基于模糊控制的倒立摆研究

陕西科技大学

硕士学位论文

基于模糊控制的倒立摆研究

姓名：陈源梅

申请学位级别：硕士

专业：控制理论与控制工程

指导教师：郑恩让

20070501

基于模糊控制的倒立摆研究

摘要

倒立摆系统是一个典型的单输入多输出、多变量、非线性、强耦合、自

然不稳定的高阶系统。倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，它不仅具有生动直观的教学特点，在研究方面同样具有重要的价值。研究倒立摆系统除了很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义，在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。本论文主要完成以下内容：

分析了倒立摆系统的组成、工作机理及特性分析，在此基础上运用牛顿

一欧拉方法建立了直线倒立摆系统的数学模型，并进行了定性分析。

运用变量分组的方法完成倒立摆模糊控制器的设计。即在控制结构上采

用将一个复杂的多输入．单输出的模糊控制器，分解成若干个较为简单的多输入．单输出的模糊控制器。

分析直线倒立摆ＬＱＲ控制的设计方法，完成倒立摆的ＬＱＲ控制器的设

计，并通过ＭＡＴＬＡＢ编程对比仿真，实现了倒立摆的最优控制并找出倒立摆ＬＱＲ控制方法中Ｑ和Ｒ的有效取值办法。

根据Ｔ－Ｓ模糊系统的原理建立了直线倒立摆系统的Ｔ－Ｓ模型，并运用并

行分布补偿控制原理（ＰＤＣ）完成了控制器的设计，分别对连续型Ｔ－Ｓ模型的直线倒立摆控制系统和连续不确定型Ｔ－Ｓ模型的直线倒立摆控制系统进

行了仿真研究，验证了本文设计的模糊控制器可以实现对倒立摆系统的稳定控制，以及设计方法的有效性。

关键词：倒立摆，模糊控制，Ｔ－Ｓ，线性二次型调节器（ＬＱＲ）ＩＩ

ＲＥＳＥＡＲＣＨＯＮＩＮＶＥＲＴＥＤＰＥＮＤＵＬＵＭＳＹＳＴＥＭ

ＢＡＳＥＤｏＮＦＵＺＺＹＣｏＮＴＲｏＬ

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

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Ｔｈｅｐａｐｅｒｈａｓ

ｕｓｉｎｇｆｉｎｉｓｈｅｄｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｏｆｔｈｅｉｎｖｅｒｔｅｄｔｈｅｗａｙｏｆｖａｒｉａｂｌｅｇｒｏｕｐｉｎｇ，ｔｈａｔｉｓ，ｄｉｖｉｄｉｎｇｏｎｅｐｅｎｄｕｌｕｍ，ｂｙ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ，呦ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｔ－Ｓ，ＬＱＲＩＶ

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原创性声明及关于学位论文使用授权的声明

原创性声明

本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：隧退堑日期：２ＱＱＺ生』旦

关于学位论文使用授权的声明

本人完全了解陕西科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权陕西科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。

（保密论文在解密后应遵守此规定）

论文作者签名：睦退塑导师签名：期：２００Ｚ生∥月

基于模糊控制的倒立摆研究

ｌ绪论

本章阐述了倒立摆系统的相关研究背景及实际意义，介绍了倒立摆系统在工程实际中的应用及研究现状，总结了近几年来国内外对倒立摆系统的研究进展和取得的成果，指出了倒立摆系统研究发展的趋势及进行研究的必要性。最后对论文的内容安排进行了阐述。

１．１课题背景综述

倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。倒立摆系统是日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题的抽象，它是一个典型的单输入多输出、时交、非线性、强耦合、自然不稳定的高阶系统，对其机理的研究具有重要的应用意义。同时，倒立摆的稳定性控制又是控制理论与应用的典型问题，必须采用十分有效的控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制、非线性控制、目标定位控制、智能控制等控制方法理想的实验平台，被誉为：“控制领域中的一颗明珠”，经常被用来检验控制理论的合理性、可行性和有效性。

１．１．１倒立摆简介

图１．１所示的一维单级倒立摆系统是一个复杂的非线性系统，小车可以自由地在限定的轨道上左右移动，小车上的倒立摆一端被绞链在小车顶部，另一端可以在小车轨道所在的垂直平面上自由转动，控制目的是通过电机推动小车运动。使倒立摆平衡并保持小车不和轨道两端相撞。

图１．１一维单级倒立摆

Ｆｉｇ．Ｉ ｌＴｈｅＬｉｎｅａｒｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ

根据小车上摆杆的节数，倒立摆系统可分为单级、二级和多级倒立摆系统；根据小车的运动方向，可分为一维和二维倒立摆系统：根据小车的运动轨道，

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则可分为水平轨道、斜轨道和圆轨道倒立摆系统。此外，如果在同一小车上安装两个互相独立的摆杆，即为并行倒立摆系统；如果没有小车，摆杆直接安装在旋转轴上，即为旋转式倒立摆系统。

一级（尤其二维的）倒立摆系统是空间起飞助推器的姿态控制模型。姿态控制的目的，是保持空间助推器位于垂直位置。在航空航天器设计中，在稳定性和机动性不能兼顾的情况下，牺牲飞行器的自然稳定性，然后通过控制手段使一个自然不稳定的被控对象具有良好的稳定性，以确保飞行器的机动性。这已成为当今航空航天器设计的基木思想。

二级（尤其倾斜轨道的）倒立摆系统是机器人“腿”关节的运动控制模型，对二级倒立摆系统的控制与对双足步行机器人的步行控制有很大的相似性，二级倒立摆系统的控制研究对机器人步行稳定控制有重要现实意义。

通过对倒立摆的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论涉及的三个主要基础学科，力学，数学和电学（包含计算机）进行有机的综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，存在一种可行性的试验问题，使其理论和方法得到有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性、快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。同时其动态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。…１．１，２控制理论发展

自动控制理论发展至今已有ｌＯＯ多年的历史。随着现代科学技术的飞速发展，各个领域中自动控制系统对控制精度、响应速度、系统的稳定性和适应能力的要求越来越高，应用范围越来越广泛。特别是本世纪８０年代以来，电子计算机的快速更新换代和计算技术的高速发展，推动了控制理论的深入研究，并进入了一段新的历程。综观控制理论发展史，通常可以分为三个阶段。

１）“经典控制理论”阶段

上世纪５０年代前后的控制理论主要研究的自动控制系统为线性定常系统，被控对象几乎全部是单输入一单输出的。经典控制理论所采用的方法通常是以传递函数、频率特性、根轨迹分布为基础的伯德图法和伊凡思的根轨迹法等。在经典控制理论中，对于非线性系统，采用描述函数分析和一般不超过２个变量的庞加莱的相平面分析法。２）“现代控制理论”阶段

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６０年代末，应航天飞行器等空间技术开发的需要而发展起来的现代控制理论，主要用来研究多输入一多输出的被控对象，系统可以是线性或非线性的，定常或是时变的。它用一组一阶微分方程（亦称状态方程）代替经典理论中的一个高阶微分方程式来描述系统，并且把系统中各个变量均取为时间ｔ的函数，因而属于时域分析方法，它区别于经典理论中频域分析法，这样更有利于计算机进行运算。

３）“大系统理论”和“智能控制理论”阶段

上述两个阶段的控制理论的发展与应用，在存在数学模型的自动控制系统领域中发挥了非常大的作用，并取得了令人满意的控制效果。但是对于那些不具有数学模型的被控对象，往往显得无能为力。

人工智能是用除数学式以外的方法把人们的思维过程模型化，并利用计算机来模拟人的智能的学科。它的应用范围远比控制理论广泛，如包括判断、理解、推理、预测、识别、规划、决策、学习和问题求解等，是高度脑力行为和体力行为的综合。人工智能的发展促进了自动控制理论向着智能控制理论方向发展。

７０年代末开始的智能控制理论和大系统理论的研究和应用，是现代控制理论在深度上和广度上的开拓，因此受到各国著名学者的极大关注。目前，在专家系统、神经网络和模糊控制等方面己经取得了可喜的进展。｜２１

１．１．３控制理论在倒立摆控制系统中的应用

伴随着控制理论的不断发展，对倒立摆的控制也出现了采用经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等多种控制理论的控制方案和控制方法，达到了平衡倒立摆的控制目的并且获得了实物实验的成功。

用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数很宽范围内的稳定性。根据对倒立摆系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动和摆杆旋转运动的方程，并进行线性化，拉氏变换后得出传递函数，从而得到零、极点分布情况。通过引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上，使得倒立摆系统闭环稳定。

经典控制理论有很大的局限性，它不仅只限于单输入单输出系统，而且只限于线性定常系统，但实际上常会遇到有相互关联的多变量系统和非线性的时变的系统。到了５０年代后期，现代控制理论逐渐形成，它以状态空间方程为基础，分析和解决多变量问题。同时随着电子计算机技术在科学计算方面的迅速发展，极大的推动着控制理论的发展，它使得现代控制理论也得到了极大的

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应用。现代控制理论有较强的系统性，从分析到设计、综合都有比较完整的理论和方法。利用以状态反馈方法、极点配置法和最优状态调节器方法都可实现对二级倒立摆的控制。

基于以状态反馈方法的二级倒立摆控制方案：针对倒立摆系统具体的有参数摄动及干扰，构造状态反馈控制“＝Ｋｘ使不确定闭环系统具有干扰衰减度，的也鲁棒最优系统，且性能指标Ｊ＝Ｉ＿（《１缆．）＋“ａＲｕ（ｆ））ａｔ具有最小的上界。【３】

利用极点配置法和最优线性二次状态调节器ＬＱＲ和线性二次输出调节器ＬＱＹ控制倒立摆的方法。使用极点配置法首先需要建立系统的线性模型，然后确定系统的闭环极点，再通过Ａｃｋｅｒｍａｎｎ公式算出对应的反馈增益矩阵打。在控制设计中应用最优线性二次调节器方法的关键在于由分析和实验找到能使系统稳定工作的“初始”控制，再根据对闭环系统的性能要求，调整二次性能指标中的加权矩阵Ｑ、Ｒ来获得晟优控制盯＝ｋｆｘ。１４１

随着人们对更复杂更大系统的研究和和探索，控制理论进入了更高阶段，出现了大系统理论和智能控制理论等高级控制理论。被控对象愈复杂，数学模型愈难精确。如果系统本身又是非线性的或具有某些不确定性，则针对线性化模型进行控制系统设计的各种理论将遇到很大障碍，人工智能控制理论对解决这样的问题具有一定的优势。倒立摆系统只有在平衡位置附近才可简化为线性模型，使得针对线性化模型进行控制系统设计的经典和现代控制理论难以达到更理想的效果。以模糊智能控制和神经网络控制为代表的人工智能控制理论被引入了倒立摆系统的控制中，并且起到了相当大的作用。

倒立摆系统相关的控制方法有：①ＰＩＤ控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，就可以设计出ＰＩＤ控制器来实现其控制。②状态反馈以控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，可应用儿状态反馈的方法，实现对倒立摆的控制。⑨利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。④神经网络控制，神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有一定量或定性的信息都等势分布贮存于网络４

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内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。也可以将Ｑ学习算法和ＢＰ神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。⑤遗传算法。⑥自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。⑦模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。⑧使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等。在本倒立摆系统中，考虑通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量等方面，如何引入适当的控制方式使之成为一个稳定的系统，去选择一种合适的控制算法。

这些控制理论的迅猛发展，为控制倒立摆系统提供了坚实的理论基础。同时人们发现倒立摆是检验控制理论的一种好系统。这导致倒立摆成了科学界检验控制能力的一种标准模型。倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。７０年代，人们就将倒立摆的控制问题作为现代控制理论应用的典型试验进行研究。１９７２年Ｓｔｕｇｅｎ等人采用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，其线性状态反馈采用极点配置的方法获得，并采用全维状态观测器来重构了状态。１９７８年，Ｋ．ｆｕｒｕｔａ等人采用微机处理实现了二级倒立摆的控制，并成功地应用降维观测器来重构状态。１９８３年，Ｋ．ｆｕｒｕｔａ等又实现了三级倒立摆的稳定控制。国内也从８０年代开始对倒立摆进行了研究。１９８５年，西安交大伊征等人采用模拟调节器实现了对二级倒立摆的控制。以上对倒立摆的控制大都采用最优控制规律，随着控制理论的发展，智能控制、专家控制、模糊控制等先进的控制技术越来越多的应用于各种领域，也同样在倒立摆系统中得到了验证。１９９５年，张明廉等人应用拟人智能控制理论成功的解决了三级倒立摆这一控制界的世界性难题，将倒立摆的控制推向了一个崭新的阶段。２００１年９月１９日，北京师范大学李洪兴教授领导的复杂系统实时智能控制实验室采用变沦域自适应模糊控制成功地实现了三级倒立摆实物系统控制，不但具有良好的稳定性和鲁棒性，还可使倒立摆行走到指定的位置。又于２００２年８月１１日在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统。

１．２本文主要内容

本课题主要完成直线倒立摆系统的数学建模。在此基础上完成了对直线倒立摆的ＬＱＲ控制算法及仿真；并根据Ｔ－Ｓ模糊系统的原理建立了直线倒立摆系统的Ｔ－Ｓ模型，并根据并行分布补偿控制原理完成了控制器的设计，并利用ＭＡＴＬＡＢ和ＳＩＭＵＬＩＮＫ软件分别对连续型Ｔ－Ｓ模型的直线倒立摆控制系统和

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连续不确定型Ｔ－Ｓ模型的直线倒立摆控制系统进行了仿真研究。

第１章，简述自动控制理论的发展、倒立摆系统及其研究的历史和现状，以及本课题的主要内容和研究方法。

第２章，分析倒立摆系统的组成、工作机理及特性分析，在此基础上运用牛顿一欧拉方法建立直线倒立摆系统的数学模型，并进行了定性分析。

第３章，介绍了模糊控制原理，并完成直线倒立摆模糊控制器的设计。第４章，分析直线倒立摆的ＬＱＲ控制的设计方法，完成直线倒立摆的ＬＱＲ控制器的设计，并通过选取不同的Ｑ和Ｒ值进行ＭＡＴＬＡＢ编程对比仿真，指出直线倒立摆ＬＱＲ控制方法中Ｑ和Ｒ的取值办法。

第５章，介绍Ｔ－Ｓ模糊系统模型的模糊控制，并构建了直线倒立摆系统的Ｔ－Ｓ模型，用并行分布补偿控制原理设计了控制器，完成了直线倒立摆Ｔ．Ｓ模糊控制器的设计及仿真。

第６章，对文章内容进行了总结，并对倒立摆控制系统进行了展望。６

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２倒立摆系统

本章分析了倒立摆系统的组成、工作机理及特性分析，在此基础上运用牛顿一欧拉方法建立单级倒立摆系统的数学模型。并对倒立摆系统进行定性分析，得到结论：单级倒立摆系统是能控的和能观测的；单级倒立摆的相对能控度越小系统越难控制。

２．１倒立摆系统组成

倒立摆系统组成如图２一ｌ所示，它包含电控箱、倒立摆本体及由运动控制卡和普通ＰＣ机组成的控制试验平台等三大部分。

图２．１倒立摆系统框囤

Ｆｉｇ２－１Ｔｈｅｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ

１）直线倒立摆本体如图２．２所示，主要由以下几个部分组成：

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囝２ ２直线倒立摆实体

Ｆｉｇ２－２Ｔｈｅｅｎｔｉｔｙｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ

①底座

②驱动用交流伺服电机

③同步带

④同步轮

⑤滑竿、滑套

⑥滑台、摆杆

⑦光码盘

⑥限位开关

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

２）电控箱内安装有如下主要部件：

①交流伺服驱动器

②Ｉ／Ｏ接口板

③开关电源

④开关、指示灯等电气元件

３）控制平台主要由以下部分组成：

①与ＩＢＭＰＣ／ＡＴ机兼容的ＰＣ机，带ＰＣＩ／ＩＳＡ总线的插槽

②ＧＴ４００．ＳＶ．ＰＣＩ、ＧＭ一４００运动控制卡

③ＧＴ４００．ＳＶ－ＰＣＩ、ＧＭ一４００运动控制卡用户接口软件

④演示实验软件

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２．２倒立摆系统工作原理及特性分析

２．２．１倒立摆系统工作原理

倒立摆的工作原理大体相同，即用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使全部摆杆（摆球）倒置稳定于正上方，这个系统也叫自动平衡车。悬挂式倒立摆系统开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动，当摆杆接近于倒置垂直位置时，自由转换控制方法，使之稳定于倒置状态。

单级倒立摆系统的组成框图如图２．３所示。

囝２ ３一级倒立摆系统组成结构图

Ｆｉｇ２－３Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｐａｒｔｓｏｆｔｈｅｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ

系统包括计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几个大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘１将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘２反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制策略，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。１５ｌ

二级倒立摆系统的组成框图如图２．４所示。９

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图２—４二级倒立摆系统组成结构图

Ｆｉｇ２－４Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｐａｒｔｓｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ

２．２．２倒立摆系统特性分析

倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论那种类型的倒立摆系统都具有如下特性：

１）欠冗余性。一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控制性能。

２）仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。

３）不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。

４）合特性。倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因．

５）开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点（考虑摩擦力的影响），而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。１０

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２．３直线倒立摆的数学建模及定性分析

２．３。１直线倒立摆的数学建模

针对以上倒立摆系统的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样可以通过力学原理建立系统较为精确的数学模型。

为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法，欧拉一拉格朗日原理（Ｌａｇｒａｎｇｅ方程）。【６】

２．３．１．１直线单级倒立摆的数学建模

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图２．５所示：

图２－５直线一级倒立摆系统示意图

Ｆｉｇ．２ ５Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ

一级倒立摆系统符号如表２．１所示，本文采取的实物系统取值见表２．１。

表２．１一级倒立摆系统符号参数表

Ｔａｂ２ １Ｔｈｅｓｉｇｎｓ＆ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ

符号

善含义小车相对初始位置的位移取值（单位）ｍ

ｒａｄ

ｒａｄ乎摆杆与竖直向上方向的夹角摆杆与竖直向下方向的夹角（考虑到摆

杆初始位置为竖直向下）口

甜作用在倒立摆系统上的控制量（力）

小车质量

一级摆杆质量Ｎ１．０９６Ｋｇ０．１０９ＫｇＭ册

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运用牛顿一欧拉方法建模，建立直线一级倒立摆系统的数学模型。首先对系统作如下假设：

１）摆体为匀质刚体。

２）摩擦力与相对速度（角速度）成正比。

①一级倒立摆系统运动方程：

对小车和摆杆分别进行受力分析，得到系统以下两个运动方程：

（肘＋，栉）ｊ＋赫＋ｍｌＯｃｏｓ０一ｍ１０２ｓｉｎ０＝Ｕ

（，＋，”，２）口＋ｍｇｌｓｉｎＯ＝－ｍｌＳｉｃｏｓＯ（２．１）（２－２）

设０＝≯＋万，假设矿与ｌ（单位是弧度）相比很小，即≯＜＜１，则可以进行近似处理：ＣＯｓ口：一ｌ，ｓｉｎＯ：一≯，（掣）２：０，线性化后两个运动方程如下：

Ｊ（“所７ｗ一删妒＿．腓Ｉ（Ｍ＋聊）ｊ＋撕＋ｒｏｔｅ＝”（２．３）

②一级倒立摆系统传递函数（假设初始条件为Ｏ）：

对方程组（式２—３）进行拉普拉斯变换，得到

｛（Ｉ＋ｍ１２净ｏ’《一吲蜮曲硼叫磐ｌ（Ｍ＋ｍ）Ｘ（ｓ）ｓ２＋ｂＸ（ｓ）ｓ＋ｍｌＯ（ｓ）ｓ２＝ｕ（ｓ）

由于输出为角度≯，求解方程组（式２－４）的第一个方程，可以得到（２－４）

ｘ（。）：【型！尝堕一粤】中（。）

把上式代入方程组（式２－４）的第二个方程，得到

（Ｍ＋肌）［坐笋一墨Ｍ啪一ｂ．［（１＋ｍ，１２）＋导州啪一坍ｔｏ（咖：：∞）

整理后得到直线一级倒立摆的传递函数为：（假设初始条件为０）

——５‘ｍｌ，

ｑ①（ｓ）

ｕ（ｓ），一＋型±笙！。，

ｑ—（Ｍ＋ｍ—）ｍｇｌｑ（２．５）Ｊ２一ｂｍｇｌｑＪ

其中，ｑ＝【（Ｍ＋ｍ）（１＋ｍ１２）一（ｔ００２】

基于模糊控制的倒立摆研究

③一级倒立摆系统状态空间方程

系统状态空间方程为

．窖＝ＡＸ＋Ｂ村

Ｙ＝ＣＸ＋Ｄｕ

方程组（式２．３）对戈，方解代数方程．得到解如下：

工＝石

王：二型±型：！；ｊ＋竺笙

Ｉ（Ｍ＋研）＋Ｍｍｌ２；≯４－Ｊ＋搠，２

ｉ（Ｍ４－ｍ）＋Ｍｍｌ２Ｉ（Ｍ＋ｍ）＋Ｍｍｌ２＇“

≯＝≯

≯＝一用ｌｂ．ｍｌ

Ｉ（Ｍ＋ｍ）＋Ｍｍｌ２工＋一ｍｇｌ（肼Ｍ、＋ｍ）２，ｔｈＩ（Ｍ４－Ｍｍｌ＋肼、＋２’—Ｉ（Ｍ＋ｍ）—＋Ｍｍｌ２“

整理后，得到系统状态空间方程为：

ｏｍ２９，２

Ｉ（Ｍ＋，挖ｌ＋Ｍｍｌ‘二型±丝２＝Ｉ（Ｍ＋肌１＋肋锄，２＋：丽一户

０００

０二竺ｍｇｌ（Ｍ＋所１＝

Ｉ（Ｍ＋所１＋Ｍｍｌ２蒜而者面。巡才熹丽一产

少钋墨。０批旧”Ｈ

圳

即

０二型±丛！＝ｍ２９ｔ２

Ａ＝Ｉ（肘＋历）＋Ｍｍｌ‘Ｉ（Ｍ＋ｍ、＋Ｍｍｌ２

Ｏ００

０二型！ｍｇｌ（膨＋晰）

：

Ｉ（Ｍ＋ｍ、＋Ｍｍｌ２

Ｏ

Ｉ＋ｍｌ２

２

Ｂ＝Ｊ（Ｍ＋ｍ）＋Ｍｉｎｉ

０

拂ｆ一［：。０蝌。料

Ｉ（Ｍ＋ｍ１＋Ｍｍｌ２

对应本文所采取的实物系统。有：（２．７）

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