《复变函数与积分变换》习题册

第一章 复数与复变函数

本章知识点和基本要求

掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；

熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题

1、若等式i(5?7i)?(x?i)(y?i)成立，则x?______, y?_______. 2、设(1?2i)x?(3?5i)y?1?3i，则x? ，y?

12+3i3、若z=-，则z=

i1-i4、若z=(3+i)(2-5i)，则Rez= 2i45、若z?i?2?i，则z? 1?i6、设z?(2?i)(?2?i)，则argz?

7复数z?1?i的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数z??12?2i的三角表示式为 _________________，指数表示式为

_________________. 9、设z1?2i,z2i?4?1?i，则Arg(z1z2)= _ _____. 10、设z?2e,则Rez=____________. Im(z)? 。z= 11、.方程z3?27?0的根为_________________________________.

12、一曲线的复数方程是z?i?2，则此曲线的直角坐标方程为 。

13、方程Im(i?z)?3表示的曲线是__________________________. 14、复变函数w?z?2的实部u(x,y)?_________,虚部v(x,y)?_________. z?1- 1 -

15、不等式z?1?z?1?4所表示的区域是曲线 的内部。

316、1=

二、判断题（正确打√，错误打?）

1、复数7?6i?1?3i. ( ) 2、若z为纯虚数，则z?z. ( ) 3、若 a为实常数，则a?a （ ） 4、复数0的辐角为0.

5、f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ 6、设z1,z2为复数，则z1z2?z1?z2。 （ 7、z1?z2?z1?z2 （ 8、参数方程z?t2?ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线y?x2. (

三、单项选择题

1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是 （ ）

A.z·

z=Re(z·z) B. z·

z=Im(z·z) C. z·

z=arg (z·z)

D. z·

z=|z| 2、方程z3?8 的复根的个数为 （ ）

A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当z?1?i1?i时，z100?z75?z50的值等于 （ ）

A i B ?i C 1 D ?1 4、方程z?2?3i?2所代表的曲线是 （ ）

A 中心为2?3i，半径为2的圆周 B中心为?2?3i，半径为2的圆周 C中心为?2?3i，半径为2的圆周 D中心为2?3i，半径为2的圆周

- 2 -

） ）

)

） 四、计算题

1．求出复数z?(?1?i3)4的模和辐角。

22．设z?x?iy满足Re(z?3)?4,求x与y的关系式

3、将复数z?12?6i化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1-cosj+isinj,(0＃j

- 3 -

p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

5．将直线方程2x?3y?1化为复数形式。

6、求以下根式的值： （1） ?2?2i

(2)

3i (3) - 4 -

41 第二章 解析函数

本章知识点和基本要求

理解复变函数的导数及复变函数解析的概念； 掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；

掌握解析函数的基本性质；

了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题

1、Ln(1?i)的主值为

2、Ln(-i)= ，主值为 3、设ez??3?4i , 则Re(iz)?_________________ 4、3i?_____________________________. 5、(1?i)i?________________________. 6、i1?i? 7、指数函数ez的周期是 8、设f(z)?(1?z)e?z，则f?(z)? 9、设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(1?i)? 10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析，则f￠(i)= 11、.函数f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。 二、判断题（正确打√，错误打?）

1、.若f?(z)在区域D内处处为零，则f(z)在D内必恒为常数。 （ ）

2、.若f(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。 （ ） 3、函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点

(x0,y0)可微。 （ ）

- 5 -

?S?3?3S1?51S?13e1、(t?1)u?t?1? 2、2 3、 4、 5、 22S?9S?3?S?1??1?S?1??16、

2?S?3?2?4 7、

2?S?1?3?2?S?1?2?11 8、?sint?tcost?

2S?1cos4t?9、F1?S??F2?S? 10、

1sin4t 2二、单项选择题

C D C D B D C

三、计算题

2a2aS1?1S?a?1?125S???1、⑴ ? ⑵ ⑶ ????2222222?S?a2?S?a2S25S?4???S?a??4??S?a?? ⑷

131111??5 ⑹ ⑸ ⑺ ?22S?2S?5S?2S?2?S?1??S?a??1S2?a21?1S?244⑻ ??2 ⑼ ⑽ ???232222?SS?16??S?1??S?1?S?1?S?a?4?S?1?cos2?Ssin2?2Scos2?Ssin2e?2Se ⑿ ⑾ ⒀ ⒁2 2222S?1S?1S?1??S?1??4???12、tsint

2b1?teat?ebt? ⑷ et?1 ⑸??e?2t?6e3t? 3、⑴ 1?e ⑵ sin(t?1)u(t?1) ⑶ ?a?b5 ⑹

??t??sint ⑺ 2cos3t?sin3t ⑻ 2?e?2t?e?4t? ⑼ 4tet?et?2

?tt2tt2t4、⑴ e?3e?2e ⑵ 1?2e?e ⑶ ⑷ Y?S??1t?t?e?e? 21?t72tttyt?e?4e?e , y(t)?tesint ⑸ ??2233?S?2S?2?t3tt3t2?S?1?5、⑴ x?t??2e?e,y?t??3e?4e ⑵ x?t??1?cost,y?t??sint

⑶ x?t??y?t??e ⑷ x?t??3?2e?et?t?2t,y?t??2?4e?t?2e?2t

- 21 -

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