高等数学李伟版课后习题答案第五章

习题5—1(A)

1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：

（1）如果函数)(x f 仅在区间],[b a 上有界，它在],[b a 上未必可积，要使其可积，它在

],[b a 上必须连续；

（2）如果积分?b

a x x f d )(（

b a <）存在，那么n

a b i n a b a f x x f n i n b a --+=∑?=∞→)(lim d )(1； （3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；

（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”)(ξf 还是被积函数在积分区间上的平均值.

答：（1）前者正确．如狄利克雷函数???∈∈=c Q

x Q x x D ，，，01)(在区间][b a ，（其中a b >）上有界，但是它在区间][b a ，上不可积，事实上：将][b a ，任意分成n 个小区间][1i i x x ，-

)21(n i ，，， =，

（其中b x a x n ==，0）记第i 个小区间长度为i x ?，先在][1i i x x ，-上取i ξ为有理数，则a b x x D n i i n i i i -=?=?∑∑=→=→0

000lim )(lim λλξ，再在][1i i x x ，-上取i ξ为无理数，则00lim )(lim 0000=??=?∑∑=→=→n

i i n i i i

x x D λλξ，对于i ξ的不同取法黎曼和的极限不同，所以)(x D 在区间][b a ，上不可积；后者不正确，参见定理1.2．

（2）正确．事实上：由于)(x f 在区间][b a ，上可积，则对][b a ，的任意分法，i ξ的任意取法，都有i n

i i b

a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλ，现在对][

b a ，区间n 等分，i ξ去在小区间的右分点，则i n a b a i -+=ξ，n

a b x i -=?，并且0→λ等价于∞→n ，所以 i n i i b

a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλn

a b i n a b a f n i n --+=∑=∞→)(lim 1． （3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．

（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用))((d )(a b f x x f b

a -=?ξ；也可以用来表示连

续函数在区间][b a ，上的平均值a b -1

)(d )(?=b

a f x x f ξ，但是由于ξ位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算?-

b a

x x f a b d )(1. 2．自由落体下落的速度gt v =，用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程=s ?b

a t t v d )(，所以?=100d t gt s ．

3．一物体在力)(x F F =作用下，沿x 轴从a x =点移动到b x =点，用定积分表示力)(x F 所做的功W .

解：将位移区间][b a ，任意分成n 个小区间][1i i x x ，-)21(n i ，，， =，（其中b x a x n ==，0）记第i 个小区间长度为i x ?，在][1i i x x ，-上任取一点i ξ，用)(i F ξ近似代替物体从1-=i x x 移动到i x x =时所受的力，则物体从1-=i x x 移动到i x x =时所做的功近似为i i i x F W ?≈?)(ξ，于是∑∑==?≈?=

n i i i n i i x F W W 11)(ξ，记}21m a x {n i x i ，，， =?=λ，

则?∑=→=?=b a n i i

i x x F x F W d )()(lim 10ξλ（假定极限∑=→?n

i i i x F 10)(lim ξλ存在）. 4．用定积分的几何意义求下列积分值：

（1）x x a a

a d 22?--； （2）?-21

d x x .

解：（1）如图，上半圆的面积2/2πa A =， 根据定积分几何意义

A x x a a a =-?-d 22， 所以，=-?-x x a a

a d 222/2πa ．

（2）如图，面积22/41==A ，2/12=A ，

根据定积分几何意义

2/3d 2121=-=?-A A x x ， 所以，=?-2

1d x x 2/3．

5．若函数)(x f y =在区间],[a a -上连续，用定积分的几何意义说明：

（1） 当)(x f 为奇函数时，

0d )(=?-a a x x f ； （2） 当)(x f 为偶函数时，??=-a a

a x x f x x f 0d )(2d )(.

解：（1）如图1，当)(x f 是奇函数时，由对称性，面积21A A =，

根据定积分几何意义，

0d )(21=-=?-A A x x f a a

.

（2）如图2，当)(x f 是偶函数时，由对称性，面积21A A =，

根据定积分几何意义，

??

==+=-a

a a

x x f A A A x x f 0

121d )(22d )(.

6．比较下列各组定积分的大小：

（1）x x I d 10

21?

=

与x x I d 10

32?=； （2）x x I d 21

1?

=与x x I d 21

3

2?

=；

（3）x x I d sin 2

1?

=π与x x I d sin 20

31?=π；（4）x x I d ln 53

1?=与x x I d )(ln 2

5

3

2?=.

解：（1）因为在区间]10[，

上3

2

x x ≥，所以≥

?

x x d 10

2x x d 10

3?

，即21I I ≥．

（2）因为在区间]21[，上3x x ≥，所以

≥?

x x d 2

1

x x d 213

?

，即21I I ≥．

（3）因为在区间]2/0[π，上x x 3

sin sin ≥，所以

≥

?

x x d sin 2

π

x x d sin 20

3?

π

，即21I I ≥．

（4）因为在区间]53[，

上2

)(ln ln x x ≤，所以≤

?

x x d ln 5

3

x x d )(ln 253

?

，即21I I ≤．

7．估计下列定积分的值：

（1）?+=π20d )sin 2(x x I ； （2）?=1

d arctan x x I ；

（3）?

+=

21

2d 1x x

x I ； （4）?+-=202

)d 32(x x x I . 解：（1）设x x f sin 2)(+=，在区间]20[π，上显然有3)(1≤≤x f ，又，1)2/3(=πf 3)2/(=πf ，于是函数)(x f 在区间]20[π，上的最小值为1=m ，最大值3=M ，而区

间长度π2=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b a

-≤≤

-?

，得ππ62≤≤I ．

（2）设x x f arctan )(=，由于函数)(x f 在区间]10[，

上单调增加，于是)(x f 在区间

]10[，上的最小值为0)0(==f m ，最大值4/)1(π==f M ，而区间长度1=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b

a -≤≤-?，得4/0π≤≤I ．

（3）设21)(x x x f +=，则222

)

1(1)(x x x f +-='，在区间]21[，上0)(≤'x f ，于是函数)(x f 在区间]21[，上单调减少，所以)(x f 在区间]21[，上的最小值为2/5)2(==f m ，最大值2/1)1(==f M ，而区间长度1=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b a -≤≤

-?，

得2/15/2≤≤I ．

（4）设32)(2+-=x x x f ，则22)(-='x x f ，有0)(='x f ，在区间)20(，内得驻点1=x ，又3)2(2)1(3)0(===f f f ，，，所以函数)(x f 在区间]20[，上的最小值为2)1(==f m ，最大值3)2()0(===f f M ，而区间长度2=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b

a -≤≤-?，得64≤≤I ． 8．证明下列不等式：

（1）x x x x d cos d sin 4040??≤π

π； （2）x x x x d )1(d e 1

010??+≥. 证明：（1）在区间]4/0[π，上显然有x x cos sin ≤，所以

x x x x d cos d sin 4040??≤π

π. （2）设x x f x --=1e )(，在区间]10[，

上，01e )(≥-='x x f ，于是函数)(x f 在区间]10[，上单调增加，从而0)0()(=≥f x f ，即在区间]10[，上x x +≥1e ，所以x x x x d )1(d e 1

01

0??+≥. 习题5—1(B)

1．右图给出了做直线运动的某质点在0到9s 内的

速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.

解：质点在0到9s 内所走的有效路程为阴影面积的

代数和，即2810d )(9

0=-=?t t v （单位）

； 质点在0到9s 内所实际走的路程为阴影面积的

和，即18810d )(9

0=+=?t t v （单位）

2．用定积分中值定理求下列极限：

（1）x x x x n n

n d 2lim 8

2?+∞→； （2）x x

x n n n d 1arctan lim 1?+∞→． 解：（1）由定积分中值定理，n

n n n n n n

x x x x ξξξ+=+?26d 282（其中82≤≤n ξ），于是 3/126lim 26lim d 2lim 1

8

2=+=+=+-∞→∞→∞→?n n n n n n n n n n n n x x x x ξξξξ． （2）由定积分中值定理，n

n n n x x x ξξ1arctan d 1arctan 1

=?+（其中1+≤≤n n n ξ）， 由1+≤≤n n n ξ，有∞→n 等价于+∞→n ξ，于是

11lim 1arctan lim d 1arctan lim 1=?==+∞→+∞→+∞→?n

n n n n n n n n x x x ξξξξξξ． 3．若函数)()(x g x f ，在区间][b a ，（b a <）上连续，)()(x g x f ≤，且)(x f 不恒等于)(x g ，

证明??

a b

a x x g x x f d )(d )(． 证明：设)()()(x f x g x F -=，由题目条件知，在区间][

b a ，

上函数)(x F 连续且0)(≥x F 又不恒等于零，于是有∈0x ][b a ，

，使得0)(0>=ηx F ，由连续函数的性质，0>?δ，在区间][][00b a x x ，， δδ+-内恒有2/)(η>x F ，设区间][][00b a x x ，， δδ+- ][21c c ，=（12c c >），所以02/)(/2d d )(d )(1221

21>-=≥≥???c c x x x F x x F c c c c b a ηη，即0]d )()([>-?b a x x f x g ，再由定积分的线性性，得??

a b a x x g x x f d )(d )(．

4．证明下列不等式：

（1）4/1022e 2d e e 22---≤≤

-?x x x ； （2）2

11d 22110<+

点2/1=x ，又24

/1e )2(e )2/1(1

)0(===-f f f ，，，于是函数)(x f 在区间]20[，的最

小值为4

/1e

-=m ，最大值为2

e =M ，从而≤

-4

/1e

2220

e 2d e 2

≤?

-x x

x

，

因为=?-0

2

d e 2

x x

x

?--2

d e 2

x x

x

，所以4/10

2

2e 2d e e 22

---≤≤-?x x

x

．

（2）在区间]10[，

上显然有x x

x x n

≤+≤

12

，且等号不恒成立，而函数

n

x

x x +12

、

、

x 都连续，根据本节习题（B ）3，有??

?

<+<1

10

10

d 1d d 2

x x x

x x x x n

，而由定积分的几何

意义得

21

d 10

=

?

x x ，2

21d 2

1d 210

10=

=?

?x x x x ，所以

2

1

1d 2

2110

<

+

n

x x x ． 习题5—2(A)

1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：

（1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的； （2）若()f x 连续、)(x ?可导，

则?

=)

(0

d )()(x t t f x F ?的导数等于被积函数在上限处的值；

（3）在()f x 连续、)(x ?及)(x ψ可导时，通过将?=

)

()

(d )()(x x t t f x F ?ψ

化成两个变上限定

积分，可求得()(())()(())()'''=-F x f x x f x x ??ψψ；

（4）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量．

答：（1）正确．定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时．

（2）不正确．应该是)()]([)(x x f x F ??'='，即被积函数在上限处的值与上限处函数)(x ?的导数之积．

（3）正确．将函数)(x F 改写为?

?

-=)

()

(d )(d )()(x a

x a

x x f x x f x F ψ?，再根据（2）求导．

（4）正确．这就是牛顿—莱布尼兹公式

)()(d )(a F b F x x f b a

-=?

（其中)(x F 是)(x f 在

区间][b a ，上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性，对分段函数（或分区间连续函数）要分区间求． 2．计算下列定积分：

（1）x x x d )123(10

24?

-+； （2）x a x a x a

d ))((0

?+-；

（3）

x x x d )1

1(94+?

； （4）x x d 1123?--+；

（5）

x x x d 121

3

4?

-； （6）?+33/121d x x

； （7）x x x d 311

02

?+-； （8）?-21

021d x x ； （9）

x x d )sin 21(0

?

-π； （10）x x d tan 3

2?

π

（11）

?

-40

sin 1d π

x

x

； （12）x x d cos 0?π；

（13）

x x x d 1220

2

?+-； （14）x x f d )(20

?

，其中?

?

?≥<=.11e )(x x x x f x ，，

， 解：（1）

15

4]3253[d )123(1

03410

24=-+=-+?x x x x x x ． （2）=-=-=

-=+-??3

33

3

02

2

033

d )(d ))((a a a x x a x x a x a x a

a

a

3

22a -．

（3）

=-=+=+=+??

32824]232[d )1(d )11(94

2/39494

x x x x

x x x x 344

． （4）

=-=+=+----?2ln 01ln d 11

23

2

3x

x x 2ln -．

（5）

=-=+=-=-??

1817]212[d )1(d 1212221321

34x x x x x x x x 8

9． （6）

=-==+?

63arctan 1d 3

3/133/12ππx x x 6

π． （7）

=+-=+-=+-?3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 311031

02

πx x x x x 43ln 213

6+π． （8）

=

-==-?

06

arcsin 1d 2

/10

21

2

π

x x x 6

π

． （9）

=--+=+=-?

)11(2cos 2d )sin 21(00

ππππx x x 4-π．

（10）

=

-

-=-=-=?

?3

033

tan d )1(sec d tan 3

/0

30

230

2

π

π

ππ

π

x x x x x 3

3π

-

．

（11）=-+=+=+=-??121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4

/040240ππ

πx x x

x x x x 2． （12）

=---=-=-=???

)10(01sin sin d cos d cos d cos 2/2/02

20

0π

πππ

ππ

π

x x x x x x x x 2．

（13）

x x x x x x x x x d )(d )1(d 1d 122

1

1

2

20

2????

--+-=-=+-

=+=

-+--=2

1

21)1(2

1

)1(2

1

21

210

2

x x 1． （14）

=-

+-=+=+=???

2121e 2

e

d d

e d )(21

2

10

2

1

1

20

x x x x x x f x x

2

1e +． 3．求下列函数)(x y y =的导数x

y

d d ： （1）?-=x t t y 0

d e 2

； （2）?

=1

d sin x t t

t

y ； （3）?

=x

t t y 0

2

d sin ； （4）?=x

x

t x y e 2d ln .

解：（1）

=x y

d d 2

e x -． （2）=x y d d x

x sin -

． （3）

=?=x x x y 21)sin(d d 2x

x 2sin ． （4）

='?-'?=)()ln()e ()e ln(d d 22x x x

y

x x )ln 2e (2x x x -． 4．求下列极限：

（1）x

t

x t x ln d e lim

1

1

2

?

→； （2）3

20

d sin lim

x t t x x ?

→；

（3）x

x t t x x 50

2

sin d cos lim

?-→； （4）?

?

→2

2

02

d cos )d sin (lim

x x

x t

t t t

t

.

解：（1）===→→→?2

2

2

e lim /1e lim ln d e lim

111

1

x x x x x

t x x x x t

e ． （2）==→→?2203

20

3sin lim d sin lim

x x x t t x x x 3

1． （3）=-=-=-=-→→→→??4404205

20

50

20

52/lim 51cos lim d cos lim

sin d cos lim

x x x x x x t t x

x t t x x x x x x 10

1

-．

（4）===?=→→→→????1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x

x 1． 习题5—2(B)

1． 求变力2)(t t t F -=沿数轴从点1=t 到点2=t 所做的功.

解：根据习题5-1（A ）3，

x t t t t F W d )(d )(212

21??-==3324313238324]332[2132/3-=+--=-=t t ． 2．设函数)(x y y =由方程

0d 1d 1202202=-++??x y t t t t ，求x y d d . 解：方程0d 1d 1202202=-++?

?x y t t t t 两边同时对x 求导，有 012d d 41242=-++x x x y y ，解得24411d d y

x x x y +--=． 3．若函数)(x f 连续，设?=

x t t xf y 1d )(，求

x y d d . 解：?=x

t t f x y 1d )(，根据乘积求导法则，x y d d )(d )(1x xf t t f x +=?． 4．证明：当0=x 时，函数t t x I x

t d e )(02?-=取得最小值.

证明：函数)(x I 在)(∞+-∞，内有定义，2e )(x x x I -='，由0)(='x I 得唯一驻点0=x ，

又22e 2e )(2x x x x I ---=''，01)0(>=''I ，于是0=x 是函数t t x I x t d e )(02

?-=的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当0=x 时，函数t t x I x

t d e )(02

?-=取得最小值. 5．若函数)(x f 在区间][b a ，

上连续，在)(b a ，内可导，且0)(<'x f ，设 ?-=

x a t t f a

x x F d )(1)(， 证明：在区间)(b a ，内0)(≤'x F . 证明：2)(d )())(()(a x t t f a x x f x F x

a ---='?．

（方法1）由定积分中值定理，a x f x f a x a x f a x x f x F --=----=')()()

())(())(()(2ξξ （其中x a ≤≤ξ），由0)(<'x f ，有函数)(x f 单调减少，而x ≤ξ，得)()(ξf x f ≤，

所以在区间)(b a ，

内证明0)(≤'x F . （方法2）因为

))((d )(a x x f t x f x a

-=?

，所以

2

2

)

(d )]()([)

(d )(d )()(a x t t f x f a x t

t f t x f x F x a

x

a

x a

--=

--=

'?

??

（t x ≥），

由0)(<'x f ，有函数)(x f 单调减少，而t x ≥，于是0)()(≤-t f x f ，得

0d )]()([≤-?

x a

t t f x f ，所以在区间)(b a ，

内证明0)(≤'x F . （方法3）设=)(x g ?

-

-x a

t t f a x x f d )())((，则0))(()(≤-'='a x x f x g ，

于是函数)(x g 在区间][b a ，

上单调减少，0)()(=≤a g x g ，所以0)(≤'x F . 6．若函数)(x f 可导，且0)0(=f ，2)0(='f ，求极限2

d )(lim

x t t f x x ?→.

解：='=-==→→→?)0(21

)0()(lim 212)(lim

d )(lim

0020

0f x f x f x x f x

t

t f x x x x 1． （注：由于)(x f '未必连续，因此极限x

x f x 2)

(lim 0→不能再用洛必达法则）

7．设函数)(x f 在闭区间]10[，

连续，且1)(

=?

x t t f 在开区间

)10(，有且仅有一个实根.

证明：设-

=x x F 2)(1d )(0

-?

x t t f ，根据已知，函数)(x F 在闭区间]10[，

连续，又 01)0(<-=F ，-

=1)1(F ?

10

d )(t t f ，由于连续函数1)(

从而0)1(>F ，由零点定理得方程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(，至少有一个实根.

而0)(2)(>-='x f x F ，)(x F 单调增加，于是方程0)(=x F 至多有一个实根，即方 程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(，至多有一个实根.

综上，证明方程-

x 21d )(0

=?

x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根.

8．若函数???≤≤-=其它，，

，

，010)(6)(2x x x x f 求函数?

=

Φx t t f x 0

d )()(在),(+∞-∞内的表达式．

解：当0

===

Φ??

x

x t t t f x ；

当10<≤x 时，320320

20

23]23[d )66(d )()(x x t t t t t t t f x x

x

x -=-=-==

Φ??

；

当1≥x 时，10]23[d 0d )66(d )()(103211020=+-=+-==Φ???t t t t t t t t f x x

x

， 所以，??

???≥<≤-<=Φ.11102300)(32x x x x x x ，，，，，

习题5—3(A)

1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：

（1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数()x t ?=在以βα、为端点的区间上有连续的导数，以保证[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上可积；

（2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限；

（3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的；

（4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的.

答：（1）正确．此时[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上是连续的，因此它可积.

（2）不正确．如t x cos =，则

t t x x d sin d 102/2102??-=-π，其中下限大，上限小；对积分?b

a x x f d )(作换元)(t x ?=，原积分下限a x =对应的t 值在换元后积分的下限上，原

积分上限b x =对应的t 值在换元后积分的上限上.

（3）正确.

（4）正确．但是还需注意函数是可积的．

2．计算下列定积分：

（1）x x x d 19

1?+； （2）?

-++01311d x x ； （3）x x x d 4511?

--； （4）x x x d 12103-?； （5）?

+31221d x x x ； （6）?-12122d 1x x x ； （7）?-2

122d 1x x x ； （8）?-324)28(d x x ；

（9）?+3

02d 1x x x ； （10）x x x d sin cos 04?π

（11）x x d )sin 1(03?+π

； （12）x x x d e 102

?； （13）x x x d ln 1e 1?+； （14）x x x d 1sin /3/22

?ππ；

（15）?-++212102d x x x ； （16）x x x d sin sin 03?-π. 解：（1）令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是

t t t t t t x x x d )111(2d 12d 1313

129

1???++-=+=+=++-=31312

)1ln(24t t 2ln 24+． （2）令t x =+31，则13-=t x ，t t x d 3d 2=，于是

=++-=++-=+=++--???012101

02013)]1ln(3323[)d 111(31d 311d t t t t t t t t t x x 232ln 3-． （3）令t x =-45，则4/)5(2t x -=，2/d d t t x -=，于是

=---=--=-??-)310(81d 8)5(d 451

331321

1t x t t t x x x 6

1． （4）令t x sin =，则t t x d cos d =，于是

t t t t t t x x x cos d )cos (cos d cos sin d 12204202321

03-==-???ππ

15

25131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t ． （5）令t x tan =，则t t x d sec d 2

=，于是 =-===+???3/4/3/4/23/4/223

122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t x x x 3

322-． （6）令t x sin =，则t t x d cos d =，于是

=--=-==-???4cot d )1(csc d cot d 12

/4/2/4/22/4/21

21

22π

ππππππt t t t t x x x 4

1π-． （7）令t x sec =，则t t t x d sec tan d =，于是

???-==-3/03/022

122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x x x

3

/0

]sin sec tan [ln πt t t -+=2

3

)32ln(-+=． （8）

=-=

-=---=-??)64181(61)28(61

)28()2d(821)28(d 32

3

3243

24x x x x x 384

7

． （9）

=-=+=++=

+??)18(31)1(3

1)d(1121d 130

2

/3230223

02x x x x x x 3

7

． （10）===??πππ0504

04sin 5

1dsin sin d sin cos x x x x x x 0．

（11）

=-+=-+=+?

?

ππ

π

ππ0

30

2

3

]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 3

4

+π． （12）

=

==

??

1

2

1010222

e 2

1)d(e 21d e x x x x x x )1e (2

1

-． （13）

=+

=+=+=+??321)(ln 3

21dln ln ln d ln 1e 1

2

/3e 1

e 1e

1x x x x x x x 3

5． （14）

=-=

=-

=??

02

1

1cos )1d(1sin d 1

sin /3/2/3/2/3/22

π

π

π

ππ

πx

?x x x x x 21．

（15）

=-=+=+++=++---??)04(3131arctan 313)1()1d(102d 21

21222

12πx x x x x x 12

π

． （16）

x x x x x x x x x d cos sin d cos sin d sin sin 0

2

3

???

==-πππ

x x x x x x d cos sin d cos sin 2

/2/0

???-?=πππ x x x x dsin sin dsin sin 2

/2/0

?

?

?-?=πππ

=+=-=3232sin 32sin 322/2/32

/02/3πππx x 3

4． 3．计算下列定积分：

（1）

x x x d sin 02?π； （2）x x x d e 1

?-；

（3）

x x d ln e 1

?

； （4）?

41

d ln x x

x ；

（5）

?

10

2d arctan x x x ； （6）?21

d arcsin x x ；

（7）x x x

d cos

e 2/0?

π； （8）?+4

d )1ln(x x .

解：（1）

)d sin sin (2d cos 2cos d sin 0

20

2

2

x x x

x x x x x

x x x x ???

-+=+-=π

ππ

ππ

π

4cos 22

02-=+=πππx ．

（2）

=--=+-=----??1

01

1

1

0e e 1d e e

d e x x x x

x x x x e

21-． （3）=--=-=??)1e (e d ln d ln e 1e

1e 1x x

x x x x x 1．

（4）

=--=-=-=?

?

)12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41

41

4

141

x x x

x

x x x x

x 42ln 8-．

（5）???+-=+-=

102

2

210231031

02

)d(16112d 131arctan 3d arctan x x x x x x x x x x x π ])d(111

[6

112)d(161121

0221

210222?

?++--=+-=x x

x x x x ππ

=+--=

])1ln(1[6112102x π

)2ln 1(6

1

12--π． （6）

?

?

--=210

2

2/10

210

d 1arcsin d arcsin x x x x

x x x =

-+=

2/10

2

112

x π

12

3

12

-+

π

． （7）因为

x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/0

2

/0

2/0

??

-=πππ

x x x x x x x

x d cos e 1e d cos e cos e e 2

/0

22

/0

2

/0

2?

?

--=-+=ππ

πππ

，

有=?

x x x

d cos

e 2

2/0

π1e 2-π

，所以=?

x x x

d cos

e 2/0

π)1e (2

1

2-π

．

（8）

?

?

?

+-=+-+=+40

40

4

40

d )

1(23ln 4d )

1(2)1ln(d )1ln(x x x x x x x x x x x

对积分

?

+40

d )

1(2x x x ，令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是

3ln )]1ln(2[)d 111(d 1d )1(22

02202

024

0=++-=++-=+=+???t t t t t t t t t x x x

， 所以，

=-=+?

3ln 3ln 4d )1ln(40

x x 3ln 3．

4．试选择简便的方法计算下列定积分：

(1) x x

x d sin 147

?-+π

π； (2) x x x x d )e e (1

1

3--+?

；

(3)

x x x d 111

2

?

-+； （4）x x x d cos sin 2/52

/343?

ππ.

解：（1）因为x x x f 47sin 1)(+=是奇函数，所以=+?-x x

x d sin 147

ππ0． （2）设)e

e ()(3x x x x

f -+=，)()e e ()(3x f x x f x x -=+-=--，于是)(x f 是奇函数， 所以=+--?x x x x d )e e (1

130．

（3）因为21)(x x

x f +=是偶函数，所以

=+=+=+?

?-1021021

1212d 12d 1x x x x x x x )12(2-． （4）因为x x x f 43cos sin )(=是π2为周期的奇函数，所以

==??

-x x x x x x d cos sin d cos sin 2/2/432/52/343ππππ0． 5．若函数)(x f 连续，证明下列定积分等式： （1）??

-=a a x x a f x x f 00d )(d )(； （2）??=202

0d )(cos d )(sin π

πx x f x x f .

（3）

??-=-1010d )1(d )1(x x x x x x m n n m ； （4）??+=+x x x x x x /112121d 1d )0(>x .

证明：（1）令t a x -=，则

????-=-=--=a a

a a

x x a f t t a f t t a f x x f 0000d )(d )()d )((d )(． （2）令t x -=

2π，则 ????

==--=20200220d )(cos d )(cos )dt )](2[sin(d )(sin πππππx x f t t f t f x x f ． （3）令t x -=1，则 ????-=-=--=-1

010011

0d )1(d )1()d ()1(d )1(x x x t t t t t t x x x m n m n n m n m ． （4）令t x 1=，则

????+=+=+-=+x x x x x x t x t t t x x /112/1121/122

121d 1d )/1(1/d 1d ．

习题5—3(B)

1．计算下列定积分：

（1）?-2

ln 22ln 1e d x x ； （2）)0(d 2202>-?a x x ax x a

；

（3）x x f d )1(20?-， 其中?????≥+<+=.0110e 11

)(x x

x x f x ，，， （4）?''102d )2(x x f x ， 其中?=='=201d )(0)2(2

1)2(x x f f f ，，. 解：（1）令t x =-1e ，则)1ln(2t x +=，21d 2d t

t t x +=，于是 6)43(2a r c t a n 2d 121e d 313

122

ln 22ln πππ=-==+=-??t t t

x x . （2）令t a a x sin =-，则t t a x d cos d =，于是 x a x a x x x ax x a a

d )(d 22022202?

?--=- ?-+=2

223d cos )sin 1(π

π

t t t a =??==?2212d cos 23

2023ππa t t a π23a ． 或：令t a x =-，则t x d d =，于是 ??

?--+=--=-a a a a

t t a t a x a x a x x x ax x d )(d )(d 2222022202 =?=-=?2

02242d 2a a t t a a a ππ23a ． （3）令t x =-1，则

t t f t t f t t f x x f d )(d )(d )(d )1(1001112

????+==--- 10011001)1ln(d )e 1e 1(1d e 1d t t t t t t t

t

+++-=+++=???-- =+++-=++-=--2ln )e 1ln(2ln 12ln )e 1ln(110

1t )e 1ln(+．

（4）??'-'=''10102102d )2()2(2

1d )2(x x f x x f x x x f x ?+-'=10

10d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ?+-=10d )2(2141x x f ．

对积分

?

10

d )2(x x f ，令t x =2，则2

1

d )(21d )2(201

==

??t t f x x f ，所以 02

12141d )2(1

2

=?+-=''?x x f x ． 2．设x x I n

n d tan 40

?

=

π

，证明21

1

---=n n I n I ．并计算?404d tan π

x x .

证明：240

22

40

2

4

tan d tan d )1(sec tan

d tan ----=-==

?

?

?

n n n n

n I x x x x x x x I π

ππ

224

/0

11

1

1

tan -----=

--=

n n n I n I n x π. =-=+-=-=??32d 13131d tan 4002404

π

π

x I I x x 3

24-π． 3．证明??+=+202

0d sin cos sin d sin cos cos π

πx x

x x x x x x ，并由此计算该积分值. 证明：记=

1I ?

+2

d sin cos sin π

x x

x x

，=

2I ?

+20

d sin cos cos π

x x

x x

，

令t x -=2π

，则=

-+=+??02

20)d (cos sin cos d sin cos sin ππ

t t t t x x x x ?

+2

d sin cos cos π

x x

x x

.

=?=++=+==+??221d sin cos cos sin 21)(21d sin cos sin 2021120ππ

πx x x x x I I I x x x x 4

π． 4．若函数)(x f 连续，设?

+=

21

d )ln ()(t x t f x F ，求)(x F '.

解：（方法1）令u x t =+ln ，则?

?

++=+=x x

u u f t x t f x F ln 2ln 121

d )(d )ln ()(，所以

=

?+-?

+='x x f x x f x F 1)ln 1(1)ln 2()(x

x f x f )

ln 1()ln 2(+-+． （方法2）设)(x f 的原函数为)(x G （连续函数一定有原函数），则 2

121

21

)ln ()ln d()ln (d )ln ()(x t G x t x t f t x t f x F +=++=+=

?

?

)ln 1()ln 2(x G x G +-+=， 所以，=?+'-?

+'='x x G x x G x F 1)ln 1(1)ln 2()(x

x f x f )ln 1()ln 2(+-+． 5．若函数)(x f 连续，证明下列定积分等式：

（1）

??=πππ00d )(sin 2d )(sin x x f x x xf ； （2）

??-+-=10d ])([()(d )(x x a b a f a b x x f b a ； （3）??-+=a

a

x x a f x f x x f 020d )]2()([d )(. 证明：（1）令t x -=π，则

???-=---=πππ

πππ000d )(sin )()d )]([sin()(d )(sin t t f t t t f t x x xf

????-=-=π

πππ

ππ0000d )(sin d )(sin d )(sin d )(sin x x xf x x f t t tf t t f ， 于是，??=πππ00d )(sin d )(sin 2

x x f x x xf ， 所以，?π

0d )(sin x x xf ?=π

π0

d )(sin 2x x f ． （2）令t a b a x )(-+=，则

???-+-=--+=1

010d ])([()(d )]()([(d )(x x a b a f a b t a b t a b a f x x f b

a ． （3）???+=a a a a

x x f x x f x x f 0220d )(d )(d )(，

在右式第二个积分中，令t a x -=2，则

????

-=-=--=a a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0002d )2(d )2()d )(2(d )(，所以 ?????-+=+=a a a a a a

x x a f x x f x x f x x f x x f 000

220d )2(d )(d )(d )(d )( ?-+=a

x x a f x f 0d )]2()([．

6．设函数)(x f 在区间],[ππ-上连续，且满足?-++=ππ

x x x f x x x f d sin )(cos 1)(2，求)(x f .

解：记I x x x f =?-ππd sin )(，则I x

x x f ++=

2cos 1)(，此等式两边同时乘x sin ，然后再区间],[ππ-上求积分，有???---++=ππ

ππππx x I x x x x x x x f d sin d cos 1sin d sin )(2，即 ???+=+=?++=--πππππ0222d cos 1sin 2d cos 1sin 0d cos 1sin x x x x x x x x I x x

x x I ??-=+-=+=ππππππ00202)a r c t a n (c o s c o s 1os d d cos 1sin x x x c x x x 2)44(2ππππ=----=，

所以，2

cos 1)(2

2

π++=x x x f ． 习题5—4(A)

1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：

(1)无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的； （2）积分?

+∞-∞

x x f d )(收敛，是指?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 都收敛，若?

+∞-∞

x x f d )(发散，

则

?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 都发散；

(3) 无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），在它们收敛时，要计算其值，一般可以利用推广的牛顿—莱布尼兹公式，而不必再利用定义转化为求定积分的极限. 答：（1）正确．参见定义4.1及定义4.2.

（2）前者正确．参见教材260P 第8至12行，（注意积分限中的“0”可以是某一个实数c ）；后者不正确．若?

+∞-∞

x x f d )(发散，则两个积分?

-∞

0d )(x x f 与?

+∞0

d )(x x f 中可能只有一个

发散，如

x x

d e ?

+∞

∞

-；也可以两个都发散如x x x

d 12

?

+∞

∞-+．

（3）正确．参见教材260P 第13至17行及262P 第1至7行． 2．先判断下列广反常积分是否收敛，然后对于收敛的积分再计算其值：

（1）

?

+∞1

3d x x

； （2）?+∞+01

d x x ； （3）

x ax

d e

?

+∞-（0>a ）

； （4）?-∞+0

2

1d x x

x ；

（5）

?+∞

-∞++3

2d 2x x x

； （6）?+∞121d e x x x

； （7）?-∞

d e x x x

； （8）?-+011d x x ；

（9）

?

-10

2

1d x

x x ； （10）

?

-10

1d x

x ；

（11）

?-2

02)1(d x x

； （12）??e 1ln d x x x .

解：（1）

21

)2121(lim ]21[lim d lim d 2

1

2131

3=-=-==+∞→+∞→+∞→+∞??

b x x x x x b b b b b ，

所以，此无穷积分收敛，且积分值为

2

1

． （2）

+∞=-+=+=+=++∞

→+∞

→+∞

→+∞?

?

)11(lim 2]12[lim 1

d lim

1

d 0

00

b x x x x x b b b b b ，

所以，此无穷积分发散．

（3）

a

a a x x ab

b b ax b b ax b ax 1)e 1(lim 1]e [lim 1d e lim d e 000=-=-==-∞→-∞→-∞→+∞

-??， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为a

1

．

（4）-∞=+-=+=+=+-∞→-∞→-∞→-∞??)1ln(lim 2

1)]1[ln(lim 211d lim 1d 2

020202a x x x x x x x a a

a a a ， 所以，此无穷积分发散． （5）因为

2

22

1

arctan

212)1()1d(32d 1

1212π

=

+=+++=++-∞

---∞--∞

??

x x x x x x ，

2

22

1

arctan

2132d 1

1

2π

=

+=++∞

+-+∞-?

x x x x ，

以上两个积分都收敛，所以

?

+∞-∞

++3

2d 2

x x x

收敛，且 ?

+∞-∞

++32d 2x x x +++=?--∞123

2d x x x ?

+∞-++1

2

32d x x x

2

2222πππ=+=． （6）

1e e )1d(e d e 1

1

111

21

-=-=-=∞++∞+∞??

x x

x

x x

x ，

所以，此无穷积分收敛，且积分值为1e -． （7）

11e 1

lim

e e lim

d e e

d e 00

-=-=--=-=--∞→∞

---∞

→-∞

∞

--∞

??

x

x x

x

x x x x

x x x x x ，

所以，此无穷积分收敛，且积分值为1-． （8）因为∞=++

-→x x 11

lim 1，所以下限1-=x 是瑕点．

+∞=+-=+=+=++++-→-→-→-??)1ln(lim )]1[ln(lim 1d lim 1d 1

10101a x x x x x a a a a a ， 所以，此瑕积分发散．

（9）因为∞=--

→2

1

1lim x

x x ，所以上限1=x 是瑕点． 11lim 1]1[lim 1d lim 1d 2

1

021

2

1

10

2

=--=--=-=--

--→→→?

?

b x x x x x x x b b b b b ， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为1．

（10）因为∞=--→x x 11lim 1

，所以上限1=x 是瑕点． 21lim 22]1[lim 21d lim 1d 1

01011

0=--=--=-=----→→→??b x x x x x

b b b b b ， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为2．

（11）因为∞=-→2

1)1(1lim x x ，所以1=x 是瑕点． 此积分分为?-102

)1(d x x 与?-212)1(d x x 讨论， 因为∞=--=-=---=--→??111lim 11)1()d(1)1(d 11

0102102x

x x x x x x ， 所以，瑕积分?-1

02)1(d x x 发散，从而瑕积分?-202)1(d x x 也发散． （12）因为∞=?+→x x x ln 1lim 1

，所以下限1=x 是瑕点． 2ln 2lim 2ln 2ln dln ln d 1

e

1e 1e

1=-===?+→??x x x x x x x x ， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为2．

习题5—4(B)

1．有一个长为l 的细杆AB 均匀带电，总电量为q ，若在杆的延长线上距点A 为0x 处有一个单位正电荷，现将单位正电荷从0x 处沿杆的延长线方向移动到无穷远处，试求克服电场引力所做的功W .

解：如图取坐标，A 点为原点，

设单位正电荷位于x 处时，受细杆产生的电场力为)(x F ，则

)11(1d )(/)(002x l x l kq t x l kq t t x l kq x F l l --=-=-=?

（其中k 是引力系数）． l

x x l kq x l x l kq x x l x l kq x x F W x x x -=-=--==∞++∞+∞

??00ln ln d )11(d )(000． 2．下列反常积分是否收敛？

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