高中数学_高考数学所有知识点总结(高三复习资料)

[全国通用]高中数学高考知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1? 若B?A，则实数a的值构成的集合为1? （答：???1，0，?）

?3???

3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，??，an的所有子集的个数是2n；

（3）德摩根定律：

??CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?). 若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

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若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是?a，b?，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是_。 （答：?a，?a?）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

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如：求函数f(x)????1?x2???x?x?0?的反函数 ?x?0??x?1?x?1? （答：f?1(x)??） ?????x?x?0? 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

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在区间?a，b?内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

a?1，即a?3 3 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

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17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。） 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称

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f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

a(a?0)个单位y?f(x?a) 将y?f(x)图象?左移?????????右移a(a?0)个单位y?f(x?a)b(b?0)个单位 ?上移?????????下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b

注意如下“翻折”变换：

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：y?kx?b?k?0?

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（2）反比例函数：y?k?k?0?推广为y?b?k?k?0?是中心O'(a，b)的双曲线。

xx?a2b4ac?b??2 （3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x???图象为抛物线 ??2a4a2

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

???0?b2 如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k???k ???2a??f(k)?0

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由图象记性质！ （注意底数的限定！）

（6）“对勾函数”y?x?k?k?0?

x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

loga

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

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M1n ?logM?logN，logM?logaaaaMNn

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

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?? 又如：求函数y?1?2cos???x?的定义域和值域。 ?2??? （∵1?2cos???x?）?1?2sinx?0

?2? ∴sinx?2，如图： 2

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

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? y?sinx的增区间为?2k??????，2k????k?Z? 22? 减区间为?2k???，2k??3???k?Z?

?22??? 图象的对称点为?k?，0?，对称轴为x?k?? y?cosx的增区间为?2k?，2k?????k?Z? 减区间为?2k???，2k??2???k?Z?

??k?Z? 2?? 图象的对称点为??k??，0?，对称轴为x?k??k?Z? ??2? y?tanx的增区间为?k??????，k???k?Z 22? 26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。或y?Acos??x??? （1）振幅|A|，周期T?2? |?| 若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则?x0，0?为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令?x??依次为0，?，?，3?，2?，求出x与y，依点（x，y）作图

22象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

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??

解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T?? |?| 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

??x'?x?h a?(h，k) （1）点P（x，y）???????P'（x'，y'），则?平移至?y'?y?k （2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

??? 如：函数y?2sin??2x???1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象？ ?4?

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30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“k·?2??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k取奇、偶数。

如：cos9?7??4?tan????6???sin?21???

又如：函数y?sin??tan?cos??cot?，则y的值为 A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

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、“偶”指

“奇”

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

????? （1）角的变换：如?????????，????????????????

??22??2 （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。

1?cos2?3 （由已知得：

sin?cos?cos?1??1，∴tan?? 22sin?22sin?

21?tan????tan???1 ∴tann?32?） ???2???ta??????????1?tan?1?2·18?????·tan32 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

?a?2RsinAabc? 正弦定理：???2R??b?2RsinB sinAsinBsinC?c?2RsinC?

（1）求角C；

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（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1

（2）由正弦定理及a2?b2?

12c得： 2

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

?? 反正弦：arcsinx???，?，x??1，1

?2??2??? 反余弦：arccosx?0，?，x??1，1 ??? 反正切：arctanx????，?，?x?R? ?22????? 34. 不等式的性质有哪些？

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答案：C

35. 利用均值不等式：

a?b? a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab????求最值时，你是否注 ?2?22???2意到“a，b?R?”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定值？（一正、二

定、三相等） 注意如下结论：

当且仅当a?b时等号成立。

如：若x?0，2?3x?4x的最大值为

当且仅当3x?4x，又x?0，∴x?233时，ymax?2?43）

（∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值2为2） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

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37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？

g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1 （解集为??x|x??

1??） 2? 41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1 证明：

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（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是 （设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和

43. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d

性质：?an?是等差数列

（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

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Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，即：

?a?0 当a1?0，d?0，解不等式组?n可得Sn达到最大值时的n值。

a?0?n?1an?0 当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。 ??an?1?0 如：等差数?列an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n?

44. 等比数列的定义与性质

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy

?na1(q?1)n 前n项和：S??（要注意!） ?a11?qn(q?1)?1?q??? 性质：?an?是等比数列

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法

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111 如：?an?满足a1?2a2????nan?2n?5222 解：

?1?

111 n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222 ［练习］

数列?an?满足Sn?Sn?1? （注意到an?1

?2?

5an?1，a1?4，求an 3S?Sn?1?Sn代入得：n?1?4

Sn 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n n?2时，an?Sn?Sn?1????3·4n?1 （2）叠乘法

例如：数列?an?中，a1?3， 解：

an?1n?，求an ann?1

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法 n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)?

?两边相加，得：?????an?an?1?f(n)?? ［练习］

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只要证明A'?2a?x，2b?y?也在曲线C上，即f(x')?y' ?AA'⊥l （2）点A、A'关于直线l对称??

?AA'中点在l上?k·kl??1 ??AA'

?AA'中点坐标满足l方程?x?rcos?74.圆x2?y2?r2的参数方程为?（?为参数）

y?rsin??22?x?acos?xy 椭圆??1的参数方程为（?为参数） ?22ab?y?bsin? 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 （直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/756.html