2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列

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【数学文】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列

1．（2011·朝阳期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2?a4?6，则S5等于 ( C )

（A）10 （B）12

（C）15 (D) 30

2．（2011·朝阳期末）（本小题满分14分）

已知点Pn(an, bn)（n?N）满足an?1?anbn?1，bn?1??bn1?4a2n，且点P1的坐标为(1, ?1).

(Ⅰ)求经过点P1，P2的直线l的方程；

(Ⅱ) 已知点Pn(an, bn)（n?N）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列{??1an}是等差数列.

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n?N，能使不等式(1?a1)(1?a2)?(1?an)≥ k1b2b3???bn?1成立的最大实数k的值.

b11?4a12解：(Ⅰ)因为b2??13，所以a2?a1b2?13. 所以P2(, ). ……… 1分

3311所以过点P1，P2的直线l的方程为2x?y?1. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为Pn(an, bn)在直线l上，所以2an?bn?1. 所以bn?1?1?2an?1. …… 3分

由an?1?anbn?1，得an?1?an(1?2an?1). 即an?1?an?2anan?1. 所以

1an?1?1an1an?2. 所以{1an}是公差为2的等差数列. ………………… 5分

（Ⅲ）由(Ⅱ)得?1a1?2(n?1).

所以

1an?1?2(n?1)?2n?1.

12n?1所以an?. …………………………………………………………… 7分

2n?32n?1所以bn?1?2an?. ……………………………………………… 8分

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依题意k≤(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1恒成立. 设F(n)?(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1， 所以只需求满足kF(n?1)F(n)≤F(n)的F(n)的最小值. ………………………………… 10分

因为

?(1?a1)(1?a2)?(1?an)(1?an?1)b2b3???bn?2(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1

=(1?an?1)bn?2??2n?22n?12n?3=4n?8n?44n?8n?322?1，

所以F(n)（x?N）为增函数. ……………………………………… 12分

23233所以F(n)min?F(1)??.

所以k

≤233. 所以kmax?233. ……………………………………… 14分

3．(2011·丰台期末) 已知等比数列{an}的公比为

A．30

12，并且a1+a3 + a5 +…+a99=60，那么a1+a2 +a3+…+a99 +a100的值是( B )

C．100

D．120

B．90

4．(2011·丰台期末) （本小题满分13分）

2已知函数f(x)?ax?bx(a?0)的导函数f?(x)??4x?22，数列{an}的前n项和为Sn，点

Pn(n,Sn)（n?N）均在函数y?f(x)的图象上．

* （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

* （Ⅱ）存在k?N，使得

S11?S22???Snn?k对任意n?N恒成立，求出k的最小值；

*（Ⅲ）是否存在m?N，使得

*am?am?1am?2为数列?an?中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明

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理由．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?ax2?bx(a?0)，所以 f?(x)?2ax?b．

因为 f?(x)??4x?22， 所以a??2，b?22．

所以f(x)??2x2?22x． 因为 点Pn(n,Sn)（n?N*）均在函数y?f(x)的图象上， 所以 Sn??2n2?22n． 当n?1时，a1?S1?20，

当n?2时，an?Sn?Sn?1??4n?24，

所以 an??4n?24 （n?N*）． ………………………4分 （Ⅱ）存在k?N*，使得

S11S22S11?S22Snn???Snn?k对任意n?N恒成立．

*只要k?(????)max

2由（Ⅰ）知Sn??2n?22n，

所以

Snn??2n?22?2(11?n)．

Snn?0； 当n?11时，

S11?S22Snn?0； 当n?11时，SnnSnn?0；

当n?11时，

所以 当n?10或n?11时，所以 k?110， 又因为 k?N，

*???有最大值是110．

所以k的最小值为111． ………………………8分 （Ⅲ）存在m?N，使得

*am?am?1am?2为数列?an?中的项．

由（Ⅰ）知 an?24?4n，

所以 am?24?4m，am?1?20?4m，am?2?16?4m， 所以

am?am?1am?2?(24?4m)?(20?4m)16?4m?4(6?m)(5?m)4?m．

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令t?4?m(t?3，t?Z)，

am?am?1am?2am?am?1am?24(6?m)(5?m)4?m4(2?t)(1?t)t2t所以

???4(t?3?2t)，

如果

是数列{an}中的项，那么t?3?为小于等于5的整数，

所以 t?{?2,?1,1,2}． 当t?1或t?2时，t?3?2t?6，不合题意； 2t?0，符合题意．

当t??1或t??2时，t?3?所以，当t??1或t??2时，即m?5或m?6时，

am?am?1am?2为数列?an?中的项．

5. (2011·东莞期末)在等比数列?an?中，如果a1?a3?4,a2?a4?8,那么该数列的前8项和为

( D )

A．12 B．24 C．48 D．204

6. (2011·东莞期末)将正方形ABCD分割成n2(n?2,n?N)个全等的小正方形（图1，图2分

别给出了n?2,3的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C,D处的四个数互不

A B

A B

D C

D C

相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f?n?，则

f(4)?( C )

图1 图2

A．4 B．6 C．

254 ．

132

7．(2011·东莞期末)(本小题满分14分)

n?1已知数列?an?的各项满足：a1?1?3k(k?R)，an?4?3an?1.

(1) 判断数列{an?4n7}是否成等比数列；

（2）求数列?an?的通项公式；

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(3) 若数列?an?为递增数列，求k的取值范围. 解：（1）an?1?4n?17?4?3an?4n4nn?17??3an?37?4

n ??3(an? a1?47?1?3k?171747474717?737)，

?3k．

当k?当k?时，a1?时，a1??0，则数列{an??0，则数列{an?44n7n}不是等比数列；

}是公比为?3的等比数列．

n?17（2）由（1）可知当k? an?( 当k?17时，an?n?14n7?(37?3k)?(?3)，

37?3k)?(?3)4n?4n7．

时，an?7，也符合上式，

37?3k)?(?3)n?1 所以，数列?an?的通项公式为an?( (3) an?1?an? ?4n?1n?4n7．

4nn?1?3??3????3k???3?????3k???3? 77?7?7??n3?47?12???3?7n?1n?1?12???3?n?1k．

∵ ?an?为递增数列， ∴3?47n?12???3?7?12???3?n?1k?0恒成立．

①当n为奇数时，有?4?由1????3?n?13?47n?12?37n?1?12?3n?1n?11??4??k?0，即k??1????恒成立，

7??3?????4??1????3?71?1?0得k?0．

n②当n为偶数时，有

n?13?4?12?37n?1?12?3n?1n?11??4??k?0，即k??1????恒成立，

7??3????7?4??4?由1????1????，

3?3??3?1得k?．

32?1故k的取值范围是?0,?．

?3??1?

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8．(2011·佛山一检)在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3???a7，则k?( B )

A．21 C．23

B．22 D．24

9．(2011·佛山一检)（本题满分14分）

已知正项等差数列?an?的前n项和为Sn，若S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比数列. （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?an3n的前n项和为Tn，求Tn.

解：（Ⅰ）∵S3?12，即a1?a2?a3?12，∴3a2?12，所以a2?4，--------------------------------2 又∵2a1，a2，a3?1成等比数列，

22∴a2?2a1?(a3?1)，即a2?2(a2?d)?(a2?d?1)， --------------------------------4分

解得，d?3或d??4（舍去），

∴a1?a2?d?1，故an?3n?2； ---------------------------------------7分 （Ⅱ）法1：bn?∴Tn?1?①?1313?4?an3132n?3n?2313n?(3n?2)?13n，

13n?7?1323???(3n?2)?133， ①

13n得，Tn?1?323Tn?131?4?132?7?133134???(3n?5)?134?(3n?2)?1n?1①?②得，?3??3??3????3?13n?(3n?2)?31 ②

3n?1

1?13?3?32(1?1?1313n?1)?(3n?2)?31n?1?56?12?13n?1?(3n?2)?13n?1

∴Tn?54?143?13?n?2?3n?22?n??131n?54?6n?541n?13n． ---------------------------------------14分

法2：bn?ann3n?23n3n?1?2?3，

13n?1设An?1?2?13?3?132?4?133???n?， ①

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则

13An?13?2?23132?3?13?133?4??133134???n?13n?113n， ②

13n①?②得，

An?1?132????n?

n13313??n?n??(?n)?n 132231?39931∴An??(?n)?n，

442311?(1?n)3?9?(9?3n)?1?(1?1)?5?6n?5?1． ∴Tn?An?2?3nnn1442334431?31?110．（2011·广东四校一月联考）设Sn为等比数列?an?的前n项和，已知3S3?a4?2，

3S2?a3?2，则公比q? （ B ）

C．5

D．6

A．3 B．4

11．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）

设函数f(x)?f(xn)?xn?1(n?N)

*xa(x?2)，方程x?f(x)有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)?22013，

（1）求f(x)的表达式； （2）求x2011的值； （3）若an?

解：（1）由

24xn?4023且bn?an?1?an2an?1an22(n?N)，求证：b1?b2???bn?n?1

*xa(x?2)?x，可化简为ax(x?2)?x

12?ax?(2a?1)x?0 -------2分?当且仅当a?时，方程x?f(x)有唯一解． ---3分

从而f(x)?2xx?2 -------4分

2xnxn?2*（2）由已知f(xn)?xn?1(n?N*)，得

?1xn?1?12?1xn?xn?1

-------5分

，即

1xn?1?1xn?12(n?N)

?1?1?数列??是以

x1?xn?1xn?1x1?(n?1)?12? taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

为首项，

12为公差的等差数列． -------6分

2x1(n?1)x1?2(n?1)x1?22x1，?xn?，即x1?

?f(x1)?22013，?12x1x1?2?2201311006

?xn?21006?1n?2011(n?1)??2100622011?2011?120112n?201122? -------7分

故x2011? -------8分 ，?an?4?2（3）证明：?xn?an?1?an2an?1an22n?201122?4023?2n?1 -------10分

12n?112n?1?bn??(2n?1)?(2n?1)2(2n?1)(2n?1)13)?(1??4n?14n?1152?1?2(2n?1)(2n?1)12n?1?12n?1=1?? ---12分

?b1?b2??bn?n?(1?1?13?)???(1?)?n?1?12n?1?1,

故b1?b2???bn?n?1 -------14分

12．(2011·广州期末)已知等比数列

?an?的公比是2，

a3?3，则

a5的值是 12 .

13．(2011·广州期末)（本小题满分14分） 已知数列

{an}的前n项和为

nSn，且满足

?Sn?1?an(n?*{b}N).各项为正数的数列n中，

对于一切n?N,有 （1）求数列 （2）设数列（1）解：∵

{an}*?k?11bk?bk?1nb1?bn?1， 且

b1?1,b2?2,b3?3.

和

{bn}的通项公式；

Tn{anbn}的前n项和为，

,求证:

Tn?2.

Sn?1?ana?S1?1?a1当n?1时,1, 解得

a1?12. ……1分

a?Sn?Sn?1??1?an???1?an?1?当n?2时,n,

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an得

2an?an?1, 即

an?1?12. …… 3分

11∴数列

{an}是首项为2, 公比为2的等比数列.

n?1?1?an????2?2?∴

1?12. …… 4分

nn?n ∵ 对于一切n?N*?1,有k?1bk?bk?1b1?bn?1， n?1?1?n?1当n?2时, 有

k?1bk?bk?1b1?bn， 1?n?n?11

? ② 得：

bn?bn?1b1?bn?1b1?bn 化简得:

(n?1)bn?1?nbn?b1?0, 用n?1替换③式中的n，得：nbn?2?(n?1)bn?1?b1?0, ③－④ 整理得：

bn?2?bn?1?bn?1?bn，

∴当n?2时, 数列{bn}为等差数列.

∵

b3?b2?b2?b1?1,

∴ 数列{bn}为等差数列. ∵

b1?1,b2?2

∴数列

{bn}的公差d?1.

∴

bn?1??n?1??n. (2)证明:∵数列

{anbn}的前n项和为

Tn,

T1?2?3n?222???n ∴

232n, ⑤ 1T2n ∴2n?122?22???2n?1 , ⑥

①

②

③

④ ……6分

…… 8分

…… 10分

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1⑤－⑥得：2Tn?12?122???12n?n2n?1 …… 12分

n1??1???1????2??2??n????n?1121?2

?1?n?22n?1

Tn?2?n?22n.

?2∴. ……14分

14．（2011·哈九中高三期末）若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，已知

SnTn

?

7nn?3，则

a5b5? B．

（ ） D．

A．7

23 C．

278

214

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质，把

a5b5转化为

S9T9.

9(a1?a9)【解析】

a5b5?2a52b5?a1?a9b1?b9?S212. ?9?2(b1?b9)T942【考点】数列。

【点评】如果两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，仿照本题解析的方法一定有关系式

anbn?SnTn。

15．（2011·哈九中高三期末）设?an?是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1?1,a99a100?1?0,a99?1a100?1?0，给出下列结论：

（1）0?q?1；（2）T198?1；（3）a99a101?1；（4）使Tn?1成立的最小自然数n

等于199，其中正确的编号为 【答案】（1）、（3）、（4）。

【分析】首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断。

【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据

a99a100?1?0，可知该等比数列的公比是正值，再根据

a99?1a100?1?0可知，a99,a100一个大于1，一个小于1，

而a1?1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0?q?1，而且a99?1,a100?1，又

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因为m为奇数，

（1）若k为奇数，则k?m为偶数，于是f(m)?m?1，f(m?k)?2(m?k)?1，

k??1,*2与k?N矛盾； …………11分

由2(m?k)?1?2(m?1)，得

（2）若k为偶数，则k?m为奇数，于是f(m)?m?1，f(m?k)?(m?k)?1， 由(m?k)?1?2(m?1)，得k?m?1（m?1是正偶数）. …………13分 综上，对于给定奇数m(m为常数，m?N,m?2)， 这样的k总存在且k?m?1.

…………14分

?

29、（2011·三明三校一月联考）如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数上，则下一次只能跳一个点；

若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从5这点跳起，经2011 次跳后它将停在的点是 ( A )

4351点

2 A．1 B．2 C．3 D．4

30、（2011·三明三校一月联考）（本小题满分12分）已知等差数列?an?和正项等比数列?bn?，a1?b1?1，a3?a7?10， b3＝a4

（1）求数列?an?、?bn?的通项公式

（2）若cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn.

解（1）依题意， ?an?为等差数列，设其公差为d； ?bn?为正项等比数列，设其公比为q，则可知q?0 ∵ a3?a7?10 ∴可知2a5?10,即a5?5 又a1?1 ∴ a5?a1?4d?4，解得d?1

故 an?a1?(n?1)d?n…………………………………………………………………3分

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2由已知b3＝a4＝4, ∴ q?∴ bn?b1qn?1?2n?1

b3b1?4，即q?2

所以 an?n， bn?2n?1………………………………………………………………6分 （2）∵ cn?an?bn＝n?2n?1

∴ Tn＝1?20?2?21?3?22???n?2n?1

∴ 2Tn ＝ 1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n

以上两式相减，得－Tn＝20?21?22???2n?1?n?2n………………………9分

1?(1?2)1?2nnn ＝?n?2＝(1?n)?2?1

∴ Tn＝(n?1)?2n?1………………………………………………………………12分

2332、(2011·上海长宁期末)无穷等比数列?an?中，公比为q，且所有项的和为，则a1的范围是___(0,)?(,)______

33322433、(2011·上海长宁期末)如图，连结?ABC的各边中点得到一个新的?A1B1C1，又?A1B1C1的

各边中点得到一个新的?A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，

?A3B3C3，已知A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，则点M的坐标是（ A ） ?, 这一系列三角形趋向于一个点M。

Ａ、(,) Ｂ、(,1) Ｃ、(,1)33352523Ｄ、(1,)

32yCB1A2AoC1C2A1B2Bx

34、(2011·上海长宁期末)（本题满分18分，第（1）分，第2小题6分，第3小题8分）

已知点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)（n为正整数）

y?a(a?0,a?1)的图像上，其中{an}是以

x小题4

都在函数

1为首项，2为公差的等差数列。

（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}是等比数列； （2）设数列{bn}的前n项的和Sn，求limSnSn?1n??；

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（3）设Qn(an,0)，当a?不存在，请说明理由；

23时，问?OPnQn的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若

解：（1）an?2n?1，（n?N?) ，

…………………………………………………. 2分

bn?aan?a2n?1，?bn?1bn?a（定值），?数列?bn?是等比数列。

2…………………………………………………. 4分

(2)因为?bn?是等比数列，且公比a?1，?Sn?2a(1?a1?a2n2)，

SnSn?1?1?a1?a2n2n?2。

…………………………………………………. 6分

当0?a?1时，limn??SnSn?1?1 ；

…………………………………………………. 7分

1当a?1时，limSnSn?1n???lim1?a1?a2nn??2n?2?limn??a1a2n?1??a21a2。

2n…………………………………………………. 9分

因此，limSnSn?1n???1,0?a?1?。 ??1,a?12??a…………………………………………………. 10分

（3）bn?()2n?1，S??32122n?1?(2n?1)?()， 23………………………………………………….12分

设cn?1?cn?cn?122n?1?(2n?1)?()c，当n最大时，则?23?cn?cn?1，

…………………………………………………. 14分

解得

?n?2.3，n?N?，?n?2?n?1.3。

…………………………………………………. 16分

所以n?2时cn取得最大值，因此?OPnQn的面积存在最大值。

9944…………………………………………………. 18分

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35. （2011·上海普陀区期末）若数列则

=__40______.

对任意的都有，且，

36. （2011·上海普陀区期末）已知数列

的前项和（，），

则 2 .

37. （2011·上海普陀区期末）

已知

均为非零常数），其中数列（1）求证：数列（2）若点（3） 设

为等差数列.

是直线

上的个不同的点（

，

、

是等差数列；

，求证:

时，恒有，使得

（和

；

都是不大于的正整数, 且

）.

是直线上一点，且

，且当

试探索：在直线上是否存在这样的点由.

解：（1）证：设等差数列

因为所以（2）证：因为点

于是，

为定值，即数列、

和

的公差为

成立？请说明你的理

,

，

也成等差数列.

(

)

都是直线上一点，故有

令，，则有.

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（3）假设存在点则有又当

满足要求

，

时，恒有

，则又有

，

,

所以又因为数列于是所以，

成等差数列，

，

故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点

满足要求.

38．(2011·杭州一检)等差数列{an}的前n项和为Sn 已知a3=4，S3=9，则S4=

A．14 C．28

（ A ） B．19 D．60

1214181256

39．(2011·杭州一检)已知等比数列前3项

，?，

，则其第8项是 ? ．

40．(2011·杭州一检)（本题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn,且Sn?4an?3(n?1,2,?)，

（1）证明:数列?an?是等比数列；

（2）若数列?bn?满足bn?1?an?bn(n?1,2,?)，b1?2，求数列?bn?的通项公式． 解：（1）证：因为Sn?4an?3(n?1,2,?)，则Sn?1?4an?1?3(n?2,3,?)，

所以当n?2时，an?Sn?Sn?1?4an?4an?1， 整理得an?43an?1． 5分

由Sn?4an?3，令n?1，得a1?4a1?3，解得a1?1．

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