2015春季五奥第二讲 图形变换

2015年春季五奥

第二讲 图形变换

例1：右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

师：观察相邻两个三角形的面积，它们是什么关系？ 生：相邻两个三角形的面积是2倍的关系。

师：第一个三角形的面积可以求出来，那么其他三角形的面积根据关系，同学们可以做一做，是多少？ 生：32+16+8+4+2+1=63

小结：要学会观察，两个三角形的面积关系可以放在一起重叠试一试。

例2：有一块边长为18cm的白色正方形手帕，手帕中间横竖各有两道宽2cm的红条。这块手帕白色部分的面积是多少？

师：在这个图形中，哪些图形的面积是可以求出来的？ 生：大正方形的面积和红色长方形的面积 师：那么白色的面积和它们是什么关系了？

生：白色部分的面积就是用总面积减去红色部分的面积 师：很棒。大正方形的面积是多少？ 生：18×18=324（平方厘米） 师：红色部分的面积是多少？

生：18×2×4-2×2×4=128（平方厘米）

师：为什么在求红色面积的时候要减去4个小正方形的面积？

生：因为4个小正方形的面积均被算了2次，而实际只需要算一次，所以需要把多的一次减掉。 师：很棒，那么白色的面积就是多少？ 生：324－128=196（平方厘米）

师：同学们都很棒，其实这个题目我们还可以用平移的方法去解决。把红色的长条全部平移到最右边和最下面，空白的部分刚好是一个正方形，正方形的边长是18-4=14（厘米），利用这个直接可以求出空白面积14×14=196（平方厘米）

小结：一般不规则图形的面积可以做减法。利用这个题目的思路我们可以做例题3.

例3：如图是一块长方形草地。长方形的长155米，宽95米，中间有两条道路，一条是长方形的，一条是平行四边形的。问有草部分的面积是多少？

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提示：由于要求的部分面积不规则，所以我们采取了与上一题同样的方法，用总的面积减去可以求出来的部分的面积，剩下的就是题目要求的了

【思路点拨】 计算的方法和上一题一样，倾斜的平行四边形的面积和长方形一样，所以我们还是可以把平行四边形变成一个长方形，然后再次平移到右边和下边，注意重叠的部分后可以计算面积大小 答案：13500

例4：按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲乙两个直角三角形。已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积。

时

师：这个题目两个空白三角形的面积大家都会求，但是平行四边的面积不知道，所以阴影部分的面积也就求不出来。其实我们可以利用平移的方法解决这个题目。但是要怎么移动，移动谁？ 生：利用平行四边形的对边相等，移动两个直角三角形。

师：很棒，这样移动后，平行四边形的面积就变成了下面画斜线的面积，也就是两个长方形的面积。所以现在平行四边的面积是多少？ 生：4×3+6×2=24（平方厘米） 师：所以现在阴影部分的面积是多少？ 生：24－4×2÷2－3×6÷2=11（平方厘米）

小结：一般图形的平移要借助线段相等，有线段相等的图形可以考虑平移。

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例5：两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，这两个正方形的边长分别是多少厘米？

师：这是两个正方形放在一起的情况，里面的小正方形斜着在放，其实我们可以把它放正，该怎么放？ 生：如图

师：很好，两个正方形的周长长是16，则说明它们的边长差是4厘米，面积差是96则说明，在上图中那个不规则图形的面积就是96平方厘米。现在我们可以把这个不规则图形分成两个长方形和一个正方形，该怎么分？

生：如图

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师：那么也就是说分成的三个图形中，正方形的边长是4厘米，两个小长方形的面积相等。所以现在就可以求出一个小长方形的面积，是多少？

生：（96－4×4）÷2=40（平方厘米）

师：小长方形的面积是40，宽是4，所以长就是40÷4=10（厘米），也就是原来题目图形中的小正方形的边长，大正方形的边长为10+4=14（厘米）

小结：用旋转的方法把斜着放的图形，放正。进而转化成我们所熟悉的图形。利用旋转可以解决例题6.

例6：如图所示的四边形的面积等于多少？

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【思路点拨】 把底边上移到直角梯形的上顶点处，新的图形就相当于把右边的直角三角形旋转到上面，剩下的可以由学生自己计算

答案：144

例7：如图，三个三角形都是等边三角形。已知小三角形（阴影部分）的面积是5平方厘米。求大三角形的面积。

师：我们利用旋转可以把一个图形变成我们所熟悉的样子，那么在这个题目中，也可以利用旋转变成我们所熟悉的图形，先看里面两个三角形，怎么样旋转？ 生：如图

师：旋转后，发现第二个三角形的面积是阴影三角形面积的3倍。所以第二个三角形的面积是3×5=15（平方厘米），同样的把第二个三角形旋转，一样最外面的三角形面积是第二个三角形面积的3倍，所以大三角形的面积是15×3=45（平方厘米）

小结：这题也是利用旋转把图形转化为我们所熟悉图形。例题8可以通过旋转将两个图形放在一起组成一个新图形。

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例8：用一张斜边长3厘米的蓝色直角三角形纸片，一张斜边长5厘米的红色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，刚好可以拼成一个直角三角形（如图）.红、蓝两张三角形纸片的面积之和是多少平方厘米？

【思路点拨】运用旋转的方法，把蓝色三角形的底边翻转到与红色三角形想接的地方，斜边3正好在黄色正方形内，顶点在黄色正方形的底边上面，于是此时红色三角形加上蓝色三角形就变成了一个大的直角三角形，两个直角边是3和5，正好可以求面积 答案：7.5

例9：大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中点和一个顶点相连，得到右面的图形。那么图中阴影部分的面积等于多少平方厘米？

【思路点拨】把小正方形里面的阴影部分全部翻转到相对称的白色三角形部分，这样就很明显的看出来阴影部分的和是全部大正方形面积的一半 答案：50

例10：兄弟两人在玉器店抢得一圆形玉器，为了安全起见，他们在离开玉器店时将玉器按下图方式进行切割，哥哥拿到1、4两块，弟弟拿到2、3两块，经鉴定该玉器市场价值是每一平方厘米价值10000美元，经测量知AE、EC、BE、ED的长度分别为7、3、2、9厘米，如果兄弟二人要平均分配（不能再将玉器进行分割），则哥哥应该给弟弟多少美元？

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