第一章 三角函数 单元测试 2（人教A版必修四）

第一章 三角函数 单元测试 2（人教A版必修四）

第Ⅰ卷(选择题，60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为( ) A．k2180°＋135°，k∈Z B．k2180°±135°，k∈Z C．k2360°＋135°，k∈Z D．k290°＋135°，k∈Z

解析：角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：α1＝k2360°＋135°＝2k2180°＋135°，k∈Z，

角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为： α2＝k2360°＋315°＝(2k＋1)2180°＋135°，k∈Z.

故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：α＝k2180°＋135°，k∈Z.

答案：A

2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )

A．4 cm2 C．4π cm2

解析：由题可知α＝2，l＝2，

21

则r＝＝＝1，∴S＝l2r＝1，故选D.

α22答案：D

27π3．函数y＝4cos(x＋)的最小正周期是( )

56A．5π 2

C.π 5

B．2π 5D．π 2B．2 cm2 D．1 cm2

l

解析：T＝

2π

＝5π，故选A. 25

答案：A

4．函数y＝4sin(2x＋π)关于( ) A．x轴对称 C．y轴对称

解析：∵y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x， 又sin(－2x)＝－sin2x，

∴该函数为奇函数，图象关于原点对称． 答案：B

5．若cos155°＝α，则tan205°＝( ) αA. 2

1－αα

C．－ 2

1－α

1－α2

B． α1－α2

D．－ αB．原点对称 π

D．直线x＝对称

2

解析：∵cos155°＝cos(180°－25°)＝－cos25°＝α， 1－α2

∴cos25°＝－α，利用三角函数定义知tan25°＝－，

α1－α2

∴tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝－.故选D.

α答案：D

6．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于( ) 4A. 53C. 5

解析：∵x＝4，y＝－3， ∴r＝x2＋y2＝5.

4

∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－.

5

4B．－

53D．－

5

答案：B

1

7．若sin(π－α)－cos(－α)＝，则sin3(π＋α)＋cos3(2π＋α)的值

2是( )

3A．－

1611C．－

16

1

解析：由sin(π－α)－cos(－α)＝，

2

13

得sinα－cosα＝，平方可求sinα2cosα＝.

28又sin3(π＋α)＋cos3(2π＋α) ＝－sin3α＋cos3α

＝(cosα－sinα)2(sin2α＋sinαcosα＋cos2α) 1311

＝－3(1＋)＝－，

2816∴选C. 答案：C

8．下列选项正确的是( ) A．y＝cosx的图象向右平移B．y＝sinx的图象向右平移

π

得y＝sinx的图象 2

π

得y＝cosx的图象 2

11B． 165D．－

16

C．当φ<0时，y＝sinx向左平移|φ|个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象 D．y＝sin(2x＋

ππ

)的图象由y＝sin2x的图象向左平移个单位得到 33

ππ

解析：将y＝sinx的图象向右平移得y＝sin(x－)即y＝－cosx的图象，

22可知B错；

当φ<0时，y＝sinx向左平移|φ|个单位可得y＝sin(x－φ)的图象，可知C错；

将y＝sin2x的图象向左平移错．

答案：A

π2

个单位得y＝sin(2x＋π)的图象，可知D33

9．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域是( ) A．[－2,2] C．[0,2]

B．[－1,1] D．[0,1]

解析：y为偶函数，当x≥0时，y＝|sinx|＋sin|x|＝?0?sinx≤0?

?

?2sinx?sinx≥0?，

从而y的值域是[0,2]，故选C.

πππ，则y＝|sin|＋sin||222

另解：也可代入特殊值利用排除法求．令x＝＝2，排除B和D；又|sinx|≥0，

∴y＝|sinx|＋sin|x|≥－1，故排除A，选C. 答案：C

3x－x2

10．函数y＝的定义域是( )

tanxA．(0,3] C．(0，

ππ

)∪(，3] 22

B．(0，π) D．[0，

ππ

)∪(，3) 22

3x－x2π

解析：由y＝有意义得0≤x≤3，且x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z，

tanx2π

而∈[0,3]， 2

∴x≠

π

且x≠0. 2

ππ

)∪(，3]． 22

∴x∈(0，

答案：C

π

11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的

3图象( )

A．关于点(C．关于点(

π

，0)对称 3

π

，0)对称 4

B．关于直线x＝D．关于直线x＝

π

对称 4π

对称 3

解析：∵f(x)的图象的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f(x)＝sin(2x＋

π

)． 3

kπkπ

∴f(x)的图象关于点(π－，0)对称，关于x＝π＋对称，其中k∈Z.

26212故选A.

答案：A

12．下列说法正确的是( ) A．在(0，

π

)内，sinx>cosx 2

π4)的图象的一条对称轴是x＝π 55

B．函数y＝2sin(x＋C．函数y＝

π

的最大值为π

1＋tan2xππ)的图象向右平移个48

D．函数y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin(2x－单位得到

解析：对于A，结合(0，

ππ

)内y＝sinx，y＝cosx的图象知当x∈(0，)24

πππ

时，cosx>sinx，x＝时，sinx＝cosx，x∈(，)时，sinx>cosx，故A错误．

442

ππ4

对于B，令x＋＝kπ＋，k∈Z，显然当x＝π时，找不到整数k使上

525式成立，故B错误．

对于C，由于tan2x≥0，∴1＋tan2x≥1. ∴y＝

π

≤π.

1＋tan2xπ

的最大值为π，C正确．

1＋tan2x∴函数y＝

对于D，y＝sin(2x－

π

)错误!y＝sin[2(x－错误!)－错误!]＝sin(2x－错误!)4

＝－cos2x，故D错误．

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

π5325

13．已知α∈(，π)，sin(－α－π)＝，则sin(α－π)＝－. 2525解析：由题得sinα＝

525

，则cosα＝－. 55

3π25

∴sin(α－π)＝sin(α＋)＝cosα＝－.

22514．已知集合M＝{x|x＝mπ＋{x|x＝

πnππ

，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝623

pπ2

＋

π

，p∈Z}，则M、N、P之间满足的关系为MN＝P. 6

解析：N＝{x|x＝

nπ2

－π2mππ2m＋1π，n∈Z}＝{x|x＝－或x＝π－，m32323

ππ

∈Z}＝{x|x＝mπ－或x＝mπ＋，m∈Z}，

36

P＝{x|x＝＝{x|x＝

pπ2

＋

π

，p∈Z} 6

2mπ2m－1ππ＋或x＝π＋，m∈Z} 2626

ππ

或x＝mπ－，m∈Z}， 63

＝{x|x＝mπ＋∴MN＝P.

15．已知f(x)＝ ?－cosπx，x>0，

?

?f?x＋1?＋1，x≤0，

44

则f()＋f(－)的值等于3.

33

44π1

解析：f()＝－cos＝，

332

f(－)＝f(－)＋1

22π5＝f()＋2＝－cos＋2＝，

3324415

∴f()＋f(－)＝＋＝3.

3322

21ππ

16．关于函数f(x)＝sin2x－()|x|＋，x∈[－，]有下面四个结论：

322233

(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)<恒成立；(3)f(x)的最大值是；(4)f(x)的最

221

小值是－.

2

其中正确的结论是(2)(4)．

解析：f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，∴(1)错；f(x)在[0，

π

]上为增函2

4313

1π32π3

数，f(0)＝－，f()＝－()<.∴(2)(4)正确，(3)不正确．

222322

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

1

17．(10分)已知tanα＝，求

2

1＋2sin?π－α?cos?－2π－α?

的值．

5

sin2?－α?－sin2?π－α?

2解：原式＝

1＋2sinα2cos?2π＋α?

π

sin2α－sin2?－α?

2

1＋2sinαcosα＝ sin2α－cos2α

sin2α＋2sinα2cosα＋cos2α＝ ?sinα－cosα??sinα＋cosα?sinα＋cosα1＋tanα＝＝， sinα－cosαtanα－11

又tanα＝，

2

1＋

∴原式＝

12

1－12

＝－3.

1π

18．(12分)已知函数f(x)＝3tan(x－)．

23(1)求f(x)的定义域、值域；

(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性． 1ππ

解：(1)由x－≠ ＋kπ，k∈Z，

232解得x≠

5π

＋2kπ，k∈Z. 3

5π

＋2kπ，k∈Z}，值域为R. 3

π

＝2π，非奇非偶函数． 12

∴定义域为 {x|x≠

(2)f(x)为周期函数，周期T＝

由－

π1ππ

＋kπ

＋2kπ

π5π

＋2kπ，＋2kπ)， 33

解得－

∴函数的单调递增区间为(－

k∈Z.

19．(12分)已知函数f(x)＝asin(2ωx＋

πa)＋＋b(x∈R，a>0，ω>0)的最62

73

小正周期为π，函数f(x)的最大值是，最小值是.

44

(1)求ω、a、b的值； (2)指出f(x)的单调递增区间． 解：(1)由函数最小正周期为π， 得

2π

＝π，∴ω＝1. 2ω

73

又f(x)的最大值是，最小值是，

44

a7

?a＋＋b＝，?24则?

a3

??－a＋2＋b＝4，

5

4

1

解得：a＝，b＝1.

2(2)由(1)知：

f(x)＝sin(2x＋)＋， 当2kπ－即kπ－

πππ

≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 262

12π6

ππ

≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增， 36

ππ

，kπ＋](k∈Z)． 36

π

)相邻的最2

∴f(x)的单调递增区间为[kπ－

20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0，|φ|<高点和最低点分别为(

π2π，2)，(，－2)． 63

(1)求函数表达式；

(2)求该函数的单调递减区间； π

(3)求x∈[0，]时，该函数的值域．

2解：(1)由函数图象过最高点的坐标可得A＝2，

T2πππ2π

相邻的最值点的横坐标为半个周期，即＝－＝，得T＝π又T＝，

2362ω所以ω＝2.

所以y＝2sin(2x＋φ)，当x＝得2sin(23

π

，y＝2， 6

ππ

＋φ)＝2，即sin(＋φ)＝1. 63

所以π

)． 6

(2)

ππππ

＋φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ＝.所以y＝2sin(2x＋3226

ππ3π＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262π2π＋kπ≤x≤＋kπ， 63

π2π

＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 63

解得

即该函数的单调减区间为[(3)∵x∈[0，当x∈[0，当x∈[

π

]， 2

π

]时，该函数为增函数， 6

ππ

，]时，该函数为减函数， 62

πππ7π

时，ymax＝2sin＝2，当x＝时，ymin＝2sin＝－1，所以6226

所以当x＝

该函数的值域为[－1,2]．

21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝

π. 8

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． π

解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，

8π

∴sin(23＋φ)＝±1.

8ππ

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. 423π∵－π<φ<0，∴φ＝－.

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/743h.html