高中数学知识点总结(精华版)-高中数学要点

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

- 1 -

- 2 -

一、集合

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：

Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任

意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是

集合B 的子集。记作B A ?.

2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，

则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：

空集合是任何集合的子集.

4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n

2个子

集，21n

-个真子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成

的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素

组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .

3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念

1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：

()()21x f x f -=…

(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个

x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为

偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.

2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个

- 2 -

x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数

1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在

))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方

程是))((000x x x f y y -'=-.

2、几种常见函数的导数

①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；

③x x cos )(sin '

=； ④x x sin )(cos '

-=； ⑤a a a x

x ln )('

=； ⑥x

x e e ='

)(；

⑦a x x a ln 1)(log '

=；⑧x

x 1)(ln '

=

3、导数的运算法则 （1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 4、复合函数求导法则

复合函数(())y f g x =的导数和函数

(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，

那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值

(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值） (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n

=. 3、 我们规定： ⑴m n

m

n

a a

=

()

1,,,0*

>∈>m N

n m a ；

⑵()01

>=-n a

a

n n

； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a

a a s

r s

r

∈>=+,,0；

⑵()

()Q s r a a a rs s

r

∈>=,,0；

⑶()()Q r b a b a ab r

r r

∈>>=,0,0.

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：()1,0≠>=a a a y x

1>a

10<

图 象

-1

-4

-2

1

-1

-4-2

1

性 质 (1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R 上是增函数 （4）在R 上是减函数

(5)0,1x

x a >>;

0,01x

x a <<<

(5)0,01x

x a ><<;

0,1x

x a <>

0

a>1

1

y=a x

o

y

x

- 3 -

2、性质：

§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：log x

a a N x N =?=；

2、对数恒等式：log a N

a

N =.

3、基本性质：01log =a ，1log =a a .

4、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；

⑵N M N M a a a log log log -=??

? ??；

⑶M n M a n

a log log =.

5、换底公式：a

b

b c c a log log log =

()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .

6、重要公式：log log n m

a a m

b b n

= 7、倒数关系：a

b b a log 1

log =

()1,0,1,0≠>≠>b b a a .

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a

2、性质： §2.

3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程()0=x f 有实根

?函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：

如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0

()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，

使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与

截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影

1>a

10<

图

象

2.51.5

0.5

-0.5

-1-1.5

-2

-2.5

-1

11

2.51.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

1

性 质 (1)定义域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）过定点（1，0）

，即x=1时，y=0 （4）在 （0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

(5)0log ,1>>x x a ； 0log ,10<<

(5)0log ,1<>x x a ； 0log ,10><

0

a>1

1y=log a x

o

y

x

- 4 -

的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面

⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面

⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=

3

1

锥体； ()

h S S S S V 下下上上台体+?+=

3

1

⑸球的表面积和体积：

323

4

4R V R S ππ==球球，.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

直线与方程

1、倾斜角与斜率：1

21

2tan x x y y k --==α

2、直线方程：

⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y +=

⑶两点式：

121

121

y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：

1x y a b

+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：

2

22111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：

⑴??

?≠=?2

12

121//b b k k l l ；

⑵1l 和2l 相交12k k ?≠； ⑶1l 和2l 重合??

?==?2

12

1b b k k ；

⑷12121-=?⊥k k l l

.

- 5 -

4、对于直线： 0

:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：

⑴??

?≠=?122

11

22121//C B C B B A B A l l ；

⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合??

?==?1

2211

221C B C B B A B A ；

⑷0212121=+?⊥B B A A l l .

5、两点间距离公式：

()()21221221y y x x P P -+-=

6、点到直线距离公式：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

7、两平行线间的距离公式：

1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，

则2

2

21B

A C C d +-=

第四章：圆与方程 1、圆的方程：

⑴标准方程：()()22

2

r b y a x =-+-

其中圆心为(,)a b ，半径为r .

⑵一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22

D

E

-

-

，半径为22142

r D E F =

+-.

2、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r

b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ;

0>???<相交r d .

弦长公式：222d r l -=

2212121()4k x x x x =+--

3、两圆位置关系：21O O d = ⑴外离：r R d +>；

⑵外切：r R d +=；

⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<.

3、空间中两点间距离公式：

()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=

统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，

每个个体被抽到的机会（概率）均为N n

。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计：

⑴平均数：n

x x x x x n

++++= 321；

取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21

- 6 -

方差：2

1

2)(1

∑=-=

n

i i

x x

n

s ；

标准差：2

1

)(1∑=-=

n

i i

x x

n

s

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

1

221n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==?

-?

?=??-??=-??∑∑注意：线性回归直线经过定),(y x 。 第三章：概率

1、随机事件及其概率： 随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=

A P n

m

A P . 2、古典概型： ⑴特点：

①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率n

m A P =

)(.

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：的测度

的测度

D d A P =

)(；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件，则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。

⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和，

即：)()()(B P A P B A P +=+

⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥，则有： )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A 的对立事件记作A

)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事

件。

必修4数学知识点

第一章：三角函数 §1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念.

2、 与角α终边相同的角的集合：

{}Z k k ∈+=,2παββ.

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角. 2、 r

l =

α. 3、弧长公式：R R

n l απ==

180

. 4、扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==

π. §1.2.1、任意角的三角函数

1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

()y x P ,，那么：x

y

x y =

==αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y

为角α终边上任意一点，

那么：（设22r x y =+）

sin y r α=

，

cos x r α=，tan y

x

α=，cot x y α=

- 7 -

3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角

函数线的画法. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：

1cos sin 2

2=+αα.

2、 商数关系：α

α

αcos sin tan =

. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=

§1.3、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：

()()().

tan 2tan ,cos 2cos ,

sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+

3、诱导公式三：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-

4、诱导公式四：

()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-

5、诱导公式五：

.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??

?

??-=???

??-

6、诱导公式六：

.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=??

?

??+=??

?

??+

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：

30010-12022

ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

1-1y=cosx

-3π2

-5π2-7π27π2

5π23π2

π2-π2-4π

-3π-2π4π

3π2ππ-πo y x

1-1y=sinx -3π2

-5π2

-7π27π2

5π23π2π2-π2-4π-3π

-2π4π

3π2ππ-πo y x

T M A O P

x y

- 2 -

y=tanx

3π2

π

π2

-

3π2

-π

-

π2

o

y

x

3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

x y sin =

x y cos = x y tan =

图象

定义域 R

R

},2

|{Z k k x x ∈+≠

ππ

值域

[-1,1] [-1,1]

R

最值

max min 2,1

2

2,1

2

x k k Z y x k k Z y π

ππ

π=+

∈==-

∈=-时，时，

max min 2,12,1

x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，

无

周期性 π2=T

π2=T

π=T

奇偶性

奇

偶

奇

单调性 Z k ∈ 在[2,2]2

2

k k ππππ-+上单调递增

在3[2,2]2

2

k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增

在[2,2]k k πππ+上单调递减

在(,)22k k ππππ-+上单调递增

对称性 Z k ∈

对称轴方程：2

x k π

π=+

对称中心(,0)k π

对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2

k ππ

+

无对称轴 对称中心,0)(

2

k π

§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象

1、对于函数：

- 2 -

()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>的周期

2T π

ω

=

2、能够讲出函数x y sin =的图象与

()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变

换关系.

① 先平移后伸缩：

sin y x = 平移||

?个单位

()s i n y x ?=+ （左加右减）

横坐标不变

()s i n y A x ?=+ 纵坐标变为原来的A 倍

纵坐标不变

()sin y A x ω?=+

横坐标变为原来的1

||ω

倍

平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++

（上加下减）

② 先伸缩后平移：

sin y x = 横坐标不变 sin y A x =

纵坐标变为原来的A 倍

纵坐标不变

sin y A x ω=

横坐标变为原来的1

||ω

倍

平移

?ω

个单位

()s i n y A x

ω?=+ （左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++

（上加下减）

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为

常数，且A ≠0)的周期||

T π

ω=

. 对于s i n ()y A x ω

?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2

x k k Z π

ω?π+=+

∈与()x k k Z ω?π+=∈

解出x 即可.

4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2y y A -=

，max min

2

y y B +=. ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.

第三章、三角恒等变换

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=

.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα2

2

sin cos 2cos -=

1cos 22-=α α2sin 21-=.

变形如下：

升幂公式：2

2

1cos 22cos 1cos 22sin αα

αα

?+=??-=?? 降幂公式：221cos (1cos 2)2

1sin (1cos 2)2

αααα=+=-?????

3、α

αα2tan 1tan 22tan -=

.

4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα

-=

=+

§3.2、简单的三角恒等变换

- 3 -

1、 注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y

（其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b

a

?= ).

第二章：平面向量

1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,

⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当

0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量()

0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.

平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不

共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，

有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，

⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =?.

2、()()2211,,,y x B y x A 则： ()1212,y y x x AB --=. △ABC 中：

1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为

(

)

2

22

121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为

(

)

333213

21,y y y x x x ++++.

§2.4.1、平面向量数量积 1、 θcos b a b a =?.

2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .

3、 2

2

a a =. 4、 2

a a =

.

5、 0=??⊥b a b a .

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：

⑴2121y y x x b a +=? ⑵2121y x a +=

⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-

=

- 4 -

2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：

()()2

12212y y x x AB -+-=

.

3、 两向量的夹角公式

12122

22

2

1

1

22

c o s x x y y a b a b

x y x y

θ

+?==

+?+

必修5数学知识点

第一章：解三角形 1、正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为AB

C ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===

sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R

?=

== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它

元素。

2、余弦定理：

222222

2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-?

222

222222

cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??

+-?

=

??

?+-=

??

用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式：

B ac A bc

C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===

? 4、三角形内角和定理：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B

π+?

=-222()C A B π?=-+.

5、一个常用结论：

在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2

A B A B A B π

==+=则或特别注意，在三角函数中，sin sin A B A B >?>不成立。

第二章：数列

1、数列中n a 与n S 之间的关系：

1

1,(1),(2).n n

n S n a S S n -=?=?-≥?注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +

），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列

2

a b

A +?=

⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：

()()

11122

n n n n n a a S na d -+=+

= ⑸常用性质：

①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则

q p n m a a a a +=+；

②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；

③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列； ④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +

- 5 -

(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

⑤单调性：{}n a 的公差为d ，则：

ⅰ）?>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）?<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）?=0d {}n a 为常数列；

⑥数列{n a }为等差数列n a pn q ?=+（p,q 是常数） ⑦若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、

k k S S 23-… 是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a b 、

G 、成等比数列2

,G ab ?=（ab 同号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：11n n m

n m a a q a q --==

⑷前n 项和公式：()11111n n n a q a a q

S q

q

--==

--

⑸常用性质

①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则

m n p q a a a a ?=?；

② ,,,2m k m k k a a a ++为等比数列，公比为k

q (下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列{}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{}n a ；则{}lg n a 是公差为

lg q 的等差数列；

④若{}n a 是等比数列，则{}{}

2

n n ca a ，，

1n a ??

????

， {}()r

n a r Z ∈是等比数列，公比依次是21.r q q q q

，，， ⑤单调性：

110,10,01a q a q >><<<或{}n a ?为递增数列；

{}110,010,1n a q a q a ><<<>?或为递减数列； {}1n q a =?为常数列； {}0n q a

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、

k k S S 23-… 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n

a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

1

1,(1),(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?构造两式作差求解。

类型Ⅲ 累加法：

形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关

于n 的函数）可构造： 112

21(1)

(2)..(1.)

n n n n a a f n a a f n a a f ----=????--=--=???

类型Ⅳ 累乘法： 形如1()n n a a f n +=?1()n n a f n a +??

=

???

型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：11

22

1

(1)(.2)(1..)n

n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-?????

?=?????

类型Ⅴ 构造数列法：

㈠形如q pa a n n +=+1（其中,p q 均为常数且0p ≠）

- 6 -

型的递推式：

（1）若1p =时，数列{n a }为等差数列; （2）若0q =时，数列{n a }为等比数列;

类型Ⅶ 倒数变换法：

形如11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的递推式：两边同除于1n n a a -，转化为

1

11n n p a a -=+形式，化归为q pa a n n +=+1型求出1n

a 的表达式，再求n a ；

5、非等差、等比数列前n 项和公式的求法 ⑴错位相减法

①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法.

②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?的前n 项和.

此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.

⑵裂项相消法

一般地，当数列的通项12()()

n c

a an

b an b =

++

12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，

采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设1

2

n a an b an b λ

λ

=

-

++，通分整理后与原式相

比较，根据对应项系数相等得21

c

b b λ=

-，从而可得

122112

11

=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++

常见的拆项公式有： ①

111

(1)1

n n n n =-++；

②

1111

();(21)(21)22121n n n n =--+-+

③

11

();a b a b a b

=--+

⑶分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...n n a a a a -+=+= ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1)

123...;2

n n n +++++=

②2

135...(21);n n ++++-=

③2222

1

123...(1)(21).6

n n n n ++++=

++ 第三章：不等式

§3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质

①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?>

③（可加性）a b a c b c >?+>+

（同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0,

bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?>

- 7 -

（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d

>><

⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b

a b a b a b a 110;110>?<<>

2、几个重要不等式

①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取

""=号）. 变形公式：22

.2

a b ab +≤ ②（基本不等式） 2

a b

ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.

变形公式： 2a b ab +≥ 2

.2a b ab +??

≤ ???

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

⑥0,2b a

ab a b >+≥若则

（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a

ab a b

<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）

3、几个著名不等式

2

22

;22a b a b ab ++??≤≤

???

2

22()

.2

a b a b ++≥

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或

2(0,40)a b ac ≠?=->解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿

（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()

0()()0()

()()0()

0()0

()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >??>?≥?≥??≠? （<≤“或”

时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()

()()()f x g x a

a f x g x >?>

⑵当01a <<时, ()

()()()f x g x a

a f x g x >?<

规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当1a >时,

()0

log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

⑵当01a <<时,

()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：(0)

.(0)a a a a a ≥?=?-

⑵平方法：2

2

()()()().f x g x f x g x ≤?≤

⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤?-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥?≥≤-≥或

③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤?-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥?≥≤-≥或

- 8 -

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如2

0ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论?与0的大小； ⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式2

0ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当0a =时 0,0;b c ?=>

②当0a ≠时0

0.a >???

?

⑵不等式2

0ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当0a =时0,0;b c ?=<

②当0a ≠时0

0.a

⑶()f x a <恒成立max ();f x a ?<

()f x a ≤恒成立max ();f x a ?≤

⑷()f x a >恒成立min ();f x a ?>

()f x a ≥恒成立min ().f x a ?≥

专题一：常用逻辑用语

1、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：

⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3、充分条件、必要条件与充要条件

若p q ?，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件; 若p q ，但q p ?，则p 是q 必要而不充分条件; 若p q ?且q p ?，则p 是q 的充要条件； 若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

4、复合命题

⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ?）. ⑵复合命题的真假判断

“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真； “p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假； “非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p ：,()x p x ?∈M ，它的否定p ?：

00,().x p x ?∈M ?全称命题的否定是特称命题．

②特称命题p ：00,(),x p x ?∈M ，它的否定p ?：

,().x p x ?∈M ?特称命题的否定是全称命题.

专题二：圆锥曲线与方程

1．椭圆

- 2 -

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 第一定义 到两定点21F F 、

的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B

轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b =

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==-

离心率

2222222

1(01)c c a b b e e a a a a

-====-<<

（焦点）弦长公式

1,12,2(),()A x y B x y ，22212121211()4AB k x x k x x x x =+-=+--

- 3 -

3．抛物线

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b -=>> ()22

22

10,0y x a b a b -=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）

范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A

轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==+

离心率

222222

2

1(1)c c a b b e e a a a a

+====+>

渐近线方程 b y x a

=±

a y x b

=±

图形

标准方程

22y px =

()0p >

22y px =- ()0p >

22x py = ()0p >

22x py =-

()0p >

对称轴 x 轴

y 轴

焦点

,02p F ?? ??? ,02p F ??

- ??? 0,2p F ?

? ???

0,2p F ?

?- ??

?

准线方程

2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

- 4 -

专题五：数系的扩充与复数

1、复数的概念 ⑴虚数单位i ；

⑵复数的代数形式(,)z a bi

a b R =+∈；

⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数(),z a bi

a b R =+∈

(0)(0,0)(0)(0,0)b a b b a b =??

=≠??

≠??

≠≠??

实数纯虚数虚数非纯虚数 3、相关公式

⑴d c b a di c bi a ==?+=+且, ⑵00==?=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=

+=

⑷z a bi =-

z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算

⑴复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+； ⑵复数的乘法：

()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；

⑶复数的除法：()()()()

a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- ()()22

22

22

ac bd bc ad i ac bd bc ad i

c d c d c d ++-+-=

=++++

6、复数的几何意义

复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴.

z a bi Z =+←???→一一对应

复数复平面内的点（a,b)

z a bi OZ =+←???→一一对应

复数平面向量

专题六：排列组合与二项式定理

1、基本计数原理

⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)

做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有

1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方

法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有

1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方

法……做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N ???= 21种不同的方法. ⑸排列数公式：

①()()()121+---=m n n n n A m

n

()!

m n n A m

n -=

！

；

②!n A n n =，规定1!0=.

⑹组合数公式： ①()()()!

121m m n n n n C m

n +---=

或

()!

!m n m n C m

n -=

！

；

②m

n n

m n C C -=，规定10=n C . ⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.

⑻排列与组合的联系：m m

m n m n A C A ?=，即排列就是先组合再全排列.

()(1)(1)!()

(1)21!!m

m

n n

m m A n n n m n C m n A m m m n m ?-??-+===≤?-???-⑼排列与组合的两个性质性质

排列11-++=m n m n m n mA A A ；组合1

1-++=m n

m n m n C C C . ⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

- 2 -

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.

⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式：

()

011222n

n n n r n r r

n n n n a b C a C a b C a b C a b

---+=++++ ()n n

n C b n N ++

+∈.

⑵二项展开式的通项公式：

()+-+∈∈≤≤=N n N r n r b a C T r

r n r n r ,,01.主要用途

是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如

在()n

ax b +的展开式中，第1r +项的二项式系数

为r

n C ，第1r +项的系数为r

n r

r n C a

b -；而1

()n x x

+的

展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为

正，而项的系数不一定为正. ⑷()n

x +1的展开式：

()0

221101x C x C x C x C x n n n n n n n n n ++++=+-- ，

若令1=x ，则有

()n

n

n n n n n C C C C ++++==+ 210211.

1、基本概念

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即

()()(P A B P A P B

+

=+. ⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着A .

对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-. ⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ?发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即

()()()P A B P A P B ?=?.

若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A

与B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验

①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式

如果在1次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率

()()(1)0,12,.,k

k

n

k

n n P k n k C p

p

-==-

2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用

字母,,,X Y ξη等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

- 3 -

若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）. 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布（分布列）

设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，

X 的每一个值i x （1,2,,i n =?）的概率()i i P X x p ==，则称表

X

1x 2x … i x … n x

P

1p 2p … i p … n p

为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列. 性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②

1

1.n

i i p ==∑

⑵两点分布

如果随机变量X 的分布列为

则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.

⑶二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

()(1).k k

n k n P X k C p p -==-

其中0,1,2,...,,1k n q p ==-，于是得到随机

变量X 的概率分布如下：

X

0 1

…

k

…

n

P

00n n C p q 111

n n C p q

-

…

k k n k

n C p q

-

…

n n

n C p q

我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作

()p n B X ,~，并称p 为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： ①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一； ②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是,,.p k n

⑷超几何分布

一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取

n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的

概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===,于

是得到随机变量X 的概率分布如下：

其中{}min ,m M n =,*

,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,

且称随机变量X 服从超几何分布.

注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；

⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量X 的分布列为

X

1x 2x … i x … n x

P

1p 2p … i p … n p

则称

()1122i i n n E X x p x p x p x p =++

+++为离散型

随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了

离散型随机变量取值的平均水平. 性质：①()().E aX b aE X b +=+

②若X 服从两点分布，则().E X p =

③若()p n B X ,~，则().E X np =

⑵离散型随机变量的方差

一般地，若离散型随机变量X 的分布列为

X

0 1 P 1p -

p X

0 1

…

m

P 00n M N M

n

N

C C C --

11n M N M

n N

C C C -- … m n m

M N M

n

N

C C C --

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