高等数学-02章导数与微分

高等数学教案 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动? 时刻t质点的坐标为s? s是t的函数? s?f(t)?

求动点在时刻t0的速度? 考虑比值

s?s0f(t)?f(t0)? ? ?t?t0t?t0这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度? 如果时间间隔选较短? 这个比值在实践

中也可用来说明动点在时刻t0的速度? 但这样做是不精确的? 更确地应当这样? 令t ?t0?0? 取

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比值

f(t)?f(t0)的极限? 如果这个极限存在? 设为v ? 即

t?t0t?t0 v?limf(t)?f(t0)?

t?t0这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度? 2．切线问题

设有曲线C及C上的一点M? 在点M外另取C上一点N? 作割线MN? 当点N沿曲线C趋于点M时? 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT? 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线?

设曲线C就是函数y?f(x)的图形? 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0?f(x0))处的切线? 只要定出切线的斜率就行了? 为此? 在点M外另取C上一点N(x, y)? 于是割线MN的斜率为 tan??y?y0f(x)?f(x0)? ?x?x0x?x0其中?为割线MN的倾角? 当点N沿曲线C趋于点M时? x?x0? 如果当x? 0时? 上式的极限存

在? 设为k ? 即 k?limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0存在? 则此极限k 是割线斜率的极限? 也就是切线的斜率? 这里k?tan ???其中?是切线MT的倾角? 于是? 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线?

二、导数的定义

1? 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出? 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限?

f(x)?f(x0) lim?

x?x0x?x0令?x?x?x0? 则?y?f(x0??x)?f(x0)? f(x)?f(x0)? x?x0相当于?x ?0? 于是limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0成为 limf(x0??x)?f(x0)?y或lim?

?x?0?x?x?0?x 定义 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 当自变量x在x0处取得增量?x(点x0??x

仍在该邻域内)时? 相应地函数y取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)? 如果?y与?x之比当?x?0时的极限存在? 则称函数y?f(x)在点x0处可导? 并称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数? 记为y?|x?x0? 即

f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y? ?lim?x?0?x?x?0?x高等数学课程建设组

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也可记为y?|x?x0?

dydf(x)或? dxx?x0dxx?x0 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在?

导数的定义式也可取不同的形式? 常见的有 f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)?

h f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)?

x?x0 在实际中? 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题? 在数学上就是所谓函数的变化率问题? 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述? 如果极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)不存在? 就说函数y?f(x)在点x0处不可导?

?x?x?0 如果不可导的原因是由于limf(x0??x)?f(x0)???

?x也往往说函数y?f(x)在点x0处的导数为无穷大?

如果函数y?f(x)在开区间I内的每点处都可导? 就称函数f(x)在开区间I内可导? 这时? 对于任一x ?I? 都对应着f(x)的一个确定的导数值? 这样就构成了一个新的函数? 这个函数叫做dydf(x)原来函数y?f(x)的导函数? 记作 y??f?(x)? ? 或?

dxdx

导函数的定义式? y??lim?x?0f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)?lim? h?0?xh f ?(x0)与f ?(x)之间的关系?

函数f(x)在点x0处的导数f ?(x)就是导函数f ?(x)在点x?x0处的函数值? 即 f?(x0)?f?(x)x?x0?

导函数f ?(x)简称导数? 而f ?(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ?(x)在x0处的值? 左右导数? 所列极限存在? 则定义

?(x0)?lim f(x)在x0的左导数?f?h?0?f(x0?h)?f(x0)?

hf(x0?h)?f(x0)?

h?(x0)?lim f(x)在x0的右导数?f? 如果极限lim 如果极限limh?0?h??0f(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的左导数?

hf(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的右导数?

hh??0?(x0)?f??(x0)?A? 导数与左右导数的关系??f?(x0)?A?f?高等数学课程建设组

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2．求导数举例

例1．求函数f(x)?C（C为常数）的导数? 解? f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x)?limC?C?0? h?0hh即????(C ) ??0?

例2? 求f(x)?1的导数?

x1?1f(x?h)?f(x) 解? f?(x)?lim? ?limx?hx?lim?h??lim1??1h?0h?0hhx2?h?0h(x?h)xh?0(x?h)x 例3? 求f(x)?x的导数??

f(x?h)?f(x) 解? f?(x)?lim?limx?h?x

h?0h?0hh?limh1?lim?1?

h?0h(x?h?x)h?0x?h?x2xnnf(x)?f(a)?limx?a?lim(x n?1?ax n?2??? ? ???a n?1)?na n?1? x?ax?ax?ax?a 例2．求函数f(x)?x n (n 为正整数)在x?a处的导数? 解? f ?(a)?limx?a把以上结果中的a 换成x 得 f ?(x)?nx n?1? 即 (x n)??nx n?1? (C)??0? (1)???12? (x)??1? (x?)????x??1?

xx2x 更一般地? 有(x ?)???x ??1 ? 其中?为常数?

例3．求函数f(x)?sin x 的导数? 解? f ?(x)?limh?0sin(x?h)?sinxf(x?h)?f(x)?lim?h?0hh1hh????????????????????????lim?2cos(x?)sin?

h?0h22sinhh???????????????????????limcos(x?)?2?cosx?

hh?022即 (sin x)??cos x ?

用类似的方法? 可求得 (cos x )???sin x ?

例4．求函数f(x)??a x(a>0? a ?1) 的导数? 解? f ?(x)?limh?0x?hxf(x?h)?f(x)?lima?a?h?0hh高等数学课程建设组

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hht ?axlima?1令a?1?taxlim h?0ht?0loga(1?t) ?ax1?axlna? logae 特别地有(e x )?e x ?

例5．求函数f(x)?log a x (a>0? a ?1) 的导数? 解? f?(x)?limh?0log(x?h)?logaxf(x?h)?f(x)??limah?0hhx??????????????????????????lim1loga(x?h)?1limxloga(1?h)?1limloga(1?h)h

h?0hxxh?0hxxh?0x ?1logae?1? xxlna 解?f?(x)?limloga(x?h)?logax?lim1loga(1?h)?h?0hh?0xhx ?1limloga(1?h)h?1logae?1?

xxlnaxh?0x

即 (logax)??1?? ?

xlnax)??1? 特殊地 (lnx

(logax)??1??(lnx)??1?

xlnax 3．单侧导数? 极限limh?0f(x?h)?f(x)存在的充分必要条件是

h limh?0?f(x?h)?f(x)f(x?h)?f(x)及lim?h?0?hhf(x?h)?f(x)?

hf(x?h)?f(x)?

h都存在且相等??

?(x0)?lim f(x)在x0处的左导数?f?h?0??(x0)?lim f(x)在x0处的右导数?f?h?0? 导数与左右导数的关系? 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ??(x0) 和右导数f ??(x0)都存在且相等? 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导? 且右导数f ??(a) 和左导数f ??(b)都存在? 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导?

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例6．求函数f(x)??x|在x?0处的导数?

?(0)?lim 解? f??(0)?lim f?h?0?f(0?h)?f(0)|h|?lim??1? h?0?hhf(0?h)?f(0)|h|?lim?1?? h?0?hhh?0? 因为f ??(0)? f ??(0)? 所以函数f(x)?|x|在x?0处不可导?

四、导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数f ?(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率? 即

f ?(x 0)?tan ? ? 其中?是切线的倾角?

如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大? 这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x?x0为极限位置? 即曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0? ? 由直线的点斜式方程? 可知曲线y?f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y?y0?f ?(x0)(x?x0)?

过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y?f(x)在点M处的法线如果 f ?(x0)?0? 法线的斜率为? y?y0??1? 从而法线方程为 f?(x0)1(x?x)?

0f?(x0) 例8? 求等边双曲线y?1在点(1, 2)处的切线的斜率? 并写出在该点处的切线方程和法

x2线方程?

解? y???12? 所求切线及法线的斜率分别为

x k1?(?12)x?1??4? k2??1?1?

xk142 所求切线方程为y?2??4(x?1)? 即4x?y?4?0?

2 所求法线方程为y?2?1(x?1)? 即2x?8y?15?0?

42 例9 求曲线y?xx的通过点(0? ?4)的切线方程? 解 设切点的横坐标为x0? 则切线的斜率为 3 f?(x0)?(x2)??x2231?3x0? x?x02高等数学课程建设组

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于是所求切线的方程可设为 y?x0x0?3x0(x?x0)?

2 根据题目要求? 点(0? ?4)在切线上? 因此 ?4?x0x0?3x0(0?x0)?

2解之得x0?4? 于是所求切线的方程为 y?44?34(x?4)? 即3x?y?4?0?

2 四、函数的可导性与连续性的关系

设函数y?f(x)在点x0 处可导? 即lim lim?y?lim?x?0?y?f?(x0)存在? 则

?x?0?x?y?y??x?lim?lim?x?f?(x0)?0?0?

?x?0?x?x?0?x?x?0这就是说? 函数y?f(x)在点x0 处是连续的? 所以? 如果函数y?f(x)在点x处可导? 则函数在该

点必连续?

另一方面? 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导?

例7． 函数f(x)?3x在区间(??, ??)内连续? 但在点x?0处不可导? 这是因为函数在点x?0处导数为无穷大

3f(0?h)?f(0) lim?limh?0????

h?0h?0hh

x §2? 2 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数? 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数? 并且 [u(x)??v(x)]??u?(x)??v?(x) ?

[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?

u(x)??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) ?? ??v2(x)?v(x)?? 证明 (1)[u(x)?v(x)]??lim[u(x?h)?v(x?h)]?[u(x)?v(x)]

h?0h高等数学课程建设组

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u(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim??u?(x)?v?(x)? ??h?0?hh?? 法则(1)可简单地表示为

(u?v)??u??v? ? (2)[u(x)?v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)

h?0h ?lim1[u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x)] h?0hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim? v(x?h)?u(x)?h?0?hh?? ?limu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x) ?limv(x?h)?u(x)?limh?0h?0h?0hh ?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?

其中limv(x?h)?v(x)是由于v?(x)存在? 故v(x)在点x连续?

h?0 法则(2)可简单地表示为 (uv)??u?v?uv??

u(x?h)u(x)?u(x)??v(x?h)v(x)u(x?h)v(x)?u(x)v(x?h)? (3) ? ?lim?limh?0hv(x?h)v(x)h?v(x)??h?0 ?lim[u(x?h)?u(x)]v(x)?u(x)[v(x?h)?v(x)]

h?0v(x?h)v(x)hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)v(x)?u(x)hh ?lim

h?0v(x?h)v(x) ?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?

v2(x)法则(3)可简单地表示为

?uv? (u)??uv??

vv2?uv? (u?v)??u??v?? (uv)??u?v?uv?? (u)??uv??

vv2 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形? 例如? 设u?u(x)、v?v(x)、

w?w(x)均可导? 则有

(u?v?w)??u??v??w??

(uvw)??[(uv)w]??(uv)?w?(uv)w?

????????????????????????????(u?v?uv?)w?uvw??u?vw?uv?w?uvw?? 即 (uvw)???u?vw?uv?w?uvw??

在法则(2)中? 如果v?C(C为常数)? 则有

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(Cu)??Cu??

例1．y?2x 3?5x 2?3x?7? 求y?

解? y??(2x 3?5x 2?3x?7)?? (2x 3)???5x 2)???3x)???7)?? 2 (x 3)?? 5? x 2)?? 3? x)? ?2?3x 2?5?2x?3?6x 2?10x?3?

例2? f(x)?x3?4cosx?sin ?? 求f ?(x)及f?( ?)?

22 解? f?(x)?(x3)??(4cosx)??(sin ?)??3x2?4sinx?

2 f?( ?)?3?2?4?

24 例3．y?e x (sin x?cos x)? 求y??

解? y???e x )?(sin x?cos x)? e x (sin x?cos x)? ? e x (sin x?cos x)? e x (cos x ?sin x) ?2e x cos x? 例4．y?tan x ? 求y??

(sinx)?cosx?sinx(cosx)? 解? y??(tanx)??(sinx)??cosxcos2x22???????????????????cosx?2sinx?12?sec2x?

cosxcosx?

即 (tan x)??sec2x ?

例5．y?sec x? 求y??

(1)?cosx?1?(cosx)?sinx 解? y??(secx)??(1)???sec x tan x ? ?cos2xcosxcos2x即 (sec x)??sec x tan x ?

用类似方法? 还可求得余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ?

(csc x)???csc x cot x ?

二、反函数的求导法则

定理2 如果函数x?f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ?(y)?0? 那么它的反函数y?f ?1(x)在对应区间Ix?{x|x?f(y)? y?Iy}内也可导? 并且 dy [f?1(x)]??1? 或?1?

dxdxf?(y)dy 简要证明? 由于x?f(y)在I y内单调、可导(从而连续)? 所以x?f(y)的反函数y?f ?1(x)存在? 且f ?1(x)在I x内也单调、连续?

任取x ?I x? 给x以增量?x(?x?0? x??x?I x)? 由y?f ?1(x)的单调性可知 ?y?f ?1(x??x)?f ?1(x)?0?

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于是

?y1?? ?x?x?y因为y?f ?1(x)连续? 故 lim?y?0

x?0从而

[f?1(x)]??lim?y?lim1?1?

?x?0?x?y?0?xf?(y)?y 上述结论可简单地说成? 反函数的导数等于直接函数导数的倒数?

例6．设x?sin y? y?[? ?, ?]为直接函数? 则y?arcsin x是它的反函数? 函数x?sin y在开

22区间(? ?, ?)内单调、可导? 且

22 (sin y)??cos y?0?

因此? 由反函数的求导法则? 在对应区间I x?(?1? 1)内有 (arcsinx)??1?1?1?1? (siny)?cosy1?sin2y1?x21?

1?x2 类似地有? (arccosx)??? 例7．设x?tan y? y?(? ?, ?)为直接函数? 则y?arctan x是它的反函数? 函数x?tan y在

22区间(? ?, ?)内单调、可导? 且

22 (tan y)??sec2 y?0?

因此? 由反函数的求导法则? 在对应区间I x?(??? ??)内有 (arctxa)?n?1?1?1?12? 22(tayn)?secy1?tany1?x1? 类似地有? (arccotx)???1?x2 例8设x?a y(a?0? a ?1)为直接函数? 则y?loga x是它的反函数? 函数x?a y在区间I y?(??? ??)内单调、可导? 且

(a y)??a y ln a ?0?

因此? 由反函数的求导法则? 在对应区间I x?(0? ??)内有

1?1? (logax)??1?(ay)?aylnaxlna 到目前为止? 所基本初等函数的导数我们都求出来了? 那么由基本初等函数构成的较复

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杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、ex3、的导数怎样求？

三、复合函数的求导法则

定理3 如果u?g(x)在点x可导? 函数y?f(u)在点u?g(x)可导? 则复合函数y?f[g(x)]在点x可导? 且其导数为

dydydy?f?(u)?g?(x)或??du?

dxdudxdx 证明? 当u?g(x)在x的某邻域内为常数时? y=f[?(x)]也是常数? 此时导数为零? 结论自然成

立?

当u?g(x)在x的某邻域内不等于常数时? ?u?0? 此时有

?yf[g(x??x)]?f[g(x)]f[g(x??x)]?f[g(x)]g(x??x)?g(x) ????x?xg(x??x)?g(x)?xf(u??u)?f(u)g(x??x)?g(x)? ??u?x ?

dy?yf(u??u)?f(u)g(x??x)?g(x)= f ?(u)?g ?(x )? ?lim?lim?lim?x?0dx?x?0?x?u?0?u?x 简要证明?

dy?y?y?u?y?u?f?(u)g?(x)? ?lim?lim??lim?limdx?x?0?x?x?0?u?x?u?0?u?x?0?xdy? dx 例9 y?ex3? 求

解 函数y?ex3可看作是由y?e u? u?x3复合而成的? 因此

dydyduu2???e?3x?3x2ex3? dxdudxdy 例10 y?sin2x2? 求?

1?xdx 解 函数y?sin2x2是由y?sin u ? u?2x2复合而成的? 1?x1?x因此

dydydu2(1?x2)?(2x)22(1?x2)2x? ???cosu???cosdxdudx(1?x2)2(1?x2)21?x2dy? dx 对复合函数的导数比较熟练后? 就不必再写出中间变量? 例11．lnsin x? 求 解?

dy?(lnsinx)??1?(sinx)??1?cosx?cotx?

sinxdxsinxdy? dx 例12．y?31?2x2? 求

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1dy?21?4x223 解? ? ?[(1?2x)]??(1?2x)3?(1?2x2)??dx333(1?2x2)2 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形? 例如? 设y?f(u)? u??(v)? v??(x)?

则

dydydudydudv?????? dxdudxdudvdxdy? dx 例13．y?lncos(e x)? 求 解?

dy?[lncos(ex)]??1x?[cos(ex)]? dxcos(e)1?[?sin(ex)]?(ex)???extan(ex)?

cos(ex)sin1x ? 例14．y?e 解?

? 求

dy? dxdysin1sin1sin1?(ex)??ex?(sin1)??ex?cos1?(1)? dxxxxsin11??2?ex?cos1? xx 例15设x?0? 证明幂函数的导数公式 (x ?)??? x ??1?

解 因为x ??(e ln x)??e ? ln x? 所以

(x ?)??(e ? ln x)?? e ? ln x?(? ln x)?? e ? ln x?? x?1?? x ??1?

四、基本求导法则与导数公式

1．基本初等函数的导数? (1)(C)??0? (2)(x?)??? x??1? (3)(sin x)??cos x? (4)(cos x)???sin x? (5)(tan x)??sec2x? (6)(cot x)???csc2x? (7)(sec x)??sec x?tan x? (8)(csc x)???csc x?cot x? (9)(a x)??a x ln a? (10)(e x)??ex? (11) (logax)??1?

xlna(12) (lnx)??1?

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(13) (arcsinx)??1? 1?x21? 1?x2(14) (arccosx)???(15) (arctanx)??12?

1?x(16) (arccotx)???12?

1?x 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u?u(x)? v?v(x)都可导? 则 (1)(u ?v)??u??v?? (2)(C u)??C u?? (3)(u v)??u??v?u?v??

?uv?(4)(u)??uv??

vv2 3．反函数的求导法则

设x?f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ?(y)?0? 则它的反函数y?f ?1(x)在Ix?f(Iy)内也可导? 并且

dy [f?1(x)]??1? 或?1?

dxdxf?(y)dy 4．复合函数的求导法则

设y?f(x)? 而u?g(x)且f(u)及g(x)都可导? 则复合函数y?f[g(x)]的导数为

dydydu??或y?(x)?f ?(u)?g?(x)? dxdudx 例16? 求双曲正弦sh x的导数. 解? 因为sh x?1(ex?e?x)? 所以

2 (sh x)??1(ex?e?x)??1(ex?e?x)?ch x?

22即 (sh x)??ch x?

类似地? 有

(ch x)??sh x?

例17? 求双曲正切th x的导数? 解? 因为th x?sh x? 所以

ch x2sh2x?1? (th x)??chx?ch2xch2x 例18? 求反双曲正弦arsh x的导数?

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解? 因为arsh x?ln(x?1?x2)? 所以 (arsh x)??1?(1?x)?1? x?1?x21?x21?x21?

x2?1 由arch x?ln(x?x2?1)? 可得(arch x)?? 由arth x?1ln1?x? 可得(arth x)??12?

21?x1?x 类似地可得(arch x)??1? (arth x)??1?

1?x2x2?1 例19．y?sin nx?sinn x (n为常数)? 求y??

解? y??(sin nx)? sin n x + sin nx ? (sin n x)?

? ncos nx ?sin n x+sin nx ? n ? sin n?1 x ?(sin x )?

? ncos nx ?sin n x+n sin n?1 x ? cos x ?n sin n?1 x ? sin(n+1)x ?

§2. 3 高阶导数

一般地? 函数y?f(x)的导数y??f ?(x)仍然是x 的函数? 我们把y??f ?(x)的导数叫做函数y?f(x)的二阶导数? 记作 y??、f ??(x)或即 y???(y?)?? f ??(x)?[f ?(x)]? ?

d2y? dx2d2yddy?()? dx2dxdx 相应地? 把y?f(x)的导数f ?(x)叫做函数y?f(x)的一阶导数?

类似地? 二阶导数的导数? 叫做三阶导数? 三阶导数的导数叫做四阶导数? ? ? ?? 一般地? (n?1)阶导数的导数叫做n 阶导数? 分别记作

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y???? y (4)? ? ? ? ? y (n) 或

d3yd4ydny? ? ? ? ? ? ? dx3dx4dxn 函数f(x)具有n 阶导数? 也常说成函数f(x)为n 阶可导? 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶

导数? 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数? 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数?

y?称为一阶导数? y??? y???? y (4)? ? ? ?? y(n)都称为高阶导数?

例1．y?ax ?b ? 求y??? 解? y??a? y???0?

例2．s?sin ??t? 求s???

解? s??? cos ??t ? s????? 2sin ? t ?

例3．证明? 函数y?2x?x2满足关系式y 3y???1?0? 证明? 因为y??2?2x?1?x? 22x?x22x?x22?2x22x?x2??2x?x2?(1?x)2??2x?x2(2x?x2)(2x?x2)?2x?x2?(1?x) y???132(2x?x)2??13?

y所以y 3y???1?0?

例4．求函数y?ex 的n 阶导数? 解? y??ex ? y???ex ? y????ex ? y( 4)?ex ? 一般地? 可得 y( n)?ex ? 即 (ex)(n)?ex ?

例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数? 解? y?sin x?

s?sinx(? ?)? y??cox2? ?)?sinx(? ?? ?)?sinx(?2? ?)? y???cosx(2222?2? ?)?sinx(?2? ?? ?)?sinx(?3? ?)? y????cosx(2222 y(4)?cos(x?3? ?)?sin(x?4? ?)? 22一般地? 可得

y(n)?sin(x?n? ?)? 即(sinx)(n)?sin(x?n? ?)?

22 用类似方法? 可得(cosx)(n)?cos(x?n? ?)?

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例6．求对函数ln(1?x)的n 阶导数

解? y?ln(1?x)? y??(1?x)?1? y????(1?x)?2?

y????(?1)(?2)(1?x)?3? y(4)?(?1)(?2)(?3)(1?x)?4? 一般地? 可得

(n?1)! y(n)?(?1)(?2)? ? ?(?n?1)(1?x)?n?(?1)n?1?

(1?x)n即 [ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!? (1?x)n 例6．求幂函数y?x? (?是任意常数)的n 阶导数公式? 解? y???x??1?

y????(??1)x??2?

y?????(??1)(??2)x??3?

y ( 4)??(??1)(??2)(??3)x??4? 一般地? 可得

y (n)??(??1)(??2) ? ? ? (??n?1)x??n ? 即 (x? )(n) ??(??1)(??2) ? ? ? (??n?1)x??n ? 当??n时? 得到

(xn)(n) ???(??1)(??2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1?n! ? 而 (x n)( n?1)?0 ?

如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x 处具有n 阶导数? 那么显然函数u(x)?v(x)也在点x 处具有n 阶导数? 且

(u?v)(n)?u(n)?v(n) ? (uv)??u?v?uv?

(uv)???u??v?2u?v??uv???

(uv)????u???v?3u??v??3u?v???uv??? ? 用数学归纳法可以证明

(uv)(n)ku(n?k)v(k)? ??Cnk?0n这一公式称为莱布尼茨公式?

例8．y?x2e2x ? 求y(20)? 解? 设u?e2x ? v?x2? 则

(u)(k)?2k e2x (k?1, 2, ? ? ? , 20)?

v??2x ? v???2? (v)(k) ?0 (k?3, 4, ? ? ? , 20)? 代入莱布尼茨公式? 得

y (20)?(u v)(20)?u(20)?v?C 201u(19)?v??C 202u(18)?v?? ?220e2x ? x2?20 ? 219e2x ? 2x?20?19218e2x ? 2

2! ?220e2x (x2?20x?95)?

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§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

显函数? 形如y?f(x)的函数称为显函数? 例如y?sin x ? y?ln x?+e x ? 隐函数? 由方程F(x? y)?0所确定的函数称为隐函数? 例如? 方程x?y3 ?1?0确定的隐函数为y y?31?x?

如果在方程F(x? y)?0中? 当x取某区间内的任一值时? 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在? 那么就说方程F(x? y)?0在该区间内确定了一个隐函数?

把一个隐函数化成显函数? 叫做隐函数的显化? 隐函数的显化有时是有困难的? 甚至是

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不可能的? 但在实际问题中? 有时需要计算隐函数的导数? 因此? 我们希望有一种方法? 不管隐函数能否显化? 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来? 例1．求由方程e y?xy?e?0 所确定的隐函数y的导数? 解? 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)??(xy)??(e)??(0)?? 即 e y? y??y?xy??0? 从而 y???y y

(x?e?0)? x?ey 例2．求由方程y5?2y?x?3x7?0 所确定的隐函数y?f(x)在 x?0处的导数y?|x?0?

解? 把方程两边分别对x求导数得 5y?y??2y??1?21x 6?0?

x? 由此得 y??1?215y4?26 因为当x?0时? 从原方程得y?0? 所以 x6|?1? y?|x?0?1?215y4?2x?022y2x 例3? 求椭圆??1在(2, 33)处的切线方程? 1692 解? 把椭圆方程的两边分别对x求导? 得 x?2y?y??0?

89从而 y???9x?

16y 当x?2时? y?33? 代入上式得所求切线的斜率

2 k?y?|x?2??3?

4 所求的切线方程为

y?33??3(x?2)? 即3x?4y?83?0?

24 解? 把椭圆方程的两边分别对x求导? 得

x2?y?y??0? 89 将x?2? y?

33? 代入上式得 211??y??0? 43高等数学课程建设组

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3? 4 所求的切线方程为

于是 k?y?|x?2?? y?

333??(x?2)? 即3x?4y?83?0? 24 例4．求由方程x?y?1siny?0所确定的隐函数y

2的二阶导数?

解? 方程两边对x求导? 得 1?于是

dy1dy?cosy??0? dx2dxdy2? ?dx2?cosy 上式两边再对x求导? 得

dydx??4siny? 2?dx(2?cosy)2(2?cosy)3d2y?2siny? 对数求导法? 这种方法是先在y?f(x)的两边取对数? 然后再求出y的导数?

设y?f(x)? 两边取对数? 得 ln y ? ln f(x)? 两边对x 求导? 得 1y??[lnf(x)]??

y y?? f(x)?[ln f(x)]??

对数求导法适用于求幂指函数y?[u(x)]v(x)的导数及多因子之 积和商的导数?

例5．求y?x sin x (x>0)的导数? 解法一? 两边取对数? 得 ln y?sin x ? ln x? 上式两边对x 求导? 得

1y??cosx?lnx?sinx?1?

yx于是 y??y(cosx?lnx?sinx?1)

x ?xsinx(cosx?lnx?sinx)?

x 解法二? 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求?

ln x

y?x sin x?e sin x·?

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y??esinx?lnx(sinx?lnx)??xsinx(cosx?lnx?sinx)?

x 例6? 求函数y?(x?1)(x?2)的导数?

(x?3)(x?4) 解? 先在两边取对数(假定x>4)? 得

ln y?1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)]?

2上式两边对x求导? 得

1y??1(1?1?1?1)?

y2x?1x?2x?3x?4y于是 y??(1?1?1?1)?

2x?1x?2x?3x?4当x<1时? y?(1?x)(2?x)(x?1)(x?2)? 当2

(3?x)(4?x)(3?x)(4?x)用同样方法可得与上面相同的结果?

注? 严格来说? 本题应分x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论? 但结果都是一样的?

二、由参数方程所确定的函数的导数

x??(t) 设y与x的函数关系是由参数方程??y??(t)确定的? 则称此函数关系所表达的函数为由参

?数方程所确定的函数?

在实际问题中? 需要计算由参数方程所确定的函数的导数? 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难? 因此? 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数? 设x??(t)具有单调连续反函数t????(x)? 且此反函数能与函数y??(t)构成复合函数y??[???(x) ]? 若x??(t)和y??(t)都可导? 则

dydydtdy1??(t)? ?????dxdtdxdtdx??(t)dtdydydy??(t)即 ?或?dt?

dxdxdx??(t)dt若x??(t)和y??(t)都可导? 则

dy??(t)? ?dx??(t)x?acost ? 例7? 求椭圆??y?bsint在相应于t?4点处的切线方程? ?dy(bsint)?bcost 解? ????bcott?

dx(acost)??asinta高等数学课程建设组

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所求切线的斜率为

dydxt??4??b? a 切点的坐标为x0?acos ??a2? y0?bsin??b2?

4242 切线方程为y?b2??b(x?a2)? 2a2即 bx?ay?2ab ?0?

??x?v1t 例8．抛射体运动轨迹的参数方程为?1gt2? y?vt?2??2求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向? y?v2t ?g t 2 解? 先求速度的大小?

速度的水平分量与铅直分量分别为 x ?(t)?v1? y?(t)?v2?gt?

所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为

2?(v?gt)2? v?[x?(t)]2?[y?(t)]2?v12 再求速度的方向?

设?是切线的倾角? 则轨道的切线方向为

dyy?(t)v2?gt tan???? ?dxx?(t)v1 已知x??(t), y??(t)? 如何求二阶导数y??? dy??(t) 由x??(t)? ? ?dx??(t)

d2yddyd??(t)dt?()?() dx2dxdxdt??(t)dx ? ????(t)??(t)???(t)???(t)1 ???2(t)??(t)???(t)??(t)???(t)???(t)?

??3(t)x?a(t?sint) 例9．计算由摆线的参数方程??y?a(1?cost)所确定

?的函数y?f(x)的二阶导数?

dyy?(t)[a(1?cost)]? 解? ???asint

dxx?(t)[a(t?sint)]?a(1?cost) ?sint?cott(t?2n?? n为整数)?

1?cost2d2yddyd 2?()?(cott)?dt

dxdxdxdt2dx高等数学课程建设组

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??11 ??2ta(1?cost)a(1?cost)22sin2?1(t?2n?? n为整数)? 三、相关变化率

dy 设x?x(t)及y?y(t)都是可导函数? 而变量x与y间存在某种关系? 从而变化率dx与间也

dtdt存在一定关系? 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率? 相关变化率问题就是研究这两个

变化率之间的关系? 以便从其中一个变化率求出另一个变化率?

例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升? 其速度为140m/min(分)? 当气球高度为500m时? 观察员视线的仰角增加率是多少？

解 设气球上升t(秒)后? 其高度为h? 观察员视线的仰角为?? 则

tan??h?

500其中?及h都是时间t的函数? 上式两边对t求导? 得

sec2??d??1?dh?

dt500dt 已知dh?140(米/秒)? 又当h?500(米)时? tan ??1? sec2 ??2? 代入上式得

dt2d??1?140? dt500所以 d??70?0.14(弧度/秒)?

dt500即观察员视线的仰角增加率是每秒0? 14弧度?

§2. 5 函数的微分

一、微分的定义

引例 函数增量的计算及增量的构成?

一块正方形金属薄片受温度变化的影响? 其边长由x0变到x0??x? 问此薄片的面积改变了多少？

设此正方形的边长为x? 面积为A? 则A是x的函数? A?x2? 金属薄片的面积改变量为 ?A?(x0??x)2?(x0)2 ?2x0?x ?(?x)2? ?

???????几何意义??2x0?x表示两个长为x0宽为?x 的长方形面积? (?x)2表示边长为?x的正方形的面积?

数学意义? 当?x?0时? (?x)2是比?x 高阶的无穷小? 即(?x)2?o(?x)? 2x0?x是?x的线性函

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数? 是?A的主要部分? 可以近似地代替?A?

定义 设函数y?f(x)在某区间内有定义? x0及x0??x在这区间内? 如果函数的增量 ?y ?f(x0??x)?f(x0) 可表示为

?y?A?x?o(?x)?

其中A是不依赖于?x的常数? 那么称函数y?f(x)在点x0是可微的? 而A?x叫做函数y?f(x)在点x0相应于自变量增量?x的微分? 记作?dy? 即 dy ?A ?x?

函数可微的条件? 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导? 且当函数f(x)在点x0可微时? 其微分一定是 dy?f ?(x0)?x?

证明? 设函数f(x)在点x0可微? 则按定义有 ?y?A?x?o(?x)? 上式两边除以?x? 得

?yo(?x)? ?A??x?x?y?f?(x0)?

?x?0?x于是? 当?x?0时? 由上式就得到 A?lim因此? 如果函数f(x)在点x0可微? 则f(x)在点x0也一定可导? 且A?f ?(x0)? 反之? 如果f(x)在点x0可导? 即 lim?y?f?(x0)

?x?0?x存在? 根据极限与无穷小的关系? 上式可写成

?y?f?(x0)??? ?x其中??0(当?x?0)? 且A?f(x0)是常数? ??x ?o(?x)? 由此又有 ?y ?f ?(x0)?x???x ?

因且f ?(x0)不依赖于?x? 故上式相当于 ?y?A?x?o(?x)?

所以f(x)在点x0 也是可导的? 简要证明? 一方面 ?y?A?x?o(?x)? 别一方面 lim?yo(?x)?y?A??lim?f?(x0)?A?

?x?0?x?x?x?y?y?f?(x0)??f?(x0)????y?f?(x0)?x???x?

?x?0?x?x 以微分dy近似代替函数增量 ?y的合理性? 当f ?(x0)?0时? 有

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lim

?y?y?y?lim?1lim?1?

?x?0dy?x?0f?(x0)?xf?(x0)?x?0dx?y?dy?o(d y)?

结论? 在f ?(x0)?0的条件下? 以微分dy?f ?(x0)?x近似代替增量?y?f(x0??x)?f(x0)时? 其误差

为o(dy)? 因此? 在|?x|很小时? 有近似等式

?y?dy ?

函数y?f(x)在任意点x的微分? 称为函数的微分? 记作dy或 d f(x)? 即 dy?f ?(x)?x ?

例如 d cos x ?(cos x)??x ??sin x ?x ? dex?(e x)??x?ex?x ? 例1 求函数y?x2在x?1和x?3处的微分? 解 函数y?x2在x?1处的微分为 dy?(x2)?|x?1?x?2?x? 函数y?x2在x?3处的微分为 dy?(x2)?|x?3?x?6?x ?

例2．求函数 y?x3当x?2? ?x ?0. 02时的微分? 解? 先求函数在任意点x 的微分

dy?(x3)??x?3x2?x ?

再求函数当x?2? ?x?0. 02时的微分

dy|x?2???x?0.02 ?3x2| x?2, ?x?0.02 ?3?22?0.02?0.24? 自变量的微分?

因为当y?x时? dy?dx?(x)??x??x? 所以通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分? 记作dx? 即dx??x? 于是函数y?f(x)的微分又可记作 dy?f ?(x)dx? 从而有

dy?f?(x)? dx这就是说? 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数? 因此? 导数也叫做“微商”?

二、微分的几何意义

当?y 是曲线y?f(x)上的点的纵坐标的增量时? dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量? 当|?x|很小时? |?y?dy|比|?x|小得多? 因此在点M的邻近? 我们可以用切线段来近似代替曲线段?

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式 dy ?f ?(x)dx

可以看出? 要计算函数的微分? 只要计算函数的导数? 再乘以自变量的微分? 因此? 可得如果下的微分公式和微分运算法则? 1? 基本初等函数的微分公式

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导数公式? 微分公式?

(x ?)????x ??1 d (x ?)???x ??1d x (sin x)??cos x d (sin x)?cos x d x (cos x)???sin x d (cos x)??sin x d x (tan x)??sec 2 x d (tan x)?sec 2x d x (cot x)???csc 2x d (cot x)??csc 2x d x (sec x)??sec x tan x d (sec x)?sec x tan x d x (csc x)???csc x cot x d (csc x)??csc x cot x d x (a x )??a x ln a d (a x )?a x ln a d x (e x)?e x d (e x)?e x d x

(logax)??1 d(logax)?1dx

xlnaxlna(lnx)??1 d(lnx)?1dx

xx(arcsinx)??1 d(arcsinx)?1dx

1?x21?x21 d(arccosx)??1dx 1?x21?x2(arccosx)???(arctanx)??12 d(arctanx)?12dx

1?x1?x(arccotx)???12 d(arccotx)??12dx 1?x1?x

2? 函数和、差、积、商的微分法则

求导法则? 微分法则? (u?v)??u?? v? d(u?v)?du?dv (Cu)??Cu ? d(Cu)?Cdu

(u?v)?? u?v?uv? d(u?v)?vdu?udv

?uv?u)?vdu?udvdx(v?0) (u)??uv?(v?0)d(

vv2vv2 证明乘积的微分法则?

根据函数微分的表达式? 有 d(uv)?(uv)?dx?

再根据乘积的求导法则? 有

(uv)??u?v?uv??

于是 d(uv)?(u?v?uv?)dx?u?vdx?uv?dx? 由于u?dx?du? v?dx?dv? 所以d(uv)?vdu?udv?

3? 复合函数的微分法则

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设y?f(u)及u??(x)都可导? 则复合函数y?f[?(x)]的微分为

dy?y?x dx?f ?(u)??(x)dx?

于由??(x)dx?du? 所以? 复合函数y?f[?(x)]的微分公式也可以写成 dy?f ?(u)du 或 dy?y?u du?

由此可见? 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数? 微分形式dy?f ?(u)du保持不变? 这一性质称为微分形式不变性? 这性质表示? 当变换自变量时? 微分形式dy?f ?(u)du并不改变? 例3．y?sin(2x?1)? 求dy?

解? 把2x?1看成中间变量u? 则

dy?d(sin u)?cos udu?cos(2x?1)d(2x?1) ?cos(2x?1)?2dx?2cos(2x?1)dx?

在求复合函数的导数时? 可以不写出中间变量? 例4?y?ln(1?ex2)? 求dy?

1?ex2)? 解?dy?dln(1d(1?ex2)

1?ex2x2112xe22x2x?ed(x)??e?2xdx?dx? ?1?ex21?ex21?ex2 例5．y?e1?3xcos x? 求dy?

解? 应用积的微分法则? 得

dy?d(e1?3xcos x)?cos xd(e1?3x)?e1?3xd(cos x) ?(cos x)e1?3x(?3dx)?e1?3x(?sin xdx) ??e1?3x(3cos x?sin x)dx?

例6．在括号中填入适当的函数? 使等式成立? (1) d( )?xdx?

(2) d( )?cos ? t dt?

解? (1)因为d(x2)?2xdx? 所以

xdx?1d(x2)?d(1x2)? 即d(1x2)?xdx?

222 一般地? 有d(1x2?C)?xdx(C为任意常数)?

2 (2)因为d(sin ? t)?? cos ? tdt? 所以 cos? tdt?1d(sin? t)?d(1sin? t)?

??因此 d(1sin? t?C)?cos? tdt(C为任意常数)?

? 四、微分在近似计算中的应用

1．函数的近似计算

在工程问题中? 经常会遇到一些复杂的计算公式? 如果直接用这些公式进行计算? 那是

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很费力的? 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替? 如果函数y?f(x)在点x 0处的导数f ?(x)?0? 且??x|很小时? 我们有 ?????????????????y?dy?f ?(x0)?x?

?????????????????y?f(x0??x)?f(x0)?dy?f ?(x0)?x? ????????????????f(x0??x)?f(x0)?f ?(x0)?x?

若令x?x0??x? 即?x?x?x0? 那么又有 ????????????????f(x)? f(x 0)?f ?(x0)(x?x0)? 特别当x0?0时? 有

f(x)? f(0)?f ?(0)x? 这些都是近似计算公式? 例1．有一批半径为1cm的球? 为了提高球面的光洁度? 要镀上一层铜? 厚度定为0? 01cm? 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解? 已知球体体积为V?4?R3? R0?1cm? ?R?0. 01cm?

3 镀层的体积为

?????????????????V?V(R0??R)?V(R0)?V ?(R0)?R?4?R 02?R?4?3. 14?12 ?0. 01?0. 13(cm3)? 于是镀每只球需用的铜约为

????????????????0. 13 ?8. 9 ?1. 16(g)?

例2．利用微分计算sin 30?30?的近似值? 解? 已知30?30?? ???? x0? ?? ?x???

63606360 sin 30?30??sin(x0??x)?sin x0??x cos x0 ?sin ??cos ??? 66360 ?1?3???0.5076? 22360即 sin 30?30??0. 5076?

常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）?

(1)n1?x?1?1x?

n(2)sin x?x ( x用弧度作单位来表达)? (3)tan x?x ( x用弧度作单位来表达)? (4)e x?1?x? (5)ln(1?x)?x?

证明 (1)取f(x)?n1?x? 那么f(0)?1? f?(0)?1(1?x)nn n1?x?1?1x?

n 证明(2)取f(x)?sin x? 那么f(0)?0? f ?(0)?cos x|x?0?1? 代入f(x)?f(0)?f ?(0) x便得

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1?1?1? 代入f(x)?f(0)?f ?(0) x便得 x?0n高等数学教案 第二章 导数与微分

sin x?x ?

例3．计算1.05的近似值? 解? 已知 n1?x?1?1x? 故

n 1.05?1?0.05?1?1?0.05?1.025?

2直接开方的结果是1.05?1.02470? 2．误差估计

在生产实践中? 经常要测量各种数据? 但是有的数据不易直接测量? 这时我们就通过测量其它有关数据后? 根据某种公式算出所要的数据? 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响? 测得的数据往往带有误差? 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差? 我们把它叫做间接测量误差?

下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差?

绝对误差与相对误差? 如果某个量的精确值为A? 它的近似值为a? 那么|A?a|叫做a的绝对误差? 而

绝对误差|A?a|与|a|的比值

|A?a|叫做a的相对误差? |a| 在实际工作中? 某个量的精确值往往是无法知道的? 于是绝对误差和相对误差也就无法求得? 但是根据测量仪器的精度等因素? 有时能够确定误差在某一个范围内? 如果某个量的精确值是A? 测得它的近似值是a? 又知道它的误差不超过? A:|A?a|?? A? 则? A叫做测量A的绝对误差限?

?A|a|叫做测量A的相对误差限(简称绝对误差)?

例4．设测得圆钢截面的直径D?60. 03mm? 测量D的 绝对误差限?D?0?05? 利用公式A??D2计算圆钢的截面

4积时? 试估计面积的误差? 解? ?A?dA?A???D? ?D??D?

2 ??A|?|dA|? ?D?|?D|??D??D?

22 已知D?60.03? ?D ?0. 05? 所以

?A? ?D??D? ??60.03?0.05?4.715(mm 2)? 22

?AA?2?D??D?D24?2??D?2?0.05?0.17%? D60.03高等数学课程建设组

高等数学教案 第二章 导数与微分

若已知A由函数y=f(x)确定? A=y? 测量x的绝对误差是?x ? 那么测量y的?y=? 由?y ?dy?y??x? 有

??????????????????y|?|dy|?|y?|?|?x|?|y?|?? x ?

所以测量y的绝对误差?y=|y?|?? x ? 测量y的相对误差为

?y? y???x?

|y|y

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