平面向量基本定理及坐标表示导学案

平面向量的基本定理及坐标表示

主备人：王桂香 复核人：王月珍 时间：2014-12-18

【学习目标】 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.

2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量 解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能 够用基底来表达.

3.了解向量的夹角与垂直的概念。 【教学重点】平面向量基本定理；

【教学难点】平面向量基本定理的运用。 一、【复习回顾】

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

?2．怎样理解向量的数乘运算λa？ ??（1）模：|λa|=|λ||a|； ?????（2）方向：λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 ????3. 向量共线定理 ：向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、【自主预习】

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.

????????探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量b=3e1+2e2、c=e1-2e2.

????探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2来表示向量b,c那么平面内??的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

??结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示??出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化。

平面向量的基本定理：

???如果e1、e2是同一平面内的两个__________向量,那么对于这一平面内的任意向量a,___________一

???对实数λ1、λ2,使a=____________________.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向

量的一组_______

??注意：1.e1、e2必须是 的向量，叫做 。2、λ

???aλ是被、e1、e2 的数量 1、2

3.基底不唯一,关键是不共线;4.由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

1

5.基底给定时,分解形式唯一.6.λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时

这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。 例题讲解：

????例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.

????变式：如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，

D CM a BMC和MD

探究（二）：平面向量的夹角

b A 探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

??a1、非零向量.b的夹角的定义： 。

??????oo

当?=0时，a、b 当?=90时，a、b 记做 当?=180时，a、b

o

2、两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内.

三、【自我检测】

??1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )

????A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等

????C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)

??????D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)

2

?????????????2.已知向量a= e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系（ ）

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

??????3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

???????4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .

?????????5.已知λ1＞0。λ2＞0e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_____(填共

线或不共线

6、用向量证明三角形中位线定理

7、已知|?a|=|?b|=2，且?a? 与b的夹角为60?，设?a??b与?a的夹角为α，求α＋β

【课后反思】

3

?a??b与?a的夹角是β，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7565.html