向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ

个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a , 它的长度和方向规定如下：(1 )

与向量 a 的积是一

(2)当 0时， a的方向与 a 的方向相同； 当 0时， a的方向与 a 的方向相反。特别的，当

| a | | || a |;

0 时， a 0.

探 并进行比较，看看它们有何关系？ 究 (2)已知向量a, b, 求作向量2(a b)和2a 2b, 并进行比较，看看它们有何关系？ a 3(2a)

(1)根据定义, 求作向量3( 2a )和( 6a )( 为非零向量 a ),

b

3(2a) = 6 a a b

a

2a 2b

2b

2(a b ) 2a 2b

2a

设 , 为实数，那么

(1) ( a) ( )a; (2)( )a a a; (3) (a b) a b. ( )a ( a) ( a), (a b) a b.

特别的，我们有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 .对于 任意向量 a , b ,以及任意实数 , 1 , 2 ,恒有

( 1 a 2 b) 1 a 2 b.

(1) ( 3) 4a; 例1.计算： (2) 3(a b) 2(a b) a; (3) ( 2a 3b c ) (3a 2b c ). 解: (1) 原式 ( 3 4)a 12a

二.例题讲解

(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b (3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c

练习:

计算:(1) (

2 2a 6b 3c) 3( 3a 4b 2c);

(2)已知3( x a) 2( x 2a) 4( x a b) 0 求 x.

解：()原式 1 4a 12b 6c 9a 12b 6c(2) 原等式可化为 3x 3a 2 x 4a 4 x 4a 4b 0 整理得 x 3a 4b 0 x 3a 4b

13a

思考:

对于向量a与b,以及实数 问题一：如果b a 那么，向量a与b是否共线？ 问题二：如果向量a与b共线 (a 0) 那么， b a?

向量共线定理(重点)

向量a(a 0)与b共线，当且仅当有 唯一一个实数 ,使b a .

例2.如图，已知任意两个向量 a、 b ,试作 OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ b 解: aC

AC 2 AB

AB OB OA a 2b - (a b) b AC OC OA a 3b - (a b) 2b

3b 2b

B

A

bO

a

所以, A, B, C三点共线

练习:如图，已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。 解： AE AD DE 3 AB 3BC 3( AB BC ) 3 ACE C A B D

AC与AE共线.

例3.如图, ABCD的两条对角线相交与点M , 且 AB a, AD b, 你能用a, b表示MA, MB, MC和MD.解 : 在 ABCD中. AC AB AD a b DB AB AD a bDM

C

bA

1 1 1 1 MA AC (a b) a b 2 2 2 2 1 1 1 1 MB DB (a b) a b 1 1 1 MC AC a b 2 2 22 2 2 2

a

B

1 1 1 1 MD MB DB (a b) a b 2 2 2 2

如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD ( A) 1 1 A. BC BA B. BC BA 2 2 1 1 C. BC BA D. BC BA 2 2

练习:

AD

B

C

课堂小结:一、①λ

②向量共线定理 (a 0)b=λa 向量a与b共线

a 的定义及运算律

二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

练习:1.下列各式叙述不正确的是( C ) A.b 3a(a为非零向量), 则a,b共线 3 B.m 3a 4b,n a 2b, 则m // n 2 C.若a,b共线, 则存在唯一的实数 使得a b. D.a b c 0,则a b c 2.在三角形ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD=2DB, 1 CD= CA+ CB,则 ( A ) 3 2 1 1 2 A. B. C.D.3 3 3 3

3.已知一点o到平行四边形ABCD的3个顶点A, B , C的向量 分别为a , b, c , 则向量OD等于( B) A.a b c B .a b c C .a b c D .a b c4. 已知四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点， 1 EF (AB DC) 求证： 2

5.求已知向量a(a 0)的单位向量.

2e1 ke2共线，求实数k的值. 解： 向量 e1 4e2和2e1 ke2共线 存在实数 , 使得2e1 ke2 (e1 4e2 )

6.设e1,是两个不共线的向量，而 e2 e1 4e2和

2 由向量相等的条件,得 k 4

k 8

练习:名师一号P 79 7.在三角形ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD=2DB, 1 CD= CA+ CB,则 (A) 3 2 1 1 2 A. B. C.D.3 3 3 3

作业:P91 A组 9 11

思考题: 1.求已知向量a(a 0)的单位向量.2e1 ke2共线，求实数k的值.2.设e1,是两个不共线的向量，而 e2 e1 4e2和

解： 向量 e1 4e2和2e1 ke2共线

存在实数 , 使得2e1 ke2 (e1 4e2 )

2 由向量相等的条件,得 k 4

k 8

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