线性代数 - 特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

【常见的化简行列式的方法】

1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）

00D?02000000199900012000000000

002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法

D?(?1)?(n?1,n?2,...,2,1,n)2001!?(?1)0?1?2?...?1999?02001!?2001!

解法二：行列式性质法

利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,…,2,1行交换（这里n=2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。

00D?(?1)2001?100019990002001012000000000?(?1)2001?12001?(2001?1)2002000(?1)2001!?2001!

解法三：分块法

00D?02000000199900012000000000

002001利用分块行列式的结果可以得到

00D=2001?000120=2001?(-1)00002000(2000-1)22000!=2001！

0199920000解法四：降阶定理展开

按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。

2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2

1?a11111?a11 D?111?b11111?b分析：该行列式的特点是1很多，可以通过r1?r2和r3?r4来将行列式中的很多1化成0. 解：

D?aa011?a1010101bb11?b?ab11011?a1010101r2?r1r4?r11111?b?ab1100?a10000011111?b110r4?r30?a1?ab0010例3

01?a2b21

00?ba13D?3a2a12b12a2b2a1b12a2b22abab233244b133b2aa3334abab233244bb3334 ，(ai?0)

分析：该类行列式特点是每行a的次数递减，b的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D化成范德蒙行列式。 解：

b1(1)a11(333D?a13a2a3a4?b(1)2a1b(1)3a1(((b23)a2b33)a3b43)a4

b2b)(2)2a2a2b3b)(3)2a3a3b4b)(4)2a4a41(1(333?a13a2a3a4?V(b1b2b3b4,,,)a1a2a3a4bibj?aaaa??(?)aj1?j?i?4ai33331234练习：（11-12年 IT专业期末考试题）

?1?x若实数x,y,z各不相等，则矩阵M????x2?1yy21??z?的行列式M?__________ ?z2??3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例4

a0Dn?0b0000a0baba0b0000

分析：该行列式特点是a处于主对角线，b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素。 解：按第一列展开：

a0Dn?a?(?1)1?100ba000b0000a000?(?1)n?1?bbabab

ab?a?an?1?(?1)n?1b?bn?1?an?(?1)n?1bn练习：（11-12年期中考试题）

x0Dn?00yyx0000yx00?00?00?00?x?0yx??

4. 行（列）和相等的行列式 例5

Dn?abbabbbba

分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a，其余位置上都是b。可将第2,3，…，n列加到第1列上。（类似题型：教材P12例8，P27 8(2)） 解：

1bDn?[a?(n?1)b]?1a1b?[a?(n?1)b](a?b)n?1bba?[a?(n?1)b]?1bb01a?b10

a?b5. 箭头形（爪行）行列式 例6

01D?1112001030100 n分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。

解：分别从第2,3,…,n列提出因子2,3，…，n，然后将第2,3,…,n列分别乘以-1，再加到第1列上。

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