微分几何习题解答（曲线论）

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????er'反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得=?'e+?'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方向平行；当?????????2?2???2

0时，有e×e'=0，而（e×e')2=ee'-(e·e')2＝e'，（因为e??????e'e具有固定长， e·= 0） ，所以 '=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。

????6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。

??分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使

??????r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。

???证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向

?????????量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ，r''·n = 0 ，即向量r，r'，r''垂直

????于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。

????????????反之, 若（rr'r''）=0，则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0，由上题知

???r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'??0，则存在数量函数?(t)、

????(t)，使r''= ?r+?r' ①

1

r?tt微分几何主要习题解答

????令n=r×r'，则n???????0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

?????n'=r×r''=?（r×r'）=???????n，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

?解 令cost=1,sint=0, =0得=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 x?1?y?z ，法平面为 y + z = 0 。

011?2．求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切线为， ??2a2bt03ct0223法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。

?3. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固

定角。

?r证明 '= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos?

???r'?kb=???22为常数，故?为定角（其中k为z轴的单位向量）。 |r||e|a?b?4. 求悬链线r={tt，acosha}（-??t??）从t=0起计算的弧长。

t解 r'= {1，sinha}，|r' | =

??1?sinh2tat = cosha， ｓ＝

?cosh0ttatdt?asinha 。

９．求曲线x?3ay,2xz?a322ay?在平面3

与y = 9a之间的弧长。

ax3a2解 曲线的向量表示为＝{x,2,}，曲面与两平面y?3 与y = 9a的交

3a2x2

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??x2a2x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4＝2?2，

a2xa44xa2x所求弧长为s??3aax2a2(2?2)dx?9a 。 a2x?10. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?r解 '= { -asint,acost,b}，s =

?代入原方程得 r={acos?t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sbsa?b22sa?b22，

sa?b22, asina?b22, }

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。

?解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos?-?(?)sin?，

?'(?)sin?s=???0?r+?(?)cos?}，|'| =

?2(?)??'2(?)，从?0到?的曲线的弧长是

?2(?)??'2(?)d? 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

?解 r'={ -asint,acost,b},r''={-acost,- asint,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0? = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

?2. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切

线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?3

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?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，

所以切线方程是

xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，

202?x?y?z?0yxz? ； 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

3．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，zxyz?? 。 11?1= bt的主法线和z轴垂直相交。

???V证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ，由r'⊥r''知r''为

????r主法线的方向向量，而''?k?0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

x?acosty?asintz?bt??

costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

|r'?r''|?新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ，cos?sint- sin?cost ，tsin? + cos? }

?对于新曲线r'={-cos?sint+ sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t),

????cos(?-t), sin?} , r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

4

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即 sin? sin(t-?) x –sin? cos(t-?) y + z – tsin? – cos? = 0 .

5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：

??设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定

??长，所以r·r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面

通过这点的向径，也就通过其始点球心。

? 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，???则r·r'= 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：

???r?r(t)是球面曲线?存在定点r0（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的

????????半径）使(r?r0)2?R2?2(r?r0)?r??0 ，即(r?r0)?r??0 （﹡）

?????而过曲线r?r(t)上任一点的法平面方程为(??r)?r??0 。可知法平面过球面

中心?（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

?6.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost，asint，bt}的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2?y2)?bz2.

证 r'={ -asint?,acost, }, r''={-acost?,- asint,0 }

，

?r'×

?r''=?a{?bsint,bcost,?a}为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程

是

yxz?? ，消去参数t得a2(x2?y2)?bz2。 bsint?bcosta

7．求以下曲面的曲率和挠率

?⑴ r?{acosht,asinht,at},

?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。

5

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???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，

????|r'?r''|2a2cosht1 r'?r''?a{?sinht,cosht,?1}，所以k??3??23|r'|2acosht(2acosht)???(r',r'',r''')a21 。 ????2?4?(r'?r'')2acosh2t2acosh2t???⑵ r'?3a{1?t2,2t,1?t2}，r''?6a{?t,1,t},r'''?6a{?1,0,1}，

????18a22(t2?1)|r'?r''|222 r'×r''=18a{t?1,?2t,t?1} ，k??3??223|r'|27a22(t?1)???(r',r'',r''')18?6a3?21 。 ????2?24?2222(r'?r'')18a?2(t?1)3a(t?1)

1 223a(t?1)???? 8．已知曲线r?{cos3t,sin3t,cos2t}，⑴求基本向量?,?,?；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。

?解 ⑴ r'?{?3cos2tsint,3sin2tcost,?2sin2t}?sintcost{?3cost,3sint,?4}，

??r'ds?334?|r'(t)|?5sintcost,（设sintcost>0）， 则????{?cost,sint,?}， dt|r'|555?d?dt133????{sint,cost,0} ， ????{sint,cost,0}，

?dtds5sintcost55|?|???443??????{cost,?sint,?}，

555???????34{?sint,?cost,0} ，由于?与?方⑵ k?|?|? ，??25sintcost25sintcost??4向相反，所以 ??|?|?

25sintcost???????????⑶ 显然以上所得 ?,k?,?,?满足 ??k?,?????，而

???????????1{cost,?sint,0}??????? 也满足伏雷内公式 。

5sintcost6

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9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在

?????任意点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，?????可见r∥r'，所以r具有固定方向，故r＝r(t)是直线。

??方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在任意

?????点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，于

是r'＝?r''，从而r'×r''＝0，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。

???方法二：设定点为r0，曲线的方程为r＝r(s)，则曲线在任意点的切线方程是

??????????????r(s)???(s)，由条件切线都过定点r0，所以r0?r(s)???(s)，两端求导得:

??? ??(s)????(s)????, 即(???1)?(s)?????0 ，而?(s),?(s)无关，所以???1?0，?????可知??0,??(s)?0，因此曲线是直线。

10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。

??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在

????任意点的密切平面的方程是(??r(t))?(r'(t)?r''(t))?0，由条件??????????r(t)?(r'(t)?r''(t))?0，即（rr'r''）=0，所以r平行于一固定平面，即r＝r(t)是平面曲线。

??方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(s)，则曲线在任

?????意点的密切平面方程是(??r(s))???0，由条件r(s)???0，两边微分并用伏雷内

???????????公式得 ??r(s)???0。若r(s)???0,又由r(s)???0可知r(s)∥??r(s),所以r＝

???r(s)平行于固定方向，这时r＝r(s)表示直线,结论成立。否则??0，从而知曲线是

平面曲线。

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??方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在任意

???????点的密切平面方程是(??r(t))?(r'(t)?r''(t))?0，由条件?r(t)?(r'(t)?r''(t))?0，

??????????即（rr'r''）=0，所以r，r'，r''共面，若r∥r'，则r＝r(t)是直线，否则可设

?????????r''??r??r',?r'''??r'??r''，所以r',r'',r'''共面，所以??0，从而知曲线是平面

曲线。

? 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。

?????证 方法一：根据已知??e?0，若?是常向量，则k=|?|=0 ，这时曲线是直???????????线。否则在??e?0两边微分得?·e=０，即 k?·e=０,所以?·e=０，又因??e?0，

??????所以?∥e，而?为单位向量，所以可知?为常向量，于是|?|?|?|?0，即??0，此

曲线为平面曲线。

??????方法二：曲线的方程设为r＝r(t)，由条件r'·e＝０，两边微分得r''·e＝０，????????r'''·e＝０，所以r'， r''，r'''共面，所以（r'r''r'''）＝０。由挠率的计算公式

???可知??0，故曲线为平面曲线。当r'×r''＝0时是直线。

????rr方法三：曲线的方程设为＝r(t)，由条件'·e＝０，两边积分得（p是常数）。?????因r?e?p是平面的方程，说明曲线r＝r(t)在平面上，即曲线是平面曲线，当r'有

固定方向时为直线。

12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。

??证明 设曲线（C）：r＝r(s)的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（C）的方程

??1?为：??r(s)??(s) ，（?为曲线（C）的主法向量），对于曲线（C）两边微分

k????????1得 ?'??(s)?(?k????)?? ，（?，?，?分别为曲线（C）的单位切向量，副

kk??|?|???2????3??，|?'|?法向量和挠率），?''???，?'??''?2?，曲线（C）的曲率为

kkkk??8

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3|?|???|?'??''|k2k??3?3?k 为常数。 |?||?'|k313.证明曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。

???证 r'={3+4t, -２+10t,-2t}， r''={4，10，-２}， r'''＝｛０，0，0｝

???(r',r'',r''')曲线的挠率是????2?0，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任

(r'?r'')???一点的密切平面。对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝，r'={3, -２,０}， r''={4，10，-２}，

?r'''＝｛０，0，0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是

x?1y?2z?134?2100?0 ，?2即2x+3y+19z –27＝０．

14．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。

???? 证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点s与s一一对应，且对应点的切线平行，

????ds?ds?则?(s)=??(s), 两端对s求微商得????, 即k?(s)??k?(s) ，(这里k?0，

dsds?????若k=|?|=0，则?无定义)，所以?∥?，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平

??行。

15．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。

????证 设?,?分别为曲线Γ、?的切向量,?,? 分别为曲线Γ、?的主法向量,

??????d???ds???(???)??????则由已知?(s)???(s)．．．．．① ，而＝

dsds????????ds??dsk??????k?(s)?0。所以?·?＝常数， 将①式代入 ?k????(???)故量

dsds曲线的切线作固定角。

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16.若曲线Γ的主法线是曲线?的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为?,?。求证k=?0(?2+?2) ,其中?0为常数。

?????证 设Γ的向量表示为r=r(s)，则?可表示为?=r(s)+?(s)?(s)， ?的切向量?????????'=?+??+?（－k?+??）与?垂直，即?'·?＝??＝０，所以?为常数，设为?0，

???????则?'＝（１－?0k）?+?0??。再求微商有?''＝－?0k?＋（１－?0k）k?＋?0???????－?0??，?''·?＝（１－?0k）k－?0?2＝０，所以有k=?0(?2+?2)。

2?t17．曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acos}在那点的曲率半径最大。

2解 r'= a{1-cost,sint,-2sin

???ttt} , r''= a{sint,cost,-cos}, |r'|?22|sin|, 22222222??tttttttr'×r''=a2{?2sin3,?2sin2cos,4acos}??2a2sin2{sin,cos,1},

22????|r'?r''|22t2 , k??3?|r'×r''|=2asin218a|sint|2|r| ,R?8a|sint| ,所以在2t=(2k+1)?，k为整数处曲率半径最大。

????18． 已知曲线(C)?C3:r?r(s)上一点r(s0)的邻近一点r(s0??s)，求???r(s0??s)点到r(s0)点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点r(s0)的曲率、挠率分别为?0,?0）。

?3??????(s)?s?1??(s)?s2?1[???(s)??rr]?s＝r(s0??s)－r(s0)＝r00023!??????????11?0?s??0?0?s3＋(?k02?0?k0?0??0?0?0??)?s3，设???1?0??2?0??3?0，

26???其中lim??0 。则r(s0??s)－r(s0)

解

?s?010

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??111123?23＝[?s?(??0??1)?s]?0?[?0?s?(?0??2)?s]?0?[(?0?0??3)?s3]?0

6266??上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0??s)到r(s0)的法平面、从切平面、密切平面的距离。

§5 一般螺线

5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.

?证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量?是常向量.

????即?=0。曲线的挠率的绝对值等于|??|为零，所以曲线为平面曲线。

?????证法二：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，积分得r·n=p ,说明曲线在以

?n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。

???????证法三：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，再微分得r''·n=0 ，r'''·n=0 。??????r'rr''r'''所以 、 、三向量共面，于是（'r''r'''）= 0 ，由挠率的计算公式知?=0，

因此曲线为平面曲线。

7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。

?????证 设一曲线为Γ：r＝r(s)，则另一曲线?的表达式为：??r(s)??(s)?(s) ，

?(s)为曲线Γ在点s的主法向量，也应为?在对应点的副法线的方向向量。 ??????????'＝?＋??－???与?正交，即?'·?＝０，于是??＝０，?为常数。?'＝?－

????????，?''＝k?－?而?????????－??（－k?＋??）也与?正交，即?''·?＝-??2=0,

??０,所以有?＝０，曲线Γ

为平面曲线。同理曲线?为平面曲线。

????8. 如果曲线Γ：r＝r(s)为一般螺线, ?、?为Γ的切向量和主法向量，R为

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???Γ的曲率半径。证明?：?=R?－??ds也是一般螺线。

???证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e使?与e成固定角,对于曲线

???????????,其切向量?'=R??R?????R与?共线,因此也与非零常向量e成固定角, 所

以?也为一般螺线。

....??????????9．证明曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)?0

?????....????2?32???????????,r??3?????(?????????)??(2???????)? 证 r???，r??????....??????????5????????????)?3?3?????3(???????)??5(r,r,r)??3(2k?()，其中k?0. ＝2??????曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为 为常数,即()?=0,也就是

??.?...???????(r,r,r)?0 。

....?????????????,???,?????)?0。曲线r方法二： (r,r,r)?0，即(?＝r(s)为一般螺线，则存在常向

??????????????e???e?????e?,???,?????共面，?,???,?????）量e，使?·e=常数，所以?从而（??0,??0,??0,所以?????????????=0。反之，若（?,?,?）=0，则?平行于固定平面，设固定平面的法矢为e，则有

?????????e?0，从而?·e= p (常数)，所以r＝r(s)为一般螺线。

????????方法三：曲线r＝r(s)为一般螺线?存在常向量e使??e，即??e?0????????,???,????)?0 。 r平行于一固定平面?(?平行于固定平面（以e为法向量的平面）???rrr?????????e?常方法四：\?\设r＝r(s)为一般螺线，存在常向量e使??e=常数，即r....???????????????????????数，连续三次求微商得r?e?0,r?e?0，r?e?0 ，所以(r,r,r)?0。

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....??????????\?\因为(r,r,r)?0，所以??r平行于固定平面，设固定平面的法矢为n（常向

????????量），则r?n，而???r?,???n，所以曲线为一般螺线。

10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

??证 设曲线Γ与?在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝r(s) ，则?：

??r(s)??(s)?(s)，???????????０，其切向量为?＋?k?应与?平行，所以'＝?＋??k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线?为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为

非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

11．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则?也为一般螺线。

????证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切

?????ds???线平行，则适当选择参数可使?(s)=?(s), 两端对s求微商得?, 即

ds?????dsds?k?(s)?k?(s) ，这里?0，所以有?=?，即主法线平行，从而?(s)=?(s)，

dsds?ds?ds?, 或?即两曲线的副法线也平行。且???。?(s)=?(s)两边对s求微商得ds?ds??dsds?ds???????(s)????(s)，于是 ???,或?，所以，? 或?。

dsds?ds????

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/742o.html