第3章电测深曲线数字解释原理08_2

煤田电法勘探数字解释基础

§3-4 拟合核函数自动反演方法

及程序设计

一 数学模型：

对数型误差形式的目标函数：

p lnTk lnk ,p ①

k 1

m

2

k →视电阻率转换函数，第 k 个采样点的值； 式中： T

k ,p →理论模型核函数；

p 1, 2, N,h1,h2, hN 1 层函数，电性层数N；

m→ 采样点数。

由第一节所述的阻尼最小二乘法：

0

给定初值p ，则层参数修正量 p，

法方程： A I p B

式中：A aij

n n

T

B b1,b2, ,bn

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具体：

0 0

ln k,p ln k,p aij pj pik 1

m

0 bj lnk lnk,p

k 1

m

ln k,p0 pj

实际计算中，为节省计算量，利用 A 中元素的性质：（对称性）

定义：

0

ln 1,p

p1 0 ln2,p J p1

0 lnm,p p1

ln 1,p0

ln 2,p0 p2

ln m,p0 p2 p2

ln 1,p0

pn

ln 2,p0 pn

ln m,p0 pn m n

T

则有：A J J

1 T ln0 1,p

T 2

ln0

而若令： G 2,p

T m ln 0 m,p m 1

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则有：

T B J G

所以，法方程为：

TTJJ I P JG ②

式中：J—雅可比（Jacobi）矩阵，是关于理论核函数 的偏

导数的矩阵。

二 雅可比矩阵的计算：

核函数递推公式：

2 h

Vj Tj 11 ej

Vj j Tj V T 2 hj

1 e 1 j2j 1 ① j

TN Nj (N 1,N 2, ,2,1)

T1

利用复合函数求导的连锁法求

k

。

①当j>k时， Tj中不含 k ，hk ， 如 T3 中不含 2 ，h2

Tj k

0

Tj hk

0 如:

T3

0 2

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②当j=k时，如：

T T T1 T

，1 ，…，3 ，3 1 h1 3 h3

2

j 1 2 j Tj 1 j Tj 1 j T j 2 j 1 jTj 1 j

②③ j Tj Vj

T2

Tj 1 j 1 j 4

h h22

j Vjj

1 jTj 1 j j j

式中： j

j e h

v1 e 2 h

j

j

j 1 e

2 hj j③当j<k时,如:

T1 ， T

1h 3 3

Tj Tj Tj 1 Tk k Tj 1 Tj 2

k

Tj Tj Tj 1

hT T kk Tj 1 j 2 hk其中:

Tj 2

j T

1 j 1

1 2

⑥ j

T

j 1

/ j

总结:

T1 T1

P

1 1 T1 T1

P

2 h1

T1 T1 T2

P 3 T2 2

④⑤

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T1 T1 T2

P

4 T2 h2

T1 T P T1T T

2 N 1 n 2 2 T3 N 1

T1 T1 T

2 T P N 1 n 1 T2 T3 hN 1

T1 T1 T2

TN P n T2 T3 N

程序见P190。

注：具体计算时，利用递推公式，反向TN，算出 T Ti

i， 的值。 i

即：⑴ T TN

N， N

⑵T TN 1N 1，， T

N 1 N 1 N 2⑶T TN 2N 2，

， T

N 2 N 2 N 3

（N-1）T2，

T1

1

TN 1， ，T1 时，一次计

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三 阻尼因子 的选择

（书上内容P51）

阻尼最小二乘法方程：

(A I) P B

式中：I → 单位阵；

→增大： ， 一般为2～10 。 减少： / 这种设置的缺点及改进：

1、各电性层层参数Pi相差很大， s曲线形态变化幅度主要取决于

Pi/ j。

如： 1 10， 2 1， 3 100 P 1 111 2 101 ,2 10% → 11 1.1 110

改进：构造阻尼因子矩针D，主对角线上的元素为：

2j j 1,2, ,n

1/ 12 0

即：D

2 0 1/ n

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则法方程：

A D P B

2、根据线性化指标R来增大 ，或减少 ，见P52。

R

(k) (k 1)

(k) (k 1)

式中： k , k 1 ：以p k ,p k 1 为参数的目标函数值：

k ln k,p k p lnT

k 1m

2

k , k 1 ： k,p k 作线性化处理后的目标函数值：

k k 1

n 2 pibi pi piaij i 1i 1 j 1

n

n

具体上：设常数R1,R2为：0<R1<R2< 1

① R

R2时，目标函数线性化程度较好,迭代收敛, ↓

/ 1（ 1 2～10）；

② R

R1时，目标函数线性化程度较差,迭代不收敛, ↑

2（ 2 2～10）；

向最速下降方向靠拢,保证收敛。

③ R1

R R2时，线性化一般， 不变。

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四 拟合核函数法自动反演实用程序

自动反演步骤如下：

值； ① 给出实测 s值，计算视电阻率转换函数T

② 设定 初值，常数 1, 2,R1,R2,其它指标；

0 0

③ 给出模型参数初值P，计算理论 , ； ④ 计算雅可比矩阵，形成法方程 A D P B ； ⑤ 解法方程求 P，P

1

P 0 P；

1

⑥ 由P 1 计算目标函数 ，计算R； ⑦ 比较R与R1,R2大小：

ⅰ R R1时,发散, 2 转⑤； ⅱ R R2 时, 收敛,转⑧；

ⅲ R1 R R2 时， 不变，令P 0 P 1 ，转④。

01

⑧ 令P P ； 1 ， 转④ 步继续迭代，直到取得满意

的结果为止。

解释方程：一般用高斯主元消去法。

拟合核函数法自动反演程序框图 P53

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图3-4 拟合核函数法自动反演解释程序框图

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§3-5 直接拟合视电阻率法反演原理

一 数学模型

对数型目标函数：

m 2

s k ln s k,P P ln

k 1

①

首先对 s k,P 线性化，即在初值P0的邻域内泰勒级数展开：

mn ln s k, 0

P ln s k ln s k,P0 Pi ②

k 1 i 1i

2

根据多元函数求极值的条件：

P j

0 j 1,2, ,n

可建立法方程： A P B ③

T

A J J同样：

ln s 1,P0

ln s 2,P0 2

ln s m,P0 2 2

ln s 1,P0

n

ln s 2,P0

n

ln s m,P0 n m n

ln s 1,P0

1

ln 2,Ps 0 J 1

ln s m,P0 1

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s 1 ln s1,P0

P 1 s 2 P ln

s2,P0 P 2 B JT

P n n 1 ln s m m,Ps0 m 1

阻尼最小二乘法：

JT J D

P JT

G

二 雅可比矩阵J

的形成： 求

s k,P 的偏导数，有二种方法：

1、数字滤波法：

2

s

T1

J1

d 求导：

s P 2

j T1 0 P J1 d j

将上式离散化：

s k i P T1 C i ji

j ④ ①

②

③

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计算步骤：

①计算采样点 k 1, ,m 的 T1

的值； j

②对

T1

P进行滤波。 j

此方法： 优点：精度高 缺点：①计算量大 ②多计算 T1

P的采样点数。 j

2、差商近似代替法：用差商代替微商。

0000s k,P0 k,P1

,P2

, ,Pj

, ,P 0

sn

s k,P

P

j

式中： P0j —大于零的常数。①

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注： s T 的 s

曲线首尾延长问题： 有图

以nT 2

y

s

b i

i y i n1

设 b i : n1 2,n2 3

1 3

T

s 1 i b i i 2 b 2 b 1 b 0 b 1 T

1 s 1 s 0 s 1 s 2

T

0 s 2 s 1 s 0 s 1 T

1 s 3 s 2 s 1 s 0

T

6 s 8 s 7 s 6 s 5 b 2 s 3 s 2 s 1 s 4 b 3 s 4 s 3 s 2 s 3

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拟合核函数法与直接拟合视电阻率法比较： ⒈ 拟合核函数法

① 速度快，迭代较稳定； ② 拟合精度低；

③ 须对实测 s曲线首层延长。 ⒉ 直接拟合视电阻率法

① 计算量大，迭代初值要求高（差商法）； ② 拟合精度高；

③ 不需对 s曲线延长处理。

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§3-6 DZ法自动反演解释原理

一 Dar—Zarrouk曲线

Dar—Zarrouk曲线由Maillet在1947年首次命名、描述。 1974年，A.R.Zohdy在此基础上对其作修正及研究,建立了DZ法自动反演解释的基本理论和方法.

设n层层状介质模型,切出高Hn hi，底面为1 1m的柱体，

则

总纵向电导： Sn

i 1

n

hi

i

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总横向电阻 Tn

hi i

i 1

n

则有 Tn/Hn， Hn/Sn 各向异性系数

n

1 根据：一个厚度为H，各向异性系数为 的电性层与一个各向同性的厚度为

H，电阻率为 m 因此，上面给出的地电模型的等效各向同性电性层层参数为：

m ①

H H Hn n eq

式中： m——拟真电阻率，又称DZ电阻率。 Heq——拟真深度，又称DZ深度。

当在 n层增加h厚度时，

T Tn h

S S 0 h hn 1

n

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这时，

m

②

H eq

即 m与Heq存在某种函数关系：

m f(Heq) ③

由上式确定的函数曲线就是Dar-Zarrouk曲线（DZ曲线），它以特殊的方式反映了地下介质电阻率随深度变化的规律。

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二 DZ 曲线的计算及特征分析

1、DZ 曲线正演计算公式 由公式：

m

H eq

① 当0 h h1时，

T h 1 S 1

1 m

H h eq

证明：Heq在 0,h1 之间，是一条渐近线。

② 当h1 h h2时，

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T 1h1 2(h h1) T1 2h

S 1

h h1

2

S1 h2

h h h1

当h h2 时，

2

m

2

Heq

同样，当 h h3,h4, ,hN 1 时， 有：( 3m,H3eq),( 4m,H4eq),

这些点称为DZ点， HNeq （不存在DZ点）。

说明：N层断面有N—1个DZ点。DZ点之间的曲线为分只枝曲线。 （3） 第j分枝曲线：有图

m eqm

(j 1)(j)

H H H H,j 2,3, ,N 1eqeqeqeq

（4）由DZ点坐标计算层参数的反演计算公式：

2、DZ曲线特征：（N层地电断面） ① 由N个光滑的分枝曲线组成

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②各分枝曲线的交点为折点（不光滑），此交点称为DZ点（对应了电性层的分界面） ③与 曲线对比：

ⅰ 二者首支重合，都以 1 为渐近线

ⅱ n 为非零有限值时，二者都以 n 为尾支水平渐近线 ⅲ n 时，二者都以450 角直线上升

0n 0 时，DZ曲线以 450 下降， 曲线以 63ⅳ 二者曲线变化趋势基本一致 ⅴ s(r) 圆滑，DZ曲线不圆滑。 有图

下降

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三 DZ反演解释原理与方法

1．原理

根据：地电断面的层参数 ( i,hi) 变化时，引起的DZ曲线变化与电测深曲线变化规律是一致的。 有图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7544.html