高三数学复习第九章第三节椭圆及其性质

第三节 椭圆及其性质

A 组 专项基础测试

三年模拟精选

一、选择题

1．(2015·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34

，则此椭圆的标准方程是( ) A.

x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析 ∵a ＝4，e ＝34

，∴c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.

∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216

＝1. 答案 B

2．(2015·青岛模拟)已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )

A ．3 2

B ．2 6

C ．27 D.7 解析 根据题意设椭圆方程为x 2

b 2＋4＋y 2

b 2＝1(b >0)， 则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，

得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，

∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，

∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，

即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3.长轴长为2b 2＋4＝27.

答案 C 3．(2014·嘉兴二模)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈? ??

??12，1，则实数m 的取值范围是( )

A.? ????0，34

B.? ??

??43，＋∞ C.? ????0，34∪? ????43，＋∞ D.? ????34，1∪? ????1，43

解析 椭圆的标准方程为x 2＋y 2

1m

＝1， 当椭圆的焦点在x 轴上时，可得m >43

； 当椭圆的焦点在y 轴上时，可得0<m <34

. 答案 C

4．(2014·临沂一模)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23

－x 2＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )

A ．3

B ．2 3

C ．3 2

D ．2 6

解析 由题意椭圆焦点在y 轴上，可得m ＝6，由圆锥曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＝26，

||PF 1|－|PF 2||＝23，

两式平方作差得|PF 1|·|PF 2|＝3.

答案 A

二、填空题

5．(2014·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2

n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12

，则此椭圆的方程为__________________． 解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m

，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212

＝1. 答案 x 216＋y 212

＝1 一年创新演练 6．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2

a 2－1

＝1，随着a 的增大该椭圆的形状( ) A ．越接近于圆 B ．越扁

C ．先接近于圆后越扁

D ．先越扁后接近于圆

解析 由题意得到a >1，所以椭圆的离心率e 2＝4a －a 2＋14a ＝1＋14? ??

??1a －a (a >1)递减，则随着a 的增大，离心率e 越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.

答案 A

B 组 专项提升测试

三年模拟精选

一、选择题

7．(2015·黄冈质检)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.12 D.32 解析 不妨设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝2

c ＝3，

由椭圆的定义得2a ＝3，因此e ＝c a ＝2c 2a ＝33

. 答案 A

二、填空题

8．(2014·枣庄模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________． 解析 由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，

又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43

. 答案 43

9．(2014·韶关调研)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.

解析 由题意2a ＝4，∴a ＝2，

又c ＝1，∴e ＝12

. 答案 12

三、解答题

10．(2014·徐州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；

(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4，0)，求△PMN 面积

的最大值．

解 (1)设Q (x 0，0)．∵F 2(c ，0)，A (0，b )， 则F 2A →＝(－c ，b )，AQ →＝(x 0，－b )， 又F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，

故x 0＝－b 2c

，又2F 1F 2→＋F 2Q →＝0， ∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c

＋c ， 即b 2＝3c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝12

. (2)∵e ＝c a ＝12

，∴a ＝2c ，b ＝3c ， 则F 2＝(c ，0)，Q (－3c ，0)，A (0，3c )． ∴△AQF 2的外接圆圆心为(－c ，0)，半径 r ＝12|F 2Q |＝2c ＝a .∴

|－c －3|2

＝2c ，解得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝3， 椭圆方程为x 24＋y 23

＝1. (3)设直线MN 的方程为： x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23

＝1得 (3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4

， |y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝43·3m 2＋33m 2＋4

. ∴S △PMN ＝12|PF 2|·|y 2－y 1|＝63·3m 2＋33m 2＋4， 令3m 2＋3＝λ≥3，

∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ≤633＋13

＝92， ∴△PMN 面积的最大值为92，此时m ＝0.

11．(2014·惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点．

①若线段AB 中点的横坐标为－12

，求斜率k 的值； ②已知点M ? ??

??－73，0，求证：MA →·MB →为定值． 解 (1)x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53， 则椭圆方程为x 25＋3y 25

＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 2

5

＝1， 得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，

∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1， ∵AB 中点的横坐标为－12

， ∴－6k 2

3k 2＋1＝－1，解得k ＝±33

. ②证明 由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1

， ∴MA →·MB →＝? ????x 1＋73，y 1·? ??

??x 2＋73，y 2 ＝?

????x 1＋73? ????x 2＋73＋y 1y 2 ＝?

????x 1＋73? ????x 2＋73＋k 2()x 1＋1）（x 2＋1 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋? ??

??73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2 ＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋? ????73＋k 2? ????－6k 23k 2＋1＋499＋k 2 ＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49

(定值)． 一年创新演练

12.如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .

(1)设e ＝12

，求|BC |与|AD |的比值； (2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设

C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2

a 2＝1，(a >

b >0)， 设直线l ：x ＝t (|t |<a )，

分别与C 1，C 2的方程联立，求得

A ? ????t ，a b a 2－t 2，

B ? ??

??t ，b a a 2－t 2， 当e ＝12时，b ＝32

a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标， 可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝

b 2

a 2＝34

. (2)t ＝0时，l 不符合题意，t ≠0时， BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a

， 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e

2·a ， 因为|t |<a ，又0<e <1，

所以1－e 2e 2<1，解得22

<e <1， 所以当0<e ≤22

时，不存在直线l ， 使得BO ∥AN ；当

22<e <1时，存在直线l ， 使得BO ∥AN .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/742q.html