

(1/m 1)

其中 (1/m 1)是伽马函数，可查表求得。

威布尔分布的似然函数为：

mnnm 1

L(t,m,t0) [] tie

t0i 1

tim

i 1

n

t0

取对数： lnL(m,t0) n(lnm lnt0) (m 1)解似然方程，得如下超越方程：

lnt

i 1

n

i

t

i 1

n

mi

1 lnL(m,t0)n

lnt timlnti 0 i mmt0

m lnL(m,t0) n 1t 0 i2

t0t0ti

，t 0。 利用选代法解上式可得参数估计值m

(3).对数正态分布

有不少产品的失效是由于微小因素积累而造成的，如材料的磨损，弹性元件的疲劳，部件的断裂，由于暴露而造成的腐蚀等失效机理，是在一定的应力下，随时间的延长，微小因素逐渐增加而使产品最后失效，这些产品的寿命都服从对数正态分布。其密度函数：

f( , )

2

1lnt 2

[]}

2 待估参数： ，

图4.16 对数正态分布函数(a)和密度函数(b)的图形

其似然函数：

L( , ) 取对数：

2

i 1

n

1lnt 2

(i)]

2 22

(lnt )nlntnnii

lnL( , 2) ln2 ln 2

2222 2

解似然函数：

n

lnL( , 2) (lnti ) i 1 0 2

2

(lnti )2 lnL( , )n 2 024 2

求得待估参数：

lnti

1 2 (lnti )2

n

正态分布时，其故障密度函数为

1 t 2 2

f( , ) f( , )

2

2

待估参数为

ti/n, 2 (ti )2/n

2。截尾寿命下的极大似然估计

(1) . 截尾方式：

一批产品，投入n个样品而进行试验，截尾寿命试验按截尾方式和有无替换来命名。如果试验到预定时间t0结束，称为定时截尾试验；试验到预定的故障数r出现时结束,称为定数截尾试验。组合有无替换方式，则有如下四种截尾寿命试验方式，记：

(n,无,t0)――无替换定时截尾寿命试验；(n,有,t0)――有替换定时截尾寿命试验； (n,无,r)――无替换定数截尾寿命试验；(n,有,r)――有替换定数截尾寿命试验。

不同截尾试验方式图示如下

图4.17 不同截尾方式的实验时间

不同的截尾方式，其总的试验时间是不同的

(n,无,t0)――S(t) ti (n r)t0

i 1

r

(n,有,t0)――S(t) nt0

(n,无,r)――S(t) ti (n r)tr

i 1r

(n,有,r)――S(t) ntr

(2).指数分布下的极大似然估计 a). (n,无,t0)截尾模式

若在t0时试样有r个故障，其似然函数：

L( ) f(ti, ). R(t0)

i 1

r

n r

exp{ [ ti (n r)t0]}

r

i 1

r

取对数;lnL( ) rln [解似然方程：

t

i 1

r

i

(n r)t0]

dlnL( )

[ ti (n r)t0] 0 d

得到待估参数：

ti (n r)t0]

(t)

1S(t)

例：一批产品中抽取9台进行寿命试验，规定试验时间t0 700h时停止， 试验期间共发生了7次故障。若故障后不替换，就停止，试估计该仪表的平均寿命为多少？

解：该试验是属于定时无替换试验，即（n,无，t0）截尾模式，假设寿命服从指数分布，故有

( ti (n r)t0) (650 600 450 530 120 450 650 700 2)

1r17

＝4580/7=692.86小时

b). (n,无,r)的极大似然估计

在t0时试样有r个故障，类似于上述求解步骤，其似然估计函数为：

L( ) rexp{ [ ti (n r)tr]}

解似然方程，

dL( )

0，得：

r (t)

[ ti (n r)tr]

i 1

S(t)

c). (n,有,t0)以及(n,有,r)的极大似然估计

可以证明同样有

S(t) ， (t)

(3).两参数威布尔分布截尾下参数的极大似然估计

)和(n,无,r)的截尾寿命，可参照上述上式列出似然函数： 考察无替换情况(n,无,t0

)则有： L(m,t0) [对(n,无,t0

mr

] tim 1exp i 1t0i 1

r

r

t

r

mi m (n r)t0t0

对(n,无,r)： L(m,t0) [似然方程：

mr

] tim 1exp{ t0i 1

r

t

i 1

mi (n r)trmt0

lnL(m,t0) lnL(m,t0)

0

m t0

)： 求解上式，对(n,无,t0

m rmm

t (n r)t mlnt0 ][ timlnti (n r)t00 i

i 1 i 1r

r [ lnti]

i 1

r m][ tim (n r)t0

t i 1 0

用tr代入，具有同样的形式。解上述超越方程就可求求(n,无,r)情况时，将上式中t0

得相应的待估参数。

(4).对数正态分布截尾试验下参数的极大似然估计

对于(n,无,t0)和(n,无,r)截尾寿命试验可参照指数分布列出其似然函数：

L( , )

2

i 1

r

1lnt 2

exp[ [i]][1 F(ts, , 2)]n r

2 2ti1

式中：F(ts, , )

2

ts

12 t

exp[ (

lnti

)2 (

lnts

) (Zs)

t0定时截尾

ts ， (Zs)是标准正态概率函数。

t r定数截尾

其似然方程为：

(Zs) lnL( , 2)1rn r

2 (lnti ) 0

i 1 1 (Zs) lnL( , 2)r1rn rZs (Zs)

3 (lnti )2 0

i 1 1 (Zs)

, 。 可用迭代法求出参数估计值

综上所述，我们可以对极大似然估计得出如下结论：

（1）、极大似然估计必须在已知分布类型的情况下才能得到；

（2）求某一母体的极大似然估计的步骤是：首先写出似然函数或对数似然函数；其次列出似然方程或对数似然方程；最后解似然方程，得到使似然函数达到极大的参数估计值。由于威布尔分布，截尾样本的正态和对数正态的似然方程均为超越方程，因此求解一般用计算机实现；

是 的极大似然估计，f( )（3）前面所述，极大似然估计还有一个很好的性质，即假如

( )也是f( )的极大似然估计。因此如果求得了寿命分布参数的极是严格单调函数，那么f

大似然估计，那么由这些参数组成的可靠性特征量的极大似然估计也即可得到（如果可靠性

特征量函数是严格单调函数）。

当子样容量较大时，极大似然估计具有很好的性质，经常是一个良好的估计方法。但是它要已知寿命分布的具体形式，这在许多场合往往是困难的。(待续)

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