专题2.2 与三角形相关的范围问题-玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品（原卷版）

玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品

专题02 与三角形相关的范围问题

一．方法综述

与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解．

二．解题策略

类型一 结合基本不等式求解问题

【例1】在ΔABC中,若a2?b2=2c2,则角C的最大值为 A.

πππ2π B. C. D. 6433

[来源学科网ZXXK]【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值． 【举一反三】

1、【2018天津市耀华中学模拟】在ABC中，如果边a， b，

c满足a?1?b?c?，则?A（ ） 2A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能

2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在?ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若

2sinC2a?b3?，且csinAsinB?，则ab的最小值为__________． tanBb23、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

sin2B?C1?sinBsinC?， b?c?2，则a的取值范围是__________． 24类型二 利用消元法求解问题

【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在?ABC中，角A， B， C的对边分别是a， b，

c，若

?2a?c?cosB?bcosC， b?【举一反三】

3，则a?c的取值范围是__________．

【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围．

2221、在ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，若a?b?42?c， ab?4，则

sinCtan2Asin2B的最小值是__________．

222、【2018浙江省镇海中学模拟】圆x?y?1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A， B两点，

22且?APB?60，则PA?PB的取值范围为__________．

3. 【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中， 9tanAtanB?tanBtanC?tanCtanA的最小值为____．

类型三 与三角形的周长有关的最值问题

【例3】【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考】已知锐角?ABC的内角A、B、C的对边分别为

a、b、c，其外接圆半径为23,b?2，则?ABC的周长的取值范围是__________． 3【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值. 【举一反三】

1、【2018四川省宜宾市模拟】在?ABC中，

a， b， c分别是角A， B， C的对边，且

cos2B?3cos?A?C??2?0， b?3， 那么?ABC周长的最大值是

A.

3 B. 23 C. 33 D. 43[来源学科网]

2、【2018广西联考】在?ABC中，角A， B， C所对应的边分别为a， b， c，若bc?1， b?2ccosA?0，则当角B取得最大值时，三角形的周长为（ ）

[来源:Zxxk.Com]

A. 2?3 B. 2?2 C. 3 D. 3?2 类型四 与三角形面积有关的最值问题

【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在?ABC中， a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若

?1?b?sinC??cosA?sinAcosC，且a?2，则?ABC的面积的最大值为__________． ?2?【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在

1b??cosA?1的基础上在利用正弦定理得到2sinBsinA?cosA。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使

用条件。 【举一反三】

1、【2018山东省德州市模拟】在?ABC中， a,b,c分别为内角A,B,C的对边，

a?c?4,b?2?cosA??a?cosB?1?，则?ABC面积的最大值为__________．

2、?ABC中，内角A， B， C所对的边分别为a， b，

c，已知a?bcosC?csinB，且b?2，则

?ABC面积的最大值是__________．

3、如图半圆O的半径为1， P为直径MN延长线上一点，且OP?2， R为半圆上任意一点，以PR为一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为___________.

类型五 与三角形解的个数有关的最值问题

【例5】在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， A?C?2B,bsinA?6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是__________．

【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键. 【举一反三】

1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

A?300,b?2，如果这样的三角形有且只有一个，则a的取值范围为________.

2、已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，已知?A?600,a?3,b?x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是_____.

三．强化训练

1．在?ABC中， C??3，在边AC上存在一点D，满足AD?DB，作DE?AB， E为垂足，若A为?ABC的最小内角，则

DE的取值范围是__________． BC2. 【2018江苏省常州市武进模拟】?ABC中，若tanA、tanB、tanC依次成等比数列，则?B的取值范围为________. 3. 已知

分别为

内角

的对边，

成等比数列，当取最大值时，则

的值为_________.

tnB的最大值为__________．4. 【2018河南省豫北豫南名联考】在?ABC中，若sin?2A?B??2sinB，则a

5、已知平面四边形ABCD是由ABC与等腰直角ACD拼接而成，其中?ACD?90?， AC?CD，

AB?3BC?1，则当点B到点D的距离最大时，角B的大小为__________． 5

6. 【2018河北省衡水第一中学模拟】在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB?2a?b，

若?ABC的面积为S?3c，则c的最小值为__________． 47、【2018江西省南城县第一中学模拟】在ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，且满

2足cosB?116bsin2B?1，若BC?AB?3，则的最小值为__________．2ac[来源:Z&xx&k.Com]

8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】在?ABC中， D为AC上一点，且AD?2， DC?1， BD为

?ABC的角平分线，则?ABC面积的最大值为__________.

9. 已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边， 则?ABC面积的最大值为A.

[来源:学科网ZXXK]a=2，且?2?b??sinA?sinB???c?b?sinC，

3 B. 2 C. 22 D. 23 的内角

的对边分别是

，且

10、【2018河北省衡水中学模拟】已知

，若

A.

B.

C.

D.

，则的取值范围为（ ）

11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中， a,b,c分别是内角A,B,C的对边，设B?2A，则

a的取值范围是（ ） b?32?A. ??3,2?? B. ???2,2 C.

??2）2,3 D. （0，

，且满足

，如果存在两条互相垂直的直线与函数的取值范围是（ ）

D.

?12. 【2018四川省绵阳市模拟】已知

的图象都相切，则

A.

B.

C.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/75lv.html