第五章静电场

第五章 静电场 作业题

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一、两个相距为2a、带电量为?q的点电荷，在其连线的垂直平分线上放置另一个点电荷q0，且q0与连线相距

为b。试求：（1）连线中点处的电场强度和电势；（2）q0所受电场力；（3）q0放在哪一位置处，所受的电场力最大。

二、均匀带电量为Q的细棒，长为L，求其延长线上距杆端点为L的位置A的场强和电势；若将其置于电荷线

密度为?的无限长直导线旁边并使其与长直导线垂直，左端点与导线相距为a，试求它们之间的相互作用力。

三、如图所示，半径为R的带电圆盘，其电荷面密度沿半径呈线性变化???0(1??中心为O为x处的场强E.

rR)，试求圆盘轴线上距圆盘

四、宽度为b的无限大非均匀带正电板，电荷体密度为??kx,(0?x?b)，

?如图所示。试求：（1）平板外两侧任意一点P1、P2处的电场强度E；?（2）平板内与其表面上O点相距为X的点P处的电场强度E.

O

P1 P2

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O b X 第五章 静电场 作业题

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五、半径为R的无限长圆柱，柱内电荷体密度??ar?br，r为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。（1）求

带电圆柱内外的电场分布；（2）若择选距离轴线1m处为零电势点（R?1），则圆柱内外的电势分布如何？

六、实验发现，在地球大气层的一个大区域中存在方向竖直向下的电场。在200m高度的场强E1?1.0?10Vm，

在300m高度的场强E2?0.6?10Vm。试求从离地面200m到300m间大气中平均电荷体密度?。

七、如图所示，将一个电荷量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球心为d。

设无穷远处为零电势，求：导体球球心O点的电场和电势。

八、大多数生物细胞的细胞膜可以用分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。设半径为R1和R2（R1< R2）球壳上

分别带有电荷Q1和Q2 .求：（1）r< R1；R1 R2三个区域的电场强度的分布；（2）若Q1=Q2=Q，R1和R2间的电势分布。

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222第五章 静电场 作业题

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九、如图，半径为R1的金属球带有电荷为?q1，外面有一内径为R2，外径为R3的金属球壳，带有电量为q2，

现将球壳的外表面接地。求：（1）电场分布；（2）半径为r的P点处的电势；（3）两球的电势V1、V2和它们的电势差。

十、导体球半径为R1，带电量为q，在其外面放置内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳，已知R2＝3 R1，R3

＝3R1，现在距球心为d=4R1处放置电量为Q的点电荷，并将球壳接地。试求：（1）球壳带的总电量；（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，求球壳所带电量。

Q

十一、 现将一根带电细线弯成半径为R的圆环，其电荷线密度为 ???0sin?，式中?0为一常数，?为半径

R与x轴所成的夹角，如图所示。试求：环心O处的电场强度和电势。

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第五章 静电场 作业题

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第五章 静电场参考答案

1、解答：（1）0，V?q2??0aaa?b?aa?b2222；（2）q0受两电荷的力F1和F2可表示为

?i??j]

?F1?1qq0224??0(a?b)1qq022[ba?b22?F2?4??0(a?b)?1[?i?ba?b22?j]

所以合力为F?bqq0322??0(a2?b2)?j

（3）由

dFdb?0,dFdb22?0得b??a2时F有最大值。

3、解答：将圆盘看成是由很多环带组成。带电量为q半径为r的均匀带电圆环在轴线上的场强为

E?qx4??0(r?x)2232，那么在圆盘中取半径为r的环带，有

dEp?dqx4??0(r?x)2232???2?rdr?x4??0(r?x)r2232?0(1??)?2?rdr?xR，对整个圆盘22324??0(r?x)rEp??dEp??0x2?0?R0(1?2R23(r?x))?rdr2??02?0(1?xRlnR?R?xx22)

4、解答：（1）距O点x处取厚度为dx的薄板，其在P1点在产生的电场为dE?负方向。则

EP?1?2?0??dx2?0?kxdx2?0，方向沿X

b?0dE?b?0kxdx2?0?kb24?0，同理EP?2kb24?0方向沿X正方向

（2）平板内部P点的电场是P点左右两边部分产生的电场的叠加。

???xEP?E1?E2?(?dE?0b?x2???kxkk2222dE)i?[?(b?x)]i?(2x?b)]i

4?04?04?0（本题也可用高斯定理解）

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第五章 静电场 作业题

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??1E?dS?5、（1）解答：选取长为l，半径为r，且与带电圆柱同轴的柱形高斯面S。由高斯定理??S?0?Q得

??S??1E?dS?E?2?rl??01?Q?Q?Q?p

当r

当r>R时，E?2?rl??0??0?RrV?dV?R0(ar?br)2?rldr?2?l(2R?3b4R)，则E?44aR?3bR12?0r4

（2）当r

?a9?0(R?r)?33b16?0?p(R?r)?444aR?3bR12?01334lnR

当r>R时，U

p????E?dl??1r??E?dr??4aR?3bR12?0r4r?dr??4aR?3bR12?034lnr

6、解答：高斯定理??故??3.5?10?11S??1E?dS?(E1?E2)??S??0?Q，则(E1?E2)??S?1?0??S?h，所以??(E1?E2)?0h，

(C/m)

38、解答：（1）当r< R1时有??当R1

Q4??0r2s???Q2E2?dS?，即E2?4?r?Q/?0，所以E2??0?er

当r> R2时有??s?Q?Q?E3?dS?，所以E3?Q2??0r2?0

（2）???R2rE2?dr????R2E3?dr?Q1?11?Q1?Q2QQ??? ???4??0?rR2?4??0R24??0r4??0R2

10、（1）解答：取球心O处进行分析。球心O处的电势是点电荷Q和三个导体球面上的电荷在O点的电势叠加，分别为VQ?Q4??0d?Q4??0(4R1)，V1??dqq4??0R1?q4??0R1，由高斯定理可得球壳内表面S2上的总量为

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第五章 静电场 作业题

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q???q，所以V2??dq?q4??0R2??q4??0R2??q4??0(2R1)，

设球壳外表面S3上的总电量为Q?，则V3?Q?3R?dqQ?4??0R?3?Q4??(R301，所以球心处的总电势为

)V0?VQ?V1?V2?V?314??0(Q4R1?qR?1?q2Rq?1)，

1又因为V0??R2R1??R2E?dl??R1q4??0rQ2dr?4??0R1Q?3R1?q4??0R2q

比较上述二式V0?14??0(4R1?qR1??q2R1?)＝

4??0R1?q4??0R2，得Q???3Q4

故球壳的总电量为Q??q???Q3Q4?q

（2）内外球相连时，有

4??0d??dqq4??0R3?0，可得Q???3Q4

11、解答：（1）在任意角?处取电荷元 dq??dl，它在O点产生的电场强度大小为：

?dl4??0R2dE???osin?d?4??oR，电场强度沿x，y轴上的两个分量分别为：

dEx??dEcos?， dEy??dEsin?

则Ex??2?o4??oR??0cos?sin?d??0

Ey??2?o4??oR??0sin?d???2?o4?oR

???故O点的场强为：E?Exi?Eyj???o4?0R?j

（2）dV??4??dqR0??4???dlR0???osin?d?4??oR?0

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