不定积分例题及答案

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，?1则 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?分部积分法 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 (x))?C ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 1

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)

?xdx2x

思路: 被积函数 1x2x?52?x，由积分表中的公式（2）可解。

3?52解：

?x?dx22???xdx??x2?C

3x1x)dx

★(2)(3x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

3解：?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x3??x2dx ★(3)（2?x）11312131241?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)

?x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：

?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1dx ★★(5)?2x?13x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

x2?1x2?1分别积分。

3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2dx ★★(6)?1?x2 2

x2x2?1?11??1?思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，1?x21?x21?x2分别积分。

x21dx?dx?dx?x?arctanx?C. 解：?22??1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，

通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)（-?x134+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411+-）dx?xdx?dx?3?x?3dx?4?x?4dx ?2xx3x4??2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)(?32?)dx 221?x1?x思路:分项积分。 解：(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x★★(9)思路:解：

?xxxdx

111??248xxx?？看到xxx?x7815?x，直接积分。

78?8xxxdx??xdx?x8?C.

151?x2(1?x2)dx

★★(10)

思路:裂项分项积分。 解：

111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xxe?1e?1xx★★(12)3edx

? 3

（3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e?x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.

ln(3e)xxx2★★(13)cotxdx

xxx?思路:应用三角恒等式“cotx?cscx?1”。

22解：cotxdx?(cscx?1)dx??cotx?x?C

22??2?3x?5?2xdx ★★(14)?x32?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数

3x32()x2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32xdx ★★(15)?cos2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

x1?cosx11d?dx?x?sinx?C. ?2?2221dx ★★(16)?1?cos2x解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

11112dx?dx?secxdx?tanx?C. ?1?cos2x?2cos2x2?2cos2xdx ★(17)?cosx?sinx解：

思路:不难，关键知道“cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。

22cos2x?cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.

cos2xdx ★(18)?22cosx?sinx解：

思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。

22cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?解：??cos2x?sin2x?sin2x?cos2xx cos2x?sin2x??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.

4

★★(19)(?1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2，应用公式(5)即可。 ????2221?x1?x1?x1?x1?x思路:注意到被积函数

解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.

21?x1?x1?x1?cos2xdx ★★(20)?1?cos2x1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 21?cos2x222cosx1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：

?d[?f(x)dx]?f(x)即可。 dxxf(x)??11?x2,?f(x)??1x1?x2

★3、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，f(x)?sinxdx??cosx?C1

?dx??sinx?C1x?C2。 所以f(x)的原函数全体为：（?cosx?C1）?12xxexx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数

2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：只需验证即可。 解：

d1ddex?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x

dx2dxdxchx?shx2★5、一曲线通过点(e,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此

5

曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：

d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1， 所以曲线的方程为f(x)?ln|x|?1.

★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

（2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)， 则由速度和位移的关系可得：

d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。

3(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?3?27米；

(2)令t?360?t?33360秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5

1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

6

3t★（1）edt

?思路:凑微分。 解：edt??3t13t13ted(3t)?e?C ?333★(2)(3?5x)dx 思路:凑微分。 解：(3?5x)dx??★(3)

3114(3?5x)d(3?5x)??(3?5x)?C ?520??31?3?2xdx

思路:凑微分。 解：

1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x2?3?2x2★(4)

?135?3xdx

思路:凑微分。

12?1111133解：?dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C. ??333325?3x5?3xxb★(5)(sinax?e)dx 思路:凑微分。

?1x1解：?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C

aba★★(6)

xbxx?costtdt

12t思路:如果你能看到d(t)?dt，凑出d(t)易解。

解：

?costtdt?2?costd(t)?2sint?C

102★(7)tanxsecxdx

?思路:凑微分。 解：tan★★(8)

?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx

7

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：

dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C

★★(9)tan1?x?2xdx1?x2

思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！

解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C

★★(10)

dx?sinxcosx

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。

dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C

方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。

22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx

??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11)

dx?ex?e?x

dxexdxdexdex思路:凑微分：x。 ???e?e?xe2x?11?e2x1?(ex)2dxexdxdexx解：?x???arctane?C ?x2xx2??e?ee?11?(e)2★(12)xcos(x)dx

?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)

?21122cosxdx?sinx2?C ?22

?xdx2?3x2 8

1dx21d(2?3x2)思路:由凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx解：

?1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C

6632?3x22?3x2xdx2★★(14)cos(?t)sin(?t)dt

?思路:凑微分。

解：cos(?t)sin(?t)dt??21?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)

??1cos3(?t)?C. 3?3x3dx ★★(15)?41?x思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)

sinx?cos3xdx

思路:凑微分。 解：

sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)

?x9x92?x20dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：

?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x102)21x10d?arcsin()?C

2102x10★★(18)

?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

9

12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2）

222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)

12?dx?2x2?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx

??1221?(11?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?12222??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1

★(20)

xdx?(4?5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)?1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.

25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?

(x?1)100思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2?)dx 100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 10

思路:令x?atant,t?解：令x?atant,t??2，三角换元。

2????2dxasec2tdtdt11??3??costdt?sint?C322?2?223asectasectaa(x?a)，则dx?asectdt。

xa2

a?x22?C.★★★★(5)

?xx2?14dx x?12思路:先令u?x，进行第一次换元；然后令u?tant,t??2，进行第二次换元。

1x2?1解：?dx??dx2，令u?x2得：

2x2x4?1xx4?1x2?1?1u?12u?tant,t?du?sectdt， ，令，则dx?du?xx4?12?uu2?12??1u?11tant?11tant?12du?sectdt?sectdt???4222tant?sect2tantxx?1uu?1111??(csct?sect)dt?lnsect?tant?lncsct?cott?C222dx?11?lnu2?1?u?ln22（与课本后答案不同） ★★★(6)

x2?1x2?1

u2?111??C?lnuu21x?1?x?ln242x4?1?1?C.2x?5?4x?x2dx

思路:三角换元，关键配方要正确。 解：

5?4x?x2?9?(x?2)2，令x?2?3sint,t??2，则dx?3costdt。

??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C2249x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232★★4、求一个函数f(x),满足f(x)?'

11?x，且f(0)?1。

思路:求出11?x的不定积分，由条件f(0)?1确定出常数C 的值即可。

16

解：

?11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.

令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，

?f(x)=21?x?1.

n★★★5、设In?tanxdx,，求证：In??1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1nn?2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：

tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。

nn?2xsec2x?tann?2x)dx?tann?2xsec2xdx?tann?2xdx 证明：In?tanxdx?(tan??????tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3

1、 求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★（1）arcsinxdx

思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。 解：arcsinxdx?xarcsinx?x00???11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x?xarcsinx?1?x2?C.

2★★（2）ln(1?x)dx

?思路：同上题。

2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x1?x21?x222 17

2(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x2 1?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★（3）arctanxdx 思路：同上题。

?dx1d(1?x2)?xarctanx??解：?arctanxdx?xarctanx??x 1?x221?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C

2x?2x★★(4)?esindx

2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

xx1?2x1?2xx1?2x1x?2xesindx?sind(?e)??esin?ecosdx ???222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242

1x1x1x??e?2xsin?e?2xcos??e?2xsindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.217222★★(5)xarctanxdx

?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x313131dx 解：?xarctanxdx??arctanxd()?xarctanx??x3331?x22131x131x3?x?x?xarctanx?(x?)dx dx ?xarctanx??22?331?x331?x1311x1312112xarctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x)22?3331?x3661?x

13121?xarctanx?x?ln(1?x2)?C.366?★(6)xcosdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

?x2 18

解：xcosdx?2xdsin ?2xsin?x2?xxxxxx?2xsin?2?sindx?2xsin?4?sind 222222xx?4cos?C. 222★★(7)xtanxdx

?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

2解：xtanxdx??222x(secx?1)dx?(xsecx?x)dx?xsecxdx??xdx ???11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.

222★★(8)lnxdx

?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：lnxdx?xlnx?x?2lnx?dx?xlnx?2lnxdx?xlnx?2xlnx?2x??22?1x2?2?1dx x?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.

★★(9)xln(x?1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

?x2121x2?xln(x?1)??dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d222x?1111121x2?1?1)dx dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?2dx

x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln2x1121112lnx2解：?2dx??lnxd(?)??lnx??2lnx?dx??lnx?2?2dx

xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C

xxxxxxxx12 ??(lnx?lnx?2)?C

x★★(11)coslnxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

? 19

解：

1coslnxdx?xcoslnx?xsinlnx?dx?xcoslnx??sinlnxdx ??x1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx

x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)

lnx?x2dx

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。

n★★(13)xlnxdx?(n??1)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1xn?1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)??2?x★★(14)xedx

?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

2?x2?x?x2?x?x?x解：xedx??xe?e2xdx??xe?2xe?2edx

?????x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C

32★★(15)x(lnx)dx

?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx?(lnx)d(x)??32?21441411x(lnx)2??x4?2lnx?dx 44x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?★★(16)

lnlnx?xdx

lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。 xlnlnx111dx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx??dx?lnxlnlnx??dx 解：?xlnxxx思路： 将积分表达式

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