高等数学李伟版课后习题答案第五章
更新时间:2023-05-06 13:39:01 阅读量: 实用文档 文档下载
习题5—1(A)
1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:
(1)如果函数)(x f 仅在区间],[b a 上有界,它在],[b a 上未必可积,要使其可积,它在
],[b a 上必须连续;
(2)如果积分?b
a x x f d )((
b a <)存在,那么n
a b i n a b a f x x f n i n b a --+=∑?=∞→)(lim d )(1; (3)性质5也常称为积分不等式,利用它(包括推论)结合第三章的有关知识,可以估计积分的值、判定积分的符号,也可证明关于定积分的某些不等式;
(4)定积分的中值定理是一个非常重要的定理,利用它能去掉积分号,同时该“中值”)(ξf 还是被积函数在积分区间上的平均值.
答:(1)前者正确.如狄利克雷函数???∈∈=c Q
x Q x x D ,,,01)(在区间][b a ,(其中a b >)上有界,但是它在区间][b a ,上不可积,事实上:将][b a ,任意分成n 个小区间][1i i x x ,-
)21(n i ,,, =,
(其中b x a x n ==,0)记第i 个小区间长度为i x ?,先在][1i i x x ,-上取i ξ为有理数,则a b x x D n i i n i i i -=?=?∑∑=→=→0
000lim )(lim λλξ,再在][1i i x x ,-上取i ξ为无理数,则00lim )(lim 0000=??=?∑∑=→=→n
i i n i i i
x x D λλξ,对于i ξ的不同取法黎曼和的极限不同,所以)(x D 在区间][b a ,上不可积;后者不正确,参见定理1.2.
(2)正确.事实上:由于)(x f 在区间][b a ,上可积,则对][b a ,的任意分法,i ξ的任意取法,都有i n
i i b
a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλ,现在对][
b a ,区间n 等分,i ξ去在小区间的右分点,则i n a b a i -+=ξ,n
a b x i -=?,并且0→λ等价于∞→n ,所以 i n i i b
a x f x x f ?=∑?=→)(lim d )(10ξλn
a b i n a b a f n i n --+=∑=∞→)(lim 1. (3)正确.它是证明关于定积分不等式的基础,参见例题1.3、1.4、1.5等.
(4)正确.它可以起到去掉积分号的作用))((d )(a b f x x f b
a -=?ξ;也可以用来表示连
续函数在区间][b a ,上的平均值a b -1
)(d )(?=b
a f x x f ξ,但是由于ξ位置不好确定,一般不用它来计算平均值,而是直接计算?-
b a
x x f a b d )(1. 2.自由落体下落的速度gt v =,用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解:根据定积分引入的实例,变速直线运动的路程=s ?b
a t t v d )(,所以?=100d t gt s .
3.一物体在力)(x F F =作用下,沿x 轴从a x =点移动到b x =点,用定积分表示力)(x F 所做的功W .
解:将位移区间][b a ,任意分成n 个小区间][1i i x x ,-)21(n i ,,, =,(其中b x a x n ==,0)记第i 个小区间长度为i x ?,在][1i i x x ,-上任取一点i ξ,用)(i F ξ近似代替物体从1-=i x x 移动到i x x =时所受的力,则物体从1-=i x x 移动到i x x =时所做的功近似为i i i x F W ?≈?)(ξ,于是∑∑==?≈?=
n i i i n i i x F W W 11)(ξ,记}21m a x {n i x i ,,, =?=λ,
则?∑=→=?=b a n i i
i x x F x F W d )()(lim 10ξλ(假定极限∑=→?n
i i i x F 10)(lim ξλ存在). 4.用定积分的几何意义求下列积分值:
(1)x x a a
a d 22?--; (2)?-21
d x x .
解:(1)如图,上半圆的面积2/2πa A =, 根据定积分几何意义
A x x a a a =-?-d 22, 所以,=-?-x x a a
a d 222/2πa .
(2)如图,面积22/41==A ,2/12=A ,
根据定积分几何意义
2/3d 2121=-=?-A A x x , 所以,=?-2
1d x x 2/3.
5.若函数)(x f y =在区间],[a a -上连续,用定积分的几何意义说明:
(1) 当)(x f 为奇函数时,
0d )(=?-a a x x f ; (2) 当)(x f 为偶函数时,??=-a a
a x x f x x f 0d )(2d )(.
解:(1)如图1,当)(x f 是奇函数时,由对称性,面积21A A =,
根据定积分几何意义,
0d )(21=-=?-A A x x f a a
.
(2)如图2,当)(x f 是偶函数时,由对称性,面积21A A =,
根据定积分几何意义,
??
==+=-a
a a
x x f A A A x x f 0
121d )(22d )(.
6.比较下列各组定积分的大小:
(1)x x I d 10
21?
=
与x x I d 10
32?=; (2)x x I d 21
1?
=与x x I d 21
3
2?
=;
(3)x x I d sin 2
1?
=π与x x I d sin 20
31?=π;(4)x x I d ln 53
1?=与x x I d )(ln 2
5
3
2?=.
解:(1)因为在区间]10[,
上3
2
x x ≥,所以≥
?
x x d 10
2x x d 10
3?
,即21I I ≥.
(2)因为在区间]21[,上3x x ≥,所以
≥?
x x d 2
1
x x d 213
?
,即21I I ≥.
(3)因为在区间]2/0[π,上x x 3
sin sin ≥,所以
≥
?
x x d sin 2
π
x x d sin 20
3?
π
,即21I I ≥.
(4)因为在区间]53[,
上2
)(ln ln x x ≤,所以≤
?
x x d ln 5
3
x x d )(ln 253
?
,即21I I ≤.
7.估计下列定积分的值:
(1)?+=π20d )sin 2(x x I ; (2)?=1
d arctan x x I ;
(3)?
+=
21
2d 1x x
x I ; (4)?+-=202
)d 32(x x x I . 解:(1)设x x f sin 2)(+=,在区间]20[π,上显然有3)(1≤≤x f ,又,1)2/3(=πf 3)2/(=πf ,于是函数)(x f 在区间]20[π,上的最小值为1=m ,最大值3=M ,而区
间长度π2=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b a
-≤≤
-?
,得ππ62≤≤I .
(2)设x x f arctan )(=,由于函数)(x f 在区间]10[,
上单调增加,于是)(x f 在区间
]10[,上的最小值为0)0(==f m ,最大值4/)1(π==f M ,而区间长度1=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b
a -≤≤-?,得4/0π≤≤I .
(3)设21)(x x x f +=,则222
)
1(1)(x x x f +-=',在区间]21[,上0)(≤'x f ,于是函数)(x f 在区间]21[,上单调减少,所以)(x f 在区间]21[,上的最小值为2/5)2(==f m ,最大值2/1)1(==f M ,而区间长度1=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b a -≤≤
-?,
得2/15/2≤≤I .
(4)设32)(2+-=x x x f ,则22)(-='x x f ,有0)(='x f ,在区间)20(,内得驻点1=x ,又3)2(2)1(3)0(===f f f ,,,所以函数)(x f 在区间]20[,上的最小值为2)1(==f m ,最大值3)2()0(===f f M ,而区间长度2=-a b ,根据)(d )()(a b M x x f a b m b
a -≤≤-?,得64≤≤I . 8.证明下列不等式:
(1)x x x x d cos d sin 4040??≤π
π; (2)x x x x d )1(d e 1
010??+≥. 证明:(1)在区间]4/0[π,上显然有x x cos sin ≤,所以
x x x x d cos d sin 4040??≤π
π. (2)设x x f x --=1e )(,在区间]10[,
上,01e )(≥-='x x f ,于是函数)(x f 在区间]10[,上单调增加,从而0)0()(=≥f x f ,即在区间]10[,上x x +≥1e ,所以x x x x d )1(d e 1
01
0??+≥. 习题5—1(B)
1.右图给出了做直线运动的某质点在0到9s 内的
速度图象,求它在这段时间间隔内所走的路程.
解:质点在0到9s 内所走的有效路程为阴影面积的
代数和,即2810d )(9
0=-=?t t v (单位)
; 质点在0到9s 内所实际走的路程为阴影面积的
和,即18810d )(9
0=+=?t t v (单位)
2.用定积分中值定理求下列极限:
(1)x x x x n n
n d 2lim 8
2?+∞→; (2)x x
x n n n d 1arctan lim 1?+∞→. 解:(1)由定积分中值定理,n
n n n n n n
x x x x ξξξ+=+?26d 282(其中82≤≤n ξ),于是 3/126lim 26lim d 2lim 1
8
2=+=+=+-∞→∞→∞→?n n n n n n n n n n n n x x x x ξξξξ. (2)由定积分中值定理,n
n n n x x x ξξ1arctan d 1arctan 1
=?+(其中1+≤≤n n n ξ), 由1+≤≤n n n ξ,有∞→n 等价于+∞→n ξ,于是
11lim 1arctan lim d 1arctan lim 1=?==+∞→+∞→+∞→?n
n n n n n n n n x x x ξξξξξξ. 3.若函数)()(x g x f ,在区间][b a ,(b a <)上连续,)()(x g x f ≤,且)(x f 不恒等于)(x g ,
证明??
a b
a x x g x x f d )(d )(. 证明:设)()()(x f x g x F -=,由题目条件知,在区间][
b a ,
上函数)(x F 连续且0)(≥x F 又不恒等于零,于是有∈0x ][b a ,
,使得0)(0>=ηx F ,由连续函数的性质,0>?δ,在区间][][00b a x x ,, δδ+-内恒有2/)(η>x F ,设区间][][00b a x x ,, δδ+- ][21c c ,=(12c c >),所以02/)(/2d d )(d )(1221
21>-=≥≥???c c x x x F x x F c c c c b a ηη,即0]d )()([>-?b a x x f x g ,再由定积分的线性性,得??
a b a x x g x x f d )(d )(.
4.证明下列不等式:
(1)4/1022e 2d e e 22---≤≤
-?x x x ; (2)2
11d 22110<+
点2/1=x ,又24
/1e )2(e )2/1(1
)0(===-f f f ,,,于是函数)(x f 在区间]20[,的最
小值为4
/1e
-=m ,最大值为2
e =M ,从而≤
-4
/1e
2220
e 2d e 2
≤?
-x x
x
,
因为=?-0
2
d e 2
x x
x
?--2
d e 2
x x
x
,所以4/10
2
2e 2d e e 22
---≤≤-?x x
x
.
(2)在区间]10[,
上显然有x x
x x n
≤+≤
12
,且等号不恒成立,而函数
n
x
x x +12
、
、
x 都连续,根据本节习题(B )3,有??
?
<+<1
10
10
d 1d d 2
x x x
x x x x n
,而由定积分的几何
意义得
21
d 10
=
?
x x ,2
21d 2
1d 210
10=
=?
?x x x x ,所以
2
1
1d 2
2110
<
+
n
x x x . 习题5—2(A)
1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:
(1)在定理2.1的证明中,被积函数连续的条件是不可缺少的; (2)若()f x 连续、)(x ?可导,
则?
=)
(0
d )()(x t t f x F ?的导数等于被积函数在上限处的值;
(3)在()f x 连续、)(x ?及)(x ψ可导时,通过将?=
)
()
(d )()(x x t t f x F ?ψ
化成两个变上限定
积分,可求得()(())()(())()'''=-F x f x x f x x ??ψψ;
(4)使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分,首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数,然后求该原函数在积分区间上的增量.
答:(1)正确.定理的证明中两次用到连续性,一次是使用定积分中值定理时,再一次是最后求极限时.
(2)不正确.应该是)()]([)(x x f x F ??'=',即被积函数在上限处的值与上限处函数)(x ?的导数之积.
(3)正确.将函数)(x F 改写为?
?
-=)
()
(d )(d )()(x a
x a
x x f x x f x F ψ?,再根据(2)求导.
(4)正确.这就是牛顿—莱布尼兹公式
)()(d )(a F b F x x f b a
-=?
(其中)(x F 是)(x f 在
区间][b a ,上的一个原函数),但是要注意被积函数的连续性,对分段函数(或分区间连续函数)要分区间求. 2.计算下列定积分:
(1)x x x d )123(10
24?
-+; (2)x a x a x a
d ))((0
?+-;
(3)
x x x d )1
1(94+?
; (4)x x d 1123?--+;
(5)
x x x d 121
3
4?
-; (6)?+33/121d x x
; (7)x x x d 311
02
?+-; (8)?-21
021d x x ; (9)
x x d )sin 21(0
?
-π; (10)x x d tan 3
2?
π
(11)
?
-40
sin 1d π
x
x
; (12)x x d cos 0?π;
(13)
x x x d 1220
2
?+-; (14)x x f d )(20
?
,其中?
?
?≥<=.11e )(x x x x f x ,,
, 解:(1)
15
4]3253[d )123(1
03410
24=-+=-+?x x x x x x . (2)=-=-=
-=+-??3
33
3
02
2
033
d )(d ))((a a a x x a x x a x a x a
a
a
3
22a -.
(3)
=-=+=+=+??
32824]232[d )1(d )11(94
2/39494
x x x x
x x x x 344
. (4)
=-=+=+----?2ln 01ln d 11
23
2
3x
x x 2ln -.
(5)
=-=+=-=-??
1817]212[d )1(d 1212221321
34x x x x x x x x 8
9. (6)
=-==+?
63arctan 1d 3
3/133/12ππx x x 6
π. (7)
=+-=+-=+-?3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 311031
02
πx x x x x 43ln 213
6+π. (8)
=
-==-?
06
arcsin 1d 2
/10
21
2
π
x x x 6
π
. (9)
=--+=+=-?
)11(2cos 2d )sin 21(00
ππππx x x 4-π.
(10)
=
-
-=-=-=?
?3
033
tan d )1(sec d tan 3
/0
30
230
2
π
π
ππ
π
x x x x x 3
3π
-
.
(11)=-+=+=+=-??121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4
/040240ππ
πx x x
x x x x 2. (12)
=---=-=-=???
)10(01sin sin d cos d cos d cos 2/2/02
20
0π
πππ
ππ
π
x x x x x x x x 2.
(13)
x x x x x x x x x d )(d )1(d 1d 122
1
1
2
20
2????
--+-=-=+-
=+=
-+--=2
1
21)1(2
1
)1(2
1
21
210
2
x x 1. (14)
=-
+-=+=+=???
2121e 2
e
d d
e d )(21
2
10
2
1
1
20
x x x x x x f x x
2
1e +. 3.求下列函数)(x y y =的导数x
y
d d : (1)?-=x t t y 0
d e 2
; (2)?
=1
d sin x t t
t
y ; (3)?
=x
t t y 0
2
d sin ; (4)?=x
x
t x y e 2d ln .
解:(1)
=x y
d d 2
e x -. (2)=x y d d x
x sin -
. (3)
=?=x x x y 21)sin(d d 2x
x 2sin . (4)
='?-'?=)()ln()e ()e ln(d d 22x x x
y
x x )ln 2e (2x x x -. 4.求下列极限:
(1)x
t
x t x ln d e lim
1
1
2
?
→; (2)3
20
d sin lim
x t t x x ?
→;
(3)x
x t t x x 50
2
sin d cos lim
?-→; (4)?
?
→2
2
02
d cos )d sin (lim
x x
x t
t t t
t
.
解:(1)===→→→?2
2
2
e lim /1e lim ln d e lim
111
1
x x x x x
t x x x x t
e . (2)==→→?2203
20
3sin lim d sin lim
x x x t t x x x 3
1. (3)=-=-=-=-→→→→??4404205
20
50
20
52/lim 51cos lim d cos lim
sin d cos lim
x x x x x x t t x
x t t x x x x x x 10
1
-.
(4)===?=→→→→????1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x
x 1. 习题5—2(B)
1. 求变力2)(t t t F -=沿数轴从点1=t 到点2=t 所做的功.
解:根据习题5-1(A )3,
x t t t t F W d )(d )(212
21??-==3324313238324]332[2132/3-=+--=-=t t . 2.设函数)(x y y =由方程
0d 1d 1202202=-++??x y t t t t ,求x y d d . 解:方程0d 1d 1202202=-++?
?x y t t t t 两边同时对x 求导,有 012d d 41242=-++x x x y y ,解得24411d d y
x x x y +--=. 3.若函数)(x f 连续,设?=
x t t xf y 1d )(,求
x y d d . 解:?=x
t t f x y 1d )(,根据乘积求导法则,x y d d )(d )(1x xf t t f x +=?. 4.证明:当0=x 时,函数t t x I x
t d e )(02?-=取得最小值.
证明:函数)(x I 在)(∞+-∞,内有定义,2e )(x x x I -=',由0)(='x I 得唯一驻点0=x ,
又22e 2e )(2x x x x I ---='',01)0(>=''I ,于是0=x 是函数t t x I x t d e )(02
?-=的唯一极小值点,从而也是最小值点,所以当0=x 时,函数t t x I x
t d e )(02
?-=取得最小值. 5.若函数)(x f 在区间][b a ,
上连续,在)(b a ,内可导,且0)(<'x f ,设 ?-=
x a t t f a
x x F d )(1)(, 证明:在区间)(b a ,内0)(≤'x F . 证明:2)(d )())(()(a x t t f a x x f x F x
a ---='?.
(方法1)由定积分中值定理,a x f x f a x a x f a x x f x F --=----=')()()
())(())(()(2ξξ (其中x a ≤≤ξ),由0)(<'x f ,有函数)(x f 单调减少,而x ≤ξ,得)()(ξf x f ≤,
所以在区间)(b a ,
内证明0)(≤'x F . (方法2)因为
))((d )(a x x f t x f x a
-=?
,所以
2
2
)
(d )]()([)
(d )(d )()(a x t t f x f a x t
t f t x f x F x a
x
a
x a
--=
--=
'?
??
(t x ≥),
由0)(<'x f ,有函数)(x f 单调减少,而t x ≥,于是0)()(≤-t f x f ,得
0d )]()([≤-?
x a
t t f x f ,所以在区间)(b a ,
内证明0)(≤'x F . (方法3)设=)(x g ?
-
-x a
t t f a x x f d )())((,则0))(()(≤-'='a x x f x g ,
于是函数)(x g 在区间][b a ,
上单调减少,0)()(=≤a g x g ,所以0)(≤'x F . 6.若函数)(x f 可导,且0)0(=f ,2)0(='f ,求极限2
d )(lim
x t t f x x ?→.
解:='=-==→→→?)0(21
)0()(lim 212)(lim
d )(lim
0020
0f x f x f x x f x
t
t f x x x x 1. (注:由于)(x f '未必连续,因此极限x
x f x 2)
(lim 0→不能再用洛必达法则)
7.设函数)(x f 在闭区间]10[,
连续,且1)( =? x t t f 在开区间 )10(,有且仅有一个实根. 证明:设- =x x F 2)(1d )(0 -? x t t f ,根据已知,函数)(x F 在闭区间]10[, 连续,又 01)0(<-=F ,- =1)1(F ? 10 d )(t t f ,由于连续函数1)( 从而0)1(>F ,由零点定理得方程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(,至少有一个实根. 而0)(2)(>-='x f x F ,)(x F 单调增加,于是方程0)(=x F 至多有一个实根,即方 程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(,至多有一个实根. 综上,证明方程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(,有且仅有一个实根. 8.若函数???≤≤-=其它,, , ,010)(6)(2x x x x f 求函数? = Φx t t f x 0 d )()(在),(+∞-∞内的表达式. 解:当0 === Φ?? x x t t t f x ; 当10<≤x 时,320320 20 23]23[d )66(d )()(x x t t t t t t t f x x x x -=-=-== Φ?? ; 当1≥x 时,10]23[d 0d )66(d )()(103211020=+-=+-==Φ???t t t t t t t t f x x x , 所以,?? ???≥<≤-<=Φ.11102300)(32x x x x x x ,,,,, 习题5—3(A) 1.判断下列叙述是否正确?并说明理由: (1)在定积分的换元积分法中,要求被积函数)(x f 在区间],[b a 上连续,函数()x t ?=在以βα、为端点的区间上有连续的导数,以保证[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上可积; (2)对定积分进行换元时,需要注意的是换元的同时要换积分限,这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限; (3)定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法,具体采取哪种换元法,其依据与不定积分是相同的; (4)在利用奇、偶函数的积分性质时,不仅要注意被积函数的奇偶性,而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的. 答:(1)正确.此时[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上是连续的,因此它可积. (2)不正确.如t x cos =,则 t t x x d sin d 102/2102??-=-π,其中下限大,上限小;对积分?b a x x f d )(作换元)(t x ?=,原积分下限a x =对应的t 值在换元后积分的下限上,原 积分上限b x =对应的t 值在换元后积分的上限上. (3)正确. (4)正确.但是还需注意函数是可积的. 2.计算下列定积分: (1)x x x d 19 1?+; (2)? -++01311d x x ; (3)x x x d 4511? --; (4)x x x d 12103-?; (5)? +31221d x x x ; (6)?-12122d 1x x x ; (7)?-2 122d 1x x x ; (8)?-324)28(d x x ; (9)?+3 02d 1x x x ; (10)x x x d sin cos 04?π (11)x x d )sin 1(03?+π ; (12)x x x d e 102 ?; (13)x x x d ln 1e 1?+; (14)x x x d 1sin /3/22 ?ππ; (15)?-++212102d x x x ; (16)x x x d sin sin 03?-π. 解:(1)令t x =,则2t x =,t t x d 2d =,于是 t t t t t t x x x d )111(2d 12d 1313 129 1???++-=+=+=++-=31312 )1ln(24t t 2ln 24+. (2)令t x =+31,则13-=t x ,t t x d 3d 2=,于是 =++-=++-=+=++--???012101 02013)]1ln(3323[)d 111(31d 311d t t t t t t t t t x x 232ln 3-. (3)令t x =-45,则4/)5(2t x -=,2/d d t t x -=,于是 =---=--=-??-)310(81d 8)5(d 451 331321 1t x t t t x x x 6 1. (4)令t x sin =,则t t x d cos d =,于是 t t t t t t x x x cos d )cos (cos d cos sin d 12204202321 03-==-???ππ 15 25131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t . (5)令t x tan =,则t t x d sec d 2 =,于是 =-===+???3/4/3/4/23/4/223 122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t x x x 3 322-. (6)令t x sin =,则t t x d cos d =,于是 =--=-==-???4cot d )1(csc d cot d 12 /4/2/4/22/4/21 21 22π ππππππt t t t t x x x 4 1π-. (7)令t x sec =,则t t t x d sec tan d =,于是 ???-==-3/03/022 122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x x x 3 /0 ]sin sec tan [ln πt t t -+=2 3 )32ln(-+=. (8) =-= -=---=-??)64181(61)28(61 )28()2d(821)28(d 32 3 3243 24x x x x x 384 7 . (9) =-=+=++= +??)18(31)1(3 1)d(1121d 130 2 /3230223 02x x x x x x 3 7 . (10)===??πππ0504 04sin 5 1dsin sin d sin cos x x x x x x 0. (11) =-+=-+=+? ? ππ π ππ0 30 2 3 ]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 3 4 +π. (12) = == ?? 1 2 1010222 e 2 1)d(e 21d e x x x x x x )1e (2 1 -. (13) =+ =+=+=+??321)(ln 3 21dln ln ln d ln 1e 1 2 /3e 1 e 1e 1x x x x x x x 3 5. (14) =-= =- =?? 02 1 1cos )1d(1sin d 1 sin /3/2/3/2/3/22 π π π ππ πx ?x x x x x 21. (15) =-=+=+++=++---??)04(3131arctan 313)1()1d(102d 21 21222 12πx x x x x x 12 π . (16) x x x x x x x x x d cos sin d cos sin d sin sin 0 2 3 ??? ==-πππ x x x x x x d cos sin d cos sin 2 /2/0 ???-?=πππ x x x x dsin sin dsin sin 2 /2/0 ? ? ?-?=πππ =+=-=3232sin 32sin 322/2/32 /02/3πππx x 3 4. 3.计算下列定积分: (1) x x x d sin 02?π; (2)x x x d e 1 ?-; (3) x x d ln e 1 ? ; (4)? 41 d ln x x x ; (5) ? 10 2d arctan x x x ; (6)?21 d arcsin x x ; (7)x x x d cos e 2/0? π; (8)?+4 d )1ln(x x . 解:(1) )d sin sin (2d cos 2cos d sin 0 20 2 2 x x x x x x x x x x x x ??? -+=+-=π ππ ππ π 4cos 22 02-=+=πππx . (2) =--=+-=----??1 01 1 1 0e e 1d e e d e x x x x x x x x e 21-. (3)=--=-=??)1e (e d ln d ln e 1e 1e 1x x x x x x x 1. (4) =--=-=-=? ? )12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41 41 4 141 x x x x x x x x x 42ln 8-. (5)???+-=+-= 102 2 210231031 02 )d(16112d 131arctan 3d arctan x x x x x x x x x x x π ])d(111 [6 112)d(161121 0221 210222? ?++--=+-=x x x x x x ππ =+--= ])1ln(1[6112102x π )2ln 1(6 1 12--π. (6) ? ? --=210 2 2/10 210 d 1arcsin d arcsin x x x x x x x = -+= 2/10 2 112 x π 12 3 12 -+ π . (7)因为 x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/0 2 /0 2/0 ?? -=πππ x x x x x x x x d cos e 1e d cos e cos e e 2 /0 22 /0 2 /0 2? ? --=-+=ππ πππ , 有=? x x x d cos e 2 2/0 π1e 2-π ,所以=? x x x d cos e 2/0 π)1e (2 1 2-π . (8) ? ? ? +-=+-+=+40 40 4 40 d ) 1(23ln 4d ) 1(2)1ln(d )1ln(x x x x x x x x x x x 对积分 ? +40 d ) 1(2x x x ,令t x =,则2t x =,t t x d 2d =,于是 3ln )]1ln(2[)d 111(d 1d )1(22 02202 024 0=++-=++-=+=+???t t t t t t t t t x x x , 所以, =-=+? 3ln 3ln 4d )1ln(40 x x 3ln 3. 4.试选择简便的方法计算下列定积分: (1) x x x d sin 147 ?-+π π; (2) x x x x d )e e (1 1 3--+? ; (3) x x x d 111 2 ? -+; (4)x x x d cos sin 2/52 /343? ππ. 解:(1)因为x x x f 47sin 1)(+=是奇函数,所以=+?-x x x d sin 147 ππ0. (2)设)e e ()(3x x x x f -+=,)()e e ()(3x f x x f x x -=+-=--,于是)(x f 是奇函数, 所以=+--?x x x x d )e e (1 130. (3)因为21)(x x x f +=是偶函数,所以 =+=+=+? ?-1021021 1212d 12d 1x x x x x x x )12(2-. (4)因为x x x f 43cos sin )(=是π2为周期的奇函数,所以 ==?? -x x x x x x d cos sin d cos sin 2/2/432/52/343ππππ0. 5.若函数)(x f 连续,证明下列定积分等式: (1)?? -=a a x x a f x x f 00d )(d )(; (2)??=202 0d )(cos d )(sin π πx x f x x f . (3) ??-=-1010d )1(d )1(x x x x x x m n n m ; (4)??+=+x x x x x x /112121d 1d )0(>x . 证明:(1)令t a x -=,则 ????-=-=--=a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0000d )(d )()d )((d )(. (2)令t x -= 2π,则 ???? ==--=20200220d )(cos d )(cos )dt )](2[sin(d )(sin πππππx x f t t f t f x x f . (3)令t x -=1,则 ????-=-=--=-1 010011 0d )1(d )1()d ()1(d )1(x x x t t t t t t x x x m n m n n m n m . (4)令t x 1=,则 ????+=+=+-=+x x x x x x t x t t t x x /112/1121/122 121d 1d )/1(1/d 1d . 习题5—3(B) 1.计算下列定积分: (1)?-2 ln 22ln 1e d x x ; (2))0(d 2202>-?a x x ax x a ; (3)x x f d )1(20?-, 其中?????≥+<+=.0110e 11 )(x x x x f x ,,, (4)?''102d )2(x x f x , 其中?=='=201d )(0)2(2 1)2(x x f f f ,,. 解:(1)令t x =-1e ,则)1ln(2t x +=,21d 2d t t t x +=,于是 6)43(2a r c t a n 2d 121e d 313 122 ln 22ln πππ=-==+=-??t t t x x . (2)令t a a x sin =-,则t t a x d cos d =,于是 x a x a x x x ax x a a d )(d 22022202? ?--=- ?-+=2 223d cos )sin 1(π π t t t a =??==?2212d cos 23 2023ππa t t a π23a . 或:令t a x =-,则t x d d =,于是 ?? ?--+=--=-a a a a t t a t a x a x a x x x ax x d )(d )(d 2222022202 =?=-=?2 02242d 2a a t t a a a ππ23a . (3)令t x =-1,则 t t f t t f t t f x x f d )(d )(d )(d )1(1001112 ????+==--- 10011001)1ln(d )e 1e 1(1d e 1d t t t t t t t t +++-=+++=???-- =+++-=++-=--2ln )e 1ln(2ln 12ln )e 1ln(110 1t )e 1ln(+. (4)??'-'=''10102102d )2()2(2 1d )2(x x f x x f x x x f x ?+-'=10 10d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ?+-=10d )2(2141x x f . 对积分 ? 10 d )2(x x f ,令t x =2,则2 1 d )(21d )2(201 == ??t t f x x f ,所以 02 12141d )2(1 2 =?+-=''?x x f x . 2.设x x I n n d tan 40 ? = π ,证明21 1 ---=n n I n I .并计算?404d tan π x x . 证明:240 22 40 2 4 tan d tan d )1(sec tan d tan ----=-== ? ? ? n n n n n I x x x x x x x I π ππ 224 /0 11 1 1 tan -----= --= n n n I n I n x π. =-=+-=-=??32d 13131d tan 4002404 π π x I I x x 3 24-π. 3.证明??+=+202 0d sin cos sin d sin cos cos π πx x x x x x x x ,并由此计算该积分值. 证明:记= 1I ? +2 d sin cos sin π x x x x ,= 2I ? +20 d sin cos cos π x x x x , 令t x -=2π ,则= -+=+??02 20)d (cos sin cos d sin cos sin ππ t t t t x x x x ? +2 d sin cos cos π x x x x . =?=++=+==+??221d sin cos cos sin 21)(21d sin cos sin 2021120ππ πx x x x x I I I x x x x 4 π. 4.若函数)(x f 连续,设? += 21 d )ln ()(t x t f x F ,求)(x F '. 解:(方法1)令u x t =+ln ,则? ? ++=+=x x u u f t x t f x F ln 2ln 121 d )(d )ln ()(,所以 = ?+-? +='x x f x x f x F 1)ln 1(1)ln 2()(x x f x f ) ln 1()ln 2(+-+. (方法2)设)(x f 的原函数为)(x G (连续函数一定有原函数),则 2 121 21 )ln ()ln d()ln (d )ln ()(x t G x t x t f t x t f x F +=++=+= ? ? )ln 1()ln 2(x G x G +-+=, 所以,=?+'-? +'='x x G x x G x F 1)ln 1(1)ln 2()(x x f x f )ln 1()ln 2(+-+. 5.若函数)(x f 连续,证明下列定积分等式: (1) ??=πππ00d )(sin 2d )(sin x x f x x xf ; (2) ??-+-=10d ])([()(d )(x x a b a f a b x x f b a ; (3)??-+=a a x x a f x f x x f 020d )]2()([d )(. 证明:(1)令t x -=π,则 ???-=---=πππ πππ000d )(sin )()d )]([sin()(d )(sin t t f t t t f t x x xf ????-=-=π πππ ππ0000d )(sin d )(sin d )(sin d )(sin x x xf x x f t t tf t t f , 于是,??=πππ00d )(sin d )(sin 2 x x f x x xf , 所以,?π 0d )(sin x x xf ?=π π0 d )(sin 2x x f . (2)令t a b a x )(-+=,则 ???-+-=--+=1 010d ])([()(d )]()([(d )(x x a b a f a b t a b t a b a f x x f b a . (3)???+=a a a a x x f x x f x x f 0220d )(d )(d )(, 在右式第二个积分中,令t a x -=2,则 ???? -=-=--=a a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0002d )2(d )2()d )(2(d )(,所以 ?????-+=+=a a a a a a x x a f x x f x x f x x f x x f 000 220d )2(d )(d )(d )(d )( ?-+=a x x a f x f 0d )]2()([. 6.设函数)(x f 在区间],[ππ-上连续,且满足?-++=ππ x x x f x x x f d sin )(cos 1)(2,求)(x f . 解:记I x x x f =?-ππd sin )(,则I x x x f ++= 2cos 1)(,此等式两边同时乘x sin ,然后再区间],[ππ-上求积分,有???---++=ππ ππππx x I x x x x x x x f d sin d cos 1sin d sin )(2,即 ???+=+=?++=--πππππ0222d cos 1sin 2d cos 1sin 0d cos 1sin x x x x x x x x I x x x x I ??-=+-=+=ππππππ00202)a r c t a n (c o s c o s 1os d d cos 1sin x x x c x x x 2)44(2ππππ=----=, 所以,2 cos 1)(2 2 π++=x x x f . 习题5—4(A) 1.下列叙述是否正确?并按照你的判断说明理由: (1)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的; (2)积分? +∞-∞ x x f d )(收敛,是指? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 都收敛,若? +∞-∞ x x f d )(发散, 则 ? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 都发散; (3) 无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),在它们收敛时,要计算其值,一般可以利用推广的牛顿—莱布尼兹公式,而不必再利用定义转化为求定积分的极限. 答:(1)正确.参见定义4.1及定义4.2. (2)前者正确.参见教材260P 第8至12行,(注意积分限中的“0”可以是某一个实数c );后者不正确.若? +∞-∞ x x f d )(发散,则两个积分? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 中可能只有一个 发散,如 x x d e ? +∞ ∞ -;也可以两个都发散如x x x d 12 ? +∞ ∞-+. (3)正确.参见教材260P 第13至17行及262P 第1至7行. 2.先判断下列广反常积分是否收敛,然后对于收敛的积分再计算其值: (1) ? +∞1 3d x x ; (2)?+∞+01 d x x ; (3) x ax d e ? +∞-(0>a ) ; (4)?-∞+0 2 1d x x x ; (5) ?+∞ -∞++3 2d 2x x x ; (6)?+∞121d e x x x ; (7)?-∞ d e x x x ; (8)?-+011d x x ; (9) ? -10 2 1d x x x ; (10) ? -10 1d x x ; (11) ?-2 02)1(d x x ; (12)??e 1ln d x x x . 解:(1) 21 )2121(lim ]21[lim d lim d 2 1 2131 3=-=-==+∞→+∞→+∞→+∞?? b x x x x x b b b b b , 所以,此无穷积分收敛,且积分值为 2 1 . (2) +∞=-+=+=+=++∞ →+∞ →+∞ →+∞? ? )11(lim 2]12[lim 1 d lim 1 d 0 00 b x x x x x b b b b b , 所以,此无穷积分发散. (3) a a a x x ab b b ax b b ax b ax 1)e 1(lim 1]e [lim 1d e lim d e 000=-=-==-∞→-∞→-∞→+∞ -??, 所以,此无穷积分收敛,且积分值为a 1 . (4)-∞=+-=+=+=+-∞→-∞→-∞→-∞??)1ln(lim 2 1)]1[ln(lim 211d lim 1d 2 020202a x x x x x x x a a a a a , 所以,此无穷积分发散. (5)因为 2 22 1 arctan 212)1()1d(32d 1 1212π = +=+++=++-∞ ---∞--∞ ?? x x x x x x , 2 22 1 arctan 2132d 1 1 2π = +=++∞ +-+∞-? x x x x , 以上两个积分都收敛,所以 ? +∞-∞ ++3 2d 2 x x x 收敛,且 ? +∞-∞ ++32d 2x x x +++=?--∞123 2d x x x ? +∞-++1 2 32d x x x 2 2222πππ=+=. (6) 1e e )1d(e d e 1 1 111 21 -=-=-=∞++∞+∞?? x x x x x x , 所以,此无穷积分收敛,且积分值为1e -. (7) 11e 1 lim e e lim d e e d e 00 -=-=--=-=--∞→∞ ---∞ →-∞ ∞ --∞ ?? x x x x x x x x x x x x x , 所以,此无穷积分收敛,且积分值为1-. (8)因为∞=++ -→x x 11 lim 1,所以下限1-=x 是瑕点. +∞=+-=+=+=++++-→-→-→-??)1ln(lim )]1[ln(lim 1d lim 1d 1 10101a x x x x x a a a a a , 所以,此瑕积分发散. (9)因为∞=-- →2 1 1lim x x x ,所以上限1=x 是瑕点. 11lim 1]1[lim 1d lim 1d 2 1 021 2 1 10 2 =--=--=-=-- --→→→? ? b x x x x x x x b b b b b , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为1. (10)因为∞=--→x x 11lim 1 ,所以上限1=x 是瑕点. 21lim 22]1[lim 21d lim 1d 1 01011 0=--=--=-=----→→→??b x x x x x b b b b b , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为2. (11)因为∞=-→2 1)1(1lim x x ,所以1=x 是瑕点. 此积分分为?-102 )1(d x x 与?-212)1(d x x 讨论, 因为∞=--=-=---=--→??111lim 11)1()d(1)1(d 11 0102102x x x x x x x , 所以,瑕积分?-1 02)1(d x x 发散,从而瑕积分?-202)1(d x x 也发散. (12)因为∞=?+→x x x ln 1lim 1 ,所以下限1=x 是瑕点. 2ln 2lim 2ln 2ln dln ln d 1 e 1e 1e 1=-===?+→??x x x x x x x x , 所以,此瑕积分收敛,且积分值为2. 习题5—4(B) 1.有一个长为l 的细杆AB 均匀带电,总电量为q ,若在杆的延长线上距点A 为0x 处有一个单位正电荷,现将单位正电荷从0x 处沿杆的延长线方向移动到无穷远处,试求克服电场引力所做的功W . 解:如图取坐标,A 点为原点, 设单位正电荷位于x 处时,受细杆产生的电场力为)(x F ,则 )11(1d )(/)(002x l x l kq t x l kq t t x l kq x F l l --=-=-=? (其中k 是引力系数). l x x l kq x l x l kq x x l x l kq x x F W x x x -=-=--==∞++∞+∞ ??00ln ln d )11(d )(000. 2.下列反常积分是否收敛?
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