高等数学李伟版课后习题答案第五章

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习题5—1(A)

1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:

(1)如果函数)(x f 仅在区间],[b a 上有界,它在],[b a 上未必可积,要使其可积,它在

],[b a 上必须连续;

(2)如果积分?b

a x x f d )((

b a <)存在,那么n

a b i n a b a f x x f n i n b a --+=∑?=∞→)(lim d )(1; (3)性质5也常称为积分不等式,利用它(包括推论)结合第三章的有关知识,可以估计积分的值、判定积分的符号,也可证明关于定积分的某些不等式;

(4)定积分的中值定理是一个非常重要的定理,利用它能去掉积分号,同时该“中值”)(ξf 还是被积函数在积分区间上的平均值.

答:(1)前者正确.如狄利克雷函数???∈∈=c Q

x Q x x D ,,,01)(在区间][b a ,(其中a b >)上有界,但是它在区间][b a ,上不可积,事实上:将][b a ,任意分成n 个小区间][1i i x x ,-

)21(n i ,,, =,

(其中b x a x n ==,0)记第i 个小区间长度为i x ?,先在][1i i x x ,-上取i ξ为有理数,则a b x x D n i i n i i i -=?=?∑∑=→=→0

000lim )(lim λλξ,再在][1i i x x ,-上取i ξ为无理数,则00lim )(lim 0000=??=?∑∑=→=→n

i i n i i i

x x D λλξ,对于i ξ的不同取法黎曼和的极限不同,所以)(x D 在区间][b a ,上不可积;后者不正确,参见定理1.2.

(2)正确.事实上:由于)(x f 在区间][b a ,上可积,则对][b a ,的任意分法,i ξ的任意取法,都有i n

i i b

a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλ,现在对][

b a ,区间n 等分,i ξ去在小区间的右分点,则i n a b a i -+=ξ,n

a b x i -=?,并且0→λ等价于∞→n ,所以 i n i i b

a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλn

a b i n a b a f n i n --+=∑=∞→)(lim 1. (3)正确.它是证明关于定积分不等式的基础,参见例题1.3、1.4、1.5等.

(4)正确.它可以起到去掉积分号的作用))((d )(a b f x x f b

a -=?ξ;也可以用来表示连

续函数在区间][b a ,上的平均值a b -1

)(d )(?=b

a f x x f ξ,但是由于ξ位置不好确定,一般不用它来计算平均值,而是直接计算?-

b a

x x f a b d )(1. 2.自由落体下落的速度gt v =,用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解:根据定积分引入的实例,变速直线运动的路程=s ?b

a t t v d )(,所以?=100d t gt s .

3.一物体在力)(x F F =作用下,沿x 轴从a x =点移动到b x =点,用定积分表示力)(x F 所做的功W .

解:将位移区间][b a ,任意分成n 个小区间][1i i x x ,-)21(n i ,,, =,(其中b x a x n ==,0)记第i 个小区间长度为i x ?,在][1i i x x ,-上任取一点i ξ,用)(i F ξ近似代替物体从1-=i x x 移动到i x x =时所受的力,则物体从1-=i x x 移动到i x x =时所做的功近似为i i i x F W ?≈?)(ξ,于是∑∑==?≈?=

n i i i n i i x F W W 11)(ξ,记}21m a x {n i x i ,,, =?=λ,

则?∑=→=?=b a n i i

i x x F x F W d )()(lim 10ξλ(假定极限∑=→?n

i i i x F 10)(lim ξλ存在). 4.用定积分的几何意义求下列积分值:

(1)x x a a

a d 22?--; (2)?-21

d x x .

解:(1)如图,上半圆的面积2/2πa A =, 根据定积分几何意义

A x x a a a =-?-d 22, 所以,=-?-x x a a

a d 222/2πa .

(2)如图,面积22/41==A ,2/12=A ,

根据定积分几何意义

2/3d 2121=-=?-A A x x , 所以,=?-2

1d x x 2/3.

5.若函数)(x f y =在区间],[a a -上连续,用定积分的几何意义说明:

(1) 当)(x f 为奇函数时,

0d )(=?-a a x x f ; (2) 当)(x f 为偶函数时,??=-a a

a x x f x x f 0d )(2d )(.

解:(1)如图1,当)(x f 是奇函数时,由对称性,面积21A A =,

根据定积分几何意义,

0d )(21=-=?-A A x x f a a

.

(2)如图2,当)(x f 是偶函数时,由对称性,面积21A A =,

根据定积分几何意义,

??

==+=-a

a a

x x f A A A x x f 0

121d )(22d )(.

6.比较下列各组定积分的大小:

(1)x x I d 10

21?

=

与x x I d 10

32?=; (2)x x I d 21

1?

=与x x I d 21

3

2?

=;

(3)x x I d sin 2

1?

=π与x x I d sin 20

31?=π;(4)x x I d ln 53

1?=与x x I d )(ln 2

5

3

2?=.

解:(1)因为在区间]10[,

上3

2

x x ≥,所以≥

?

x x d 10

2x x d 10

3?

,即21I I ≥.

(2)因为在区间]21[,上3x x ≥,所以

≥?

x x d 2

1

x x d 213

?

,即21I I ≥.

(3)因为在区间]2/0[π,上x x 3

sin sin ≥,所以

?

x x d sin 2

π

x x d sin 20

3?

π

,即21I I ≥.

(4)因为在区间]53[,

上2

)(ln ln x x ≤,所以≤

?

x x d ln 5

3

x x d )(ln 253

?

,即21I I ≤.

7.估计下列定积分的值:

(1)?+=π20d )sin 2(x x I ; (2)?=1

d arctan x x I ;

(3)?

+=

21

2d 1x x

x I ; (4)?+-=202

)d 32(x x x I . 解:(1)设x x f sin 2)(+=,在区间]20[π,上显然有3)(1≤≤x f ,又,1)2/3(=πf 3)2/(=πf ,于是函数)(x f 在区间]20[π,上的最小值为1=m ,最大值3=M ,而区

间长度π2=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b a

-≤≤

-?

,得ππ62≤≤I .

(2)设x x f arctan )(=,由于函数)(x f 在区间]10[,

上单调增加,于是)(x f 在区间

]10[,上的最小值为0)0(==f m ,最大值4/)1(π==f M ,而区间长度1=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b

a -≤≤-?,得4/0π≤≤I .

(3)设21)(x x x f +=,则222

)

1(1)(x x x f +-=',在区间]21[,上0)(≤'x f ,于是函数)(x f 在区间]21[,上单调减少,所以)(x f 在区间]21[,上的最小值为2/5)2(==f m ,最大值2/1)1(==f M ,而区间长度1=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b a -≤≤

-?,

得2/15/2≤≤I .

(4)设32)(2+-=x x x f ,则22)(-='x x f ,有0)(='x f ,在区间)20(,内得驻点1=x ,又3)2(2)1(3)0(===f f f ,,,所以函数)(x f 在区间]20[,上的最小值为2)1(==f m ,最大值3)2()0(===f f M ,而区间长度2=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b

a -≤≤-?,得64≤≤I . 8.证明下列不等式:

(1)x x x x d cos d sin 4040??≤π

π; (2)x x x x d )1(d e 1

010??+≥. 证明:(1)在区间]4/0[π,上显然有x x cos sin ≤,所以

x x x x d cos d sin 4040??≤π

π. (2)设x x f x --=1e )(,在区间]10[,

上,01e )(≥-='x x f ,于是函数)(x f 在区间]10[,上单调增加,从而0)0()(=≥f x f ,即在区间]10[,上x x +≥1e ,所以x x x x d )1(d e 1

01

0??+≥. 习题5—1(B)

1.右图给出了做直线运动的某质点在0到9s 内的

速度图象,求它在这段时间间隔内所走的路程.

解:质点在0到9s 内所走的有效路程为阴影面积的

代数和,即2810d )(9

0=-=?t t v (单位)

; 质点在0到9s 内所实际走的路程为阴影面积的

和,即18810d )(9

0=+=?t t v (单位)

2.用定积分中值定理求下列极限:

(1)x x x x n n

n d 2lim 8

2?+∞→; (2)x x

x n n n d 1arctan lim 1?+∞→. 解:(1)由定积分中值定理,n

n n n n n n

x x x x ξξξ+=+?26d 282(其中82≤≤n ξ),于是 3/126lim 26lim d 2lim 1

8

2=+=+=+-∞→∞→∞→?n n n n n n n n n n n n x x x x ξξξξ. (2)由定积分中值定理,n

n n n x x x ξξ1arctan d 1arctan 1

=?+(其中1+≤≤n n n ξ), 由1+≤≤n n n ξ,有∞→n 等价于+∞→n ξ,于是

11lim 1arctan lim d 1arctan lim 1=?==+∞→+∞→+∞→?n

n n n n n n n n x x x ξξξξξξ. 3.若函数)()(x g x f ,在区间][b a ,(b a <)上连续,)()(x g x f ≤,且)(x f 不恒等于)(x g ,

证明??

a b

a x x g x x f d )(d )(. 证明:设)()()(x f x g x F -=,由题目条件知,在区间][

b a ,

上函数)(x F 连续且0)(≥x F 又不恒等于零,于是有∈0x ][b a ,

,使得0)(0>=ηx F ,由连续函数的性质,0>?δ,在区间][][00b a x x ,, δδ+-内恒有2/)(η>x F ,设区间][][00b a x x ,, δδ+- ][21c c ,=(12c c >),所以02/)(/2d d )(d )(1221

21>-=≥≥???c c x x x F x x F c c c c b a ηη,即0]d )()([>-?b a x x f x g ,再由定积分的线性性,得??

a b a x x g x x f d )(d )(.

4.证明下列不等式:

(1)4/1022e 2d e e 22---≤≤

-?x x x ; (2)2

11d 22110<+

点2/1=x ,又24

/1e )2(e )2/1(1

)0(===-f f f ,,,于是函数)(x f 在区间]20[,的最

小值为4

/1e

-=m ,最大值为2

e =M ,从而≤

-4

/1e

2220

e 2d e 2

≤?

-x x

x

因为=?-0

2

d e 2

x x

x

?--2

d e 2

x x

x

,所以4/10

2

2e 2d e e 22

---≤≤-?x x

x

(2)在区间]10[,

上显然有x x

x x n

≤+≤

12

,且等号不恒成立,而函数

n

x

x x +12

x 都连续,根据本节习题(B )3,有??

?

<+<1

10

10

d 1d d 2

x x x

x x x x n

,而由定积分的几何

意义得

21

d 10

=

?

x x ,2

21d 2

1d 210

10=

=?

?x x x x ,所以

2

1

1d 2

2110

<

+

n

x x x . 习题5—2(A)

1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:

(1)在定理2.1的证明中,被积函数连续的条件是不可缺少的; (2)若()f x 连续、)(x ?可导,

则?

=)

(0

d )()(x t t f x F ?的导数等于被积函数在上限处的值;

(3)在()f x 连续、)(x ?及)(x ψ可导时,通过将?=

)

()

(d )()(x x t t f x F ?ψ

化成两个变上限定

积分,可求得()(())()(())()'''=-F x f x x f x x ??ψψ;

(4)使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分,首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数,然后求该原函数在积分区间上的增量.

答:(1)正确.定理的证明中两次用到连续性,一次是使用定积分中值定理时,再一次是最后求极限时.

(2)不正确.应该是)()]([)(x x f x F ??'=',即被积函数在上限处的值与上限处函数)(x ?的导数之积.

(3)正确.将函数)(x F 改写为?

?

-=)

()

(d )(d )()(x a

x a

x x f x x f x F ψ?,再根据(2)求导.

(4)正确.这就是牛顿—莱布尼兹公式

)()(d )(a F b F x x f b a

-=?

(其中)(x F 是)(x f 在

区间][b a ,上的一个原函数),但是要注意被积函数的连续性,对分段函数(或分区间连续函数)要分区间求. 2.计算下列定积分:

(1)x x x d )123(10

24?

-+; (2)x a x a x a

d ))((0

?+-;

(3)

x x x d )1

1(94+?

; (4)x x d 1123?--+;

(5)

x x x d 121

3

4?

-; (6)?+33/121d x x

; (7)x x x d 311

02

?+-; (8)?-21

021d x x ; (9)

x x d )sin 21(0

?

-π; (10)x x d tan 3

2?

π

(11)

?

-40

sin 1d π

x

x

; (12)x x d cos 0?π;

(13)

x x x d 1220

2

?+-; (14)x x f d )(20

?

,其中?

?

?≥<=.11e )(x x x x f x ,,

, 解:(1)

15

4]3253[d )123(1

03410

24=-+=-+?x x x x x x . (2)=-=-=

-=+-??3

33

3

02

2

033

d )(d ))((a a a x x a x x a x a x a

a

a

3

22a -.

(3)

=-=+=+=+??

32824]232[d )1(d )11(94

2/39494

x x x x

x x x x 344

. (4)

=-=+=+----?2ln 01ln d 11

23

2

3x

x x 2ln -.

(5)

=-=+=-=-??

1817]212[d )1(d 1212221321

34x x x x x x x x 8

9. (6)

=-==+?

63arctan 1d 3

3/133/12ππx x x 6

π. (7)

=+-=+-=+-?3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 311031

02

πx x x x x 43ln 213

6+π. (8)

=

-==-?

06

arcsin 1d 2

/10

21

2

π

x x x 6

π

. (9)

=--+=+=-?

)11(2cos 2d )sin 21(00

ππππx x x 4-π.

(10)

=

-

-=-=-=?

?3

033

tan d )1(sec d tan 3

/0

30

230

2

π

π

ππ

π

x x x x x 3

-

(11)=-+=+=+=-??121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4

/040240ππ

πx x x

x x x x 2. (12)

=---=-=-=???

)10(01sin sin d cos d cos d cos 2/2/02

20

πππ

ππ

π

x x x x x x x x 2.

(13)

x x x x x x x x x d )(d )1(d 1d 122

1

1

2

20

2????

--+-=-=+-

=+=

-+--=2

1

21)1(2

1

)1(2

1

21

210

2

x x 1. (14)

=-

+-=+=+=???

2121e 2

e

d d

e d )(21

2

10

2

1

1

20

x x x x x x f x x

2

1e +. 3.求下列函数)(x y y =的导数x

y

d d : (1)?-=x t t y 0

d e 2

; (2)?

=1

d sin x t t

t

y ; (3)?

=x

t t y 0

2

d sin ; (4)?=x

x

t x y e 2d ln .

解:(1)

=x y

d d 2

e x -. (2)=x y d d x

x sin -

. (3)

=?=x x x y 21)sin(d d 2x

x 2sin . (4)

='?-'?=)()ln()e ()e ln(d d 22x x x

y

x x )ln 2e (2x x x -. 4.求下列极限:

(1)x

t

x t x ln d e lim

1

1

2

?

→; (2)3

20

d sin lim

x t t x x ?

→;

(3)x

x t t x x 50

2

sin d cos lim

?-→; (4)?

?

→2

2

02

d cos )d sin (lim

x x

x t

t t t

t

.

解:(1)===→→→?2

2

2

e lim /1e lim ln d e lim

111

1

x x x x x

t x x x x t

e . (2)==→→?2203

20

3sin lim d sin lim

x x x t t x x x 3

1. (3)=-=-=-=-→→→→??4404205

20

50

20

52/lim 51cos lim d cos lim

sin d cos lim

x x x x x x t t x

x t t x x x x x x 10

1

-.

(4)===?=→→→→????1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x

x 1. 习题5—2(B)

1. 求变力2)(t t t F -=沿数轴从点1=t 到点2=t 所做的功.

解:根据习题5-1(A )3,

x t t t t F W d )(d )(212

21??-==3324313238324]332[2132/3-=+--=-=t t . 2.设函数)(x y y =由方程

0d 1d 1202202=-++??x y t t t t ,求x y d d . 解:方程0d 1d 1202202=-++?

?x y t t t t 两边同时对x 求导,有 012d d 41242=-++x x x y y ,解得24411d d y

x x x y +--=. 3.若函数)(x f 连续,设?=

x t t xf y 1d )(,求

x y d d . 解:?=x

t t f x y 1d )(,根据乘积求导法则,x y d d )(d )(1x xf t t f x +=?. 4.证明:当0=x 时,函数t t x I x

t d e )(02?-=取得最小值.

证明:函数)(x I 在)(∞+-∞,内有定义,2e )(x x x I -=',由0)(='x I 得唯一驻点0=x ,

又22e 2e )(2x x x x I ---='',01)0(>=''I ,于是0=x 是函数t t x I x t d e )(02

?-=的唯一极小值点,从而也是最小值点,所以当0=x 时,函数t t x I x

t d e )(02

?-=取得最小值. 5.若函数)(x f 在区间][b a ,

上连续,在)(b a ,内可导,且0)(<'x f ,设 ?-=

x a t t f a

x x F d )(1)(, 证明:在区间)(b a ,内0)(≤'x F . 证明:2)(d )())(()(a x t t f a x x f x F x

a ---='?.

(方法1)由定积分中值定理,a x f x f a x a x f a x x f x F --=----=')()()

())(())(()(2ξξ (其中x a ≤≤ξ),由0)(<'x f ,有函数)(x f 单调减少,而x ≤ξ,得)()(ξf x f ≤,

所以在区间)(b a ,

内证明0)(≤'x F . (方法2)因为

))((d )(a x x f t x f x a

-=?

,所以

2

2

)

(d )]()([)

(d )(d )()(a x t t f x f a x t

t f t x f x F x a

x

a

x a

--=

--=

'?

??

(t x ≥),

由0)(<'x f ,有函数)(x f 单调减少,而t x ≥,于是0)()(≤-t f x f ,得

0d )]()([≤-?

x a

t t f x f ,所以在区间)(b a ,

内证明0)(≤'x F . (方法3)设=)(x g ?

-

-x a

t t f a x x f d )())((,则0))(()(≤-'='a x x f x g ,

于是函数)(x g 在区间][b a ,

上单调减少,0)()(=≤a g x g ,所以0)(≤'x F . 6.若函数)(x f 可导,且0)0(=f ,2)0(='f ,求极限2

d )(lim

x t t f x x ?→.

解:='=-==→→→?)0(21

)0()(lim 212)(lim

d )(lim

0020

0f x f x f x x f x

t

t f x x x x 1. (注:由于)(x f '未必连续,因此极限x

x f x 2)

(lim 0→不能再用洛必达法则)

7.设函数)(x f 在闭区间]10[,

连续,且1)(

=?

x t t f 在开区间

)10(,有且仅有一个实根.

证明:设-

=x x F 2)(1d )(0

-?

x t t f ,根据已知,函数)(x F 在闭区间]10[,

连续,又 01)0(<-=F ,-

=1)1(F ?

10

d )(t t f ,由于连续函数1)(

从而0)1(>F ,由零点定理得方程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(,至少有一个实根.

而0)(2)(>-='x f x F ,)(x F 单调增加,于是方程0)(=x F 至多有一个实根,即方 程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(,至多有一个实根.

综上,证明方程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(,有且仅有一个实根.

8.若函数???≤≤-=其它,,

,010)(6)(2x x x x f 求函数?

=

Φx t t f x 0

d )()(在),(+∞-∞内的表达式.

解:当0

===

Φ??

x

x t t t f x ;

当10<≤x 时,320320

20

23]23[d )66(d )()(x x t t t t t t t f x x

x

x -=-=-==

Φ??

当1≥x 时,10]23[d 0d )66(d )()(103211020=+-=+-==Φ???t t t t t t t t f x x

x

, 所以,??

???≥<≤-<=Φ.11102300)(32x x x x x x ,,,,,

习题5—3(A)

1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:

(1)在定积分的换元积分法中,要求被积函数)(x f 在区间],[b a 上连续,函数()x t ?=在以βα、为端点的区间上有连续的导数,以保证[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上可积;

(2)对定积分进行换元时,需要注意的是换元的同时要换积分限,这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限;

(3)定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法,具体采取哪种换元法,其依据与不定积分是相同的;

(4)在利用奇、偶函数的积分性质时,不仅要注意被积函数的奇偶性,而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的.

答:(1)正确.此时[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上是连续的,因此它可积.

(2)不正确.如t x cos =,则

t t x x d sin d 102/2102??-=-π,其中下限大,上限小;对积分?b

a x x f d )(作换元)(t x ?=,原积分下限a x =对应的t 值在换元后积分的下限上,原

积分上限b x =对应的t 值在换元后积分的上限上.

(3)正确.

(4)正确.但是还需注意函数是可积的.

2.计算下列定积分:

(1)x x x d 19

1?+; (2)?

-++01311d x x ; (3)x x x d 4511?

--; (4)x x x d 12103-?; (5)?

+31221d x x x ; (6)?-12122d 1x x x ; (7)?-2

122d 1x x x ; (8)?-324)28(d x x ;

(9)?+3

02d 1x x x ; (10)x x x d sin cos 04?π

(11)x x d )sin 1(03?+π

; (12)x x x d e 102

?; (13)x x x d ln 1e 1?+; (14)x x x d 1sin /3/22

?ππ;

(15)?-++212102d x x x ; (16)x x x d sin sin 03?-π. 解:(1)令t x =,则2t x =,t t x d 2d =,于是

t t t t t t x x x d )111(2d 12d 1313

129

1???++-=+=+=++-=31312

)1ln(24t t 2ln 24+. (2)令t x =+31,则13-=t x ,t t x d 3d 2=,于是

=++-=++-=+=++--???012101

02013)]1ln(3323[)d 111(31d 311d t t t t t t t t t x x 232ln 3-. (3)令t x =-45,则4/)5(2t x -=,2/d d t t x -=,于是

=---=--=-??-)310(81d 8)5(d 451

331321

1t x t t t x x x 6

1. (4)令t x sin =,则t t x d cos d =,于是

t t t t t t x x x cos d )cos (cos d cos sin d 12204202321

03-==-???ππ

15

25131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t . (5)令t x tan =,则t t x d sec d 2

=,于是 =-===+???3/4/3/4/23/4/223

122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t x x x 3

322-. (6)令t x sin =,则t t x d cos d =,于是

=--=-==-???4cot d )1(csc d cot d 12

/4/2/4/22/4/21

21

22π

ππππππt t t t t x x x 4

1π-. (7)令t x sec =,则t t t x d sec tan d =,于是

???-==-3/03/022

122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x x x

3

/0

]sin sec tan [ln πt t t -+=2

3

)32ln(-+=. (8)

=-=

-=---=-??)64181(61)28(61

)28()2d(821)28(d 32

3

3243

24x x x x x 384

7

. (9)

=-=+=++=

+??)18(31)1(3

1)d(1121d 130

2

/3230223

02x x x x x x 3

7

. (10)===??πππ0504

04sin 5

1dsin sin d sin cos x x x x x x 0.

(11)

=-+=-+=+?

?

ππ

π

ππ0

30

2

3

]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 3

4

+π. (12)

=

==

??

1

2

1010222

e 2

1)d(e 21d e x x x x x x )1e (2

1

-. (13)

=+

=+=+=+??321)(ln 3

21dln ln ln d ln 1e 1

2

/3e 1

e 1e

1x x x x x x x 3

5. (14)

=-=

=-

=??

02

1

1cos )1d(1sin d 1

sin /3/2/3/2/3/22

π

π

π

ππ

πx

?x x x x x 21.

(15)

=-=+=+++=++---??)04(3131arctan 313)1()1d(102d 21

21222

12πx x x x x x 12

π

. (16)

x x x x x x x x x d cos sin d cos sin d sin sin 0

2

3

???

==-πππ

x x x x x x d cos sin d cos sin 2

/2/0

???-?=πππ x x x x dsin sin dsin sin 2

/2/0

?

?

?-?=πππ

=+=-=3232sin 32sin 322/2/32

/02/3πππx x 3

4. 3.计算下列定积分:

(1)

x x x d sin 02?π; (2)x x x d e 1

?-;

(3)

x x d ln e 1

?

; (4)?

41

d ln x x

x ;

(5)

?

10

2d arctan x x x ; (6)?21

d arcsin x x ;

(7)x x x

d cos

e 2/0?

π; (8)?+4

d )1ln(x x .

解:(1)

)d sin sin (2d cos 2cos d sin 0

20

2

2

x x x

x x x x x

x x x x ???

-+=+-=π

ππ

ππ

π

4cos 22

02-=+=πππx .

(2)

=--=+-=----??1

01

1

1

0e e 1d e e

d e x x x x

x x x x e

21-. (3)=--=-=??)1e (e d ln d ln e 1e

1e 1x x

x x x x x 1.

(4)

=--=-=-=?

?

)12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41

41

4

141

x x x

x

x x x x

x 42ln 8-.

(5)???+-=+-=

102

2

210231031

02

)d(16112d 131arctan 3d arctan x x x x x x x x x x x π ])d(111

[6

112)d(161121

0221

210222?

?++--=+-=x x

x x x x ππ

=+--=

])1ln(1[6112102x π

)2ln 1(6

1

12--π. (6)

?

?

--=210

2

2/10

210

d 1arcsin d arcsin x x x x

x x x =

-+=

2/10

2

112

x π

12

3

12

-+

π

. (7)因为

x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/0

2

/0

2/0

??

-=πππ

x x x x x x x

x d cos e 1e d cos e cos e e 2

/0

22

/0

2

/0

2?

?

--=-+=ππ

πππ

有=?

x x x

d cos

e 2

2/0

π1e 2-π

,所以=?

x x x

d cos

e 2/0

π)1e (2

1

2-π

(8)

?

?

?

+-=+-+=+40

40

4

40

d )

1(23ln 4d )

1(2)1ln(d )1ln(x x x x x x x x x x x

对积分

?

+40

d )

1(2x x x ,令t x =,则2t x =,t t x d 2d =,于是

3ln )]1ln(2[)d 111(d 1d )1(22

02202

024

0=++-=++-=+=+???t t t t t t t t t x x x

, 所以,

=-=+?

3ln 3ln 4d )1ln(40

x x 3ln 3.

4.试选择简便的方法计算下列定积分:

(1) x x

x d sin 147

?-+π

π; (2) x x x x d )e e (1

1

3--+?

(3)

x x x d 111

2

?

-+; (4)x x x d cos sin 2/52

/343?

ππ.

解:(1)因为x x x f 47sin 1)(+=是奇函数,所以=+?-x x

x d sin 147

ππ0. (2)设)e

e ()(3x x x x

f -+=,)()e e ()(3x f x x f x x -=+-=--,于是)(x f 是奇函数, 所以=+--?x x x x d )e e (1

130.

(3)因为21)(x x

x f +=是偶函数,所以

=+=+=+?

?-1021021

1212d 12d 1x x x x x x x )12(2-. (4)因为x x x f 43cos sin )(=是π2为周期的奇函数,所以

==??

-x x x x x x d cos sin d cos sin 2/2/432/52/343ππππ0. 5.若函数)(x f 连续,证明下列定积分等式: (1)??

-=a a x x a f x x f 00d )(d )(; (2)??=202

0d )(cos d )(sin π

πx x f x x f .

(3)

??-=-1010d )1(d )1(x x x x x x m n n m ; (4)??+=+x x x x x x /112121d 1d )0(>x .

证明:(1)令t a x -=,则

????-=-=--=a a

a a

x x a f t t a f t t a f x x f 0000d )(d )()d )((d )(. (2)令t x -=

2π,则 ????

==--=20200220d )(cos d )(cos )dt )](2[sin(d )(sin πππππx x f t t f t f x x f . (3)令t x -=1,则 ????-=-=--=-1

010011

0d )1(d )1()d ()1(d )1(x x x t t t t t t x x x m n m n n m n m . (4)令t x 1=,则

????+=+=+-=+x x x x x x t x t t t x x /112/1121/122

121d 1d )/1(1/d 1d .

习题5—3(B)

1.计算下列定积分:

(1)?-2

ln 22ln 1e d x x ; (2))0(d 2202>-?a x x ax x a

(3)x x f d )1(20?-, 其中?????≥+<+=.0110e 11

)(x x

x x f x ,,, (4)?''102d )2(x x f x , 其中?=='=201d )(0)2(2

1)2(x x f f f ,,. 解:(1)令t x =-1e ,则)1ln(2t x +=,21d 2d t

t t x +=,于是 6)43(2a r c t a n 2d 121e d 313

122

ln 22ln πππ=-==+=-??t t t

x x . (2)令t a a x sin =-,则t t a x d cos d =,于是 x a x a x x x ax x a a

d )(d 22022202?

?--=- ?-+=2

223d cos )sin 1(π

π

t t t a =??==?2212d cos 23

2023ππa t t a π23a . 或:令t a x =-,则t x d d =,于是 ??

?--+=--=-a a a a

t t a t a x a x a x x x ax x d )(d )(d 2222022202 =?=-=?2

02242d 2a a t t a a a ππ23a . (3)令t x =-1,则

t t f t t f t t f x x f d )(d )(d )(d )1(1001112

????+==--- 10011001)1ln(d )e 1e 1(1d e 1d t t t t t t t

t

+++-=+++=???-- =+++-=++-=--2ln )e 1ln(2ln 12ln )e 1ln(110

1t )e 1ln(+.

(4)??'-'=''10102102d )2()2(2

1d )2(x x f x x f x x x f x ?+-'=10

10d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ?+-=10d )2(2141x x f .

对积分

?

10

d )2(x x f ,令t x =2,则2

1

d )(21d )2(201

==

??t t f x x f ,所以 02

12141d )2(1

2

=?+-=''?x x f x . 2.设x x I n

n d tan 40

?

=

π

,证明21

1

---=n n I n I .并计算?404d tan π

x x .

证明:240

22

40

2

4

tan d tan d )1(sec tan

d tan ----=-==

?

?

?

n n n n

n I x x x x x x x I π

ππ

224

/0

11

1

1

tan -----=

--=

n n n I n I n x π. =-=+-=-=??32d 13131d tan 4002404

π

π

x I I x x 3

24-π. 3.证明??+=+202

0d sin cos sin d sin cos cos π

πx x

x x x x x x ,并由此计算该积分值. 证明:记=

1I ?

+2

d sin cos sin π

x x

x x

,=

2I ?

+20

d sin cos cos π

x x

x x

令t x -=2π

,则=

-+=+??02

20)d (cos sin cos d sin cos sin ππ

t t t t x x x x ?

+2

d sin cos cos π

x x

x x

.

=?=++=+==+??221d sin cos cos sin 21)(21d sin cos sin 2021120ππ

πx x x x x I I I x x x x 4

π. 4.若函数)(x f 连续,设?

+=

21

d )ln ()(t x t f x F ,求)(x F '.

解:(方法1)令u x t =+ln ,则?

?

++=+=x x

u u f t x t f x F ln 2ln 121

d )(d )ln ()(,所以

=

?+-?

+='x x f x x f x F 1)ln 1(1)ln 2()(x

x f x f )

ln 1()ln 2(+-+. (方法2)设)(x f 的原函数为)(x G (连续函数一定有原函数),则 2

121

21

)ln ()ln d()ln (d )ln ()(x t G x t x t f t x t f x F +=++=+=

?

?

)ln 1()ln 2(x G x G +-+=, 所以,=?+'-?

+'='x x G x x G x F 1)ln 1(1)ln 2()(x

x f x f )ln 1()ln 2(+-+. 5.若函数)(x f 连续,证明下列定积分等式:

(1)

??=πππ00d )(sin 2d )(sin x x f x x xf ; (2)

??-+-=10d ])([()(d )(x x a b a f a b x x f b a ; (3)??-+=a

a

x x a f x f x x f 020d )]2()([d )(. 证明:(1)令t x -=π,则

???-=---=πππ

πππ000d )(sin )()d )]([sin()(d )(sin t t f t t t f t x x xf

????-=-=π

πππ

ππ0000d )(sin d )(sin d )(sin d )(sin x x xf x x f t t tf t t f , 于是,??=πππ00d )(sin d )(sin 2

x x f x x xf , 所以,?π

0d )(sin x x xf ?=π

π0

d )(sin 2x x f . (2)令t a b a x )(-+=,则

???-+-=--+=1

010d ])([()(d )]()([(d )(x x a b a f a b t a b t a b a f x x f b

a . (3)???+=a a a a

x x f x x f x x f 0220d )(d )(d )(,

在右式第二个积分中,令t a x -=2,则

????

-=-=--=a a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0002d )2(d )2()d )(2(d )(,所以 ?????-+=+=a a a a a a

x x a f x x f x x f x x f x x f 000

220d )2(d )(d )(d )(d )( ?-+=a

x x a f x f 0d )]2()([.

6.设函数)(x f 在区间],[ππ-上连续,且满足?-++=ππ

x x x f x x x f d sin )(cos 1)(2,求)(x f .

解:记I x x x f =?-ππd sin )(,则I x

x x f ++=

2cos 1)(,此等式两边同时乘x sin ,然后再区间],[ππ-上求积分,有???---++=ππ

ππππx x I x x x x x x x f d sin d cos 1sin d sin )(2,即 ???+=+=?++=--πππππ0222d cos 1sin 2d cos 1sin 0d cos 1sin x x x x x x x x I x x

x x I ??-=+-=+=ππππππ00202)a r c t a n (c o s c o s 1os d d cos 1sin x x x c x x x 2)44(2ππππ=----=,

所以,2

cos 1)(2

2

π++=x x x f . 习题5—4(A)

1.下列叙述是否正确?并按照你的判断说明理由:

(1)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的; (2)积分?

+∞-∞

x x f d )(收敛,是指?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 都收敛,若?

+∞-∞

x x f d )(发散,

?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 都发散;

(3) 无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),在它们收敛时,要计算其值,一般可以利用推广的牛顿—莱布尼兹公式,而不必再利用定义转化为求定积分的极限. 答:(1)正确.参见定义4.1及定义4.2.

(2)前者正确.参见教材260P 第8至12行,(注意积分限中的“0”可以是某一个实数c );后者不正确.若?

+∞-∞

x x f d )(发散,则两个积分?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 中可能只有一个

发散,如

x x

d e ?

+∞

-;也可以两个都发散如x x x

d 12

?

+∞

∞-+.

(3)正确.参见教材260P 第13至17行及262P 第1至7行. 2.先判断下列广反常积分是否收敛,然后对于收敛的积分再计算其值:

(1)

?

+∞1

3d x x

; (2)?+∞+01

d x x ; (3)

x ax

d e

?

+∞-(0>a )

; (4)?-∞+0

2

1d x x

x ;

(5)

?+∞

-∞++3

2d 2x x x

; (6)?+∞121d e x x x

; (7)?-∞

d e x x x

; (8)?-+011d x x ;

(9)

?

-10

2

1d x

x x ; (10)

?

-10

1d x

x ;

(11)

?-2

02)1(d x x

; (12)??e 1ln d x x x .

解:(1)

21

)2121(lim ]21[lim d lim d 2

1

2131

3=-=-==+∞→+∞→+∞→+∞??

b x x x x x b b b b b ,

所以,此无穷积分收敛,且积分值为

2

1

. (2)

+∞=-+=+=+=++∞

→+∞

→+∞

→+∞?

?

)11(lim 2]12[lim 1

d lim

1

d 0

00

b x x x x x b b b b b ,

所以,此无穷积分发散.

(3)

a

a a x x ab

b b ax b b ax b ax 1)e 1(lim 1]e [lim 1d e lim d e 000=-=-==-∞→-∞→-∞→+∞

-??, 所以,此无穷积分收敛,且积分值为a

1

(4)-∞=+-=+=+=+-∞→-∞→-∞→-∞??)1ln(lim 2

1)]1[ln(lim 211d lim 1d 2

020202a x x x x x x x a a

a a a , 所以,此无穷积分发散. (5)因为

2

22

1

arctan

212)1()1d(32d 1

1212π

=

+=+++=++-∞

---∞--∞

??

x x x x x x ,

2

22

1

arctan

2132d 1

1

=

+=++∞

+-+∞-?

x x x x ,

以上两个积分都收敛,所以

?

+∞-∞

++3

2d 2

x x x

收敛,且 ?

+∞-∞

++32d 2x x x +++=?--∞123

2d x x x ?

+∞-++1

2

32d x x x

2

2222πππ=+=. (6)

1e e )1d(e d e 1

1

111

21

-=-=-=∞++∞+∞??

x x

x

x x

x ,

所以,此无穷积分收敛,且积分值为1e -. (7)

11e 1

lim

e e lim

d e e

d e 00

-=-=--=-=--∞→∞

---∞

→-∞

--∞

??

x

x x

x

x x x x

x x x x x ,

所以,此无穷积分收敛,且积分值为1-. (8)因为∞=++

-→x x 11

lim 1,所以下限1-=x 是瑕点.

+∞=+-=+=+=++++-→-→-→-??)1ln(lim )]1[ln(lim 1d lim 1d 1

10101a x x x x x a a a a a , 所以,此瑕积分发散.

(9)因为∞=--

→2

1

1lim x

x x ,所以上限1=x 是瑕点. 11lim 1]1[lim 1d lim 1d 2

1

021

2

1

10

2

=--=--=-=--

--→→→?

?

b x x x x x x x b b b b b , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为1.

(10)因为∞=--→x x 11lim 1

,所以上限1=x 是瑕点. 21lim 22]1[lim 21d lim 1d 1

01011

0=--=--=-=----→→→??b x x x x x

b b b b b , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为2.

(11)因为∞=-→2

1)1(1lim x x ,所以1=x 是瑕点. 此积分分为?-102

)1(d x x 与?-212)1(d x x 讨论, 因为∞=--=-=---=--→??111lim 11)1()d(1)1(d 11

0102102x

x x x x x x , 所以,瑕积分?-1

02)1(d x x 发散,从而瑕积分?-202)1(d x x 也发散. (12)因为∞=?+→x x x ln 1lim 1

,所以下限1=x 是瑕点. 2ln 2lim 2ln 2ln dln ln d 1

e

1e 1e

1=-===?+→??x x x x x x x x , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为2.

习题5—4(B)

1.有一个长为l 的细杆AB 均匀带电,总电量为q ,若在杆的延长线上距点A 为0x 处有一个单位正电荷,现将单位正电荷从0x 处沿杆的延长线方向移动到无穷远处,试求克服电场引力所做的功W .

解:如图取坐标,A 点为原点,

设单位正电荷位于x 处时,受细杆产生的电场力为)(x F ,则

)11(1d )(/)(002x l x l kq t x l kq t t x l kq x F l l --=-=-=?

(其中k 是引力系数). l

x x l kq x l x l kq x x l x l kq x x F W x x x -=-=--==∞++∞+∞

??00ln ln d )11(d )(000. 2.下列反常积分是否收敛?

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