4高斯光束部分-final

第四章 高斯光束理论

一、 学习要求与重点难点 学习要求

1． 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 2． 理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律； 3． 掌握薄透镜对高斯光束的变换；

4． 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 5． 理解高斯光束的聚焦和准直条件； 6． 了解谐振腔的模式匹配方法。

重点

1. 高斯光束的传输特性； 2. q参数的引入； 3. q参数的ABCD定律； 4. 薄透镜对高斯光束的变换； 5. 高斯光束的聚焦和准直条件； 6. 谐振腔的模式匹配方法。

难点

1. q参数，及其ABCD定律； 2. 薄透镜对高斯光束的变换； 3. 谐振腔的模式匹配。

二、知识点总结

2r2??2??zw(z)?振幅分布：按高斯函数e从中心向外平滑降落。光斑半径w(z)?w01?????f?? ???w2?2???0高斯光束基本性质?等相位面：以R为半径的球面，R(z)?z?1?????z?????????远场发散角：基模高斯光束强度的1点的远场发散角，??lim2w(z)?2??2?0?z??e2z?w0?f???????w（或f）及束腰位置?0?1/2?????w2(z)?2???w?w(z)?1? ?????0?R(z)????????高斯光束特征参数?光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)???1?????R(z)?2???z?R(z)?1????2?w(z)??????????11????i，?q(z)R(z)?w2(z)?将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律?q参数，2?w0?q?z??if?z?q0?z?i?z???r??A1?B??r2?1r?傍轴光线的变换规律????2Cr1?D?????1 ??AR1?B???傍轴球面波的曲率半径R的变换规律R2???遵从相同的变换规律ABCD公式CR?D1????Aq1?B?高斯光束q参数的变换规律q2??Cq?D1?????????高斯光束的聚焦:只讨论单透镜??高斯光束的准直：一般为双透镜 ?ABCD公式'?高斯光束q参数的变换规律????已知w0，w0，确定透镜焦距F及透镜距离l，l'?Aq1?B??q2?Cq1?D?高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况?'??已知两腔相对位置固定l0?l?l'及w0，w0确定，F如何选择??高斯光束的自再现变换和稳定球面腔?22???1???w0?透镜F??l?1????2???l??? 1???orq(l')?q(0)??即F?R(l)?稳定球面腔2???w2?2??0?球面镜R(l)?l?1?????l?????????w'?w0高斯光束的自再现变换??0?l'?l三、典型问题的分析思路

??z??z? w(z)?w01????w01??2?f?w???0?22???w2?2?0等相位面曲率半径 R(z)?z?1????

?z??????2?w0?z?q0?z 高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律q(z)?i??1?1??Re???R(z)q(z)11???? ??i??q(z)R(z)?w2(z)?1???Im?1????w2(z)?q(z)???2w(z)基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角?0?lim?2z????w0z?1.128?f此类问题的实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的q参数值。首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵??AB??求出某位置处的q(z)?光束的曲率半径R(z)和光斑大小w(z)。 ??CD?1）高斯光束通过单个透镜的变换。

w0w0’wClq(0)ABqAqBl’lcCqC

已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。求解这类问题的

0??AB??1方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵?????1F1?，在透镜左端

CD????入射高斯光束的q参数qA?if?l，求出经过此光学系统变换后的q参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。

高斯光束通过双透镜的变换。 高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式 3）高斯光束的聚焦

?F?l??f2l?F?F2? l??F?22?l?F??ff?w??2022w0F2w?w?20Fl??w0若 F > f 要使 w0??w0要求(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使w0F2??F?l??f2即l?F?F2?f2或l?F?F2?f2才能聚焦如果

2F?F2?f2?l?F?F2?f2不能聚焦

???F(2). F 一定时l?F?w0?w0l'?F l??F

??0??l???w0l?F?l??w0良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦

4）高斯光束的准直

a. 单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为 ?0?2??w0

像高斯光束的发散角为 ?'0?222w0F??w'0

w??20?F?l?2?2?f2

?'0??1?l?1??w0?1???? 2?2?w0FF?????22'当l?F时，w0达到极大值w'0???w0F

?'0?2??w'0?2w0 F在l?F时， F越大， w0越小，像高斯光束的方向性越好。b. 利用望远镜将高斯光束准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。

w0w(l)w'0w\0lF1sF2经过第二个透镜后高斯光束的发

散角????2???增大 ????????，所以要使 w0可以看出w0???w0'?最大。所以第二个透镜的焦距F2要尽可能的大,而且w0要?w0????F2当 l??F2 时, w0尽可能的小，这就要求l??F1，这时光腰几乎落在焦平面上, S?F1?F2组成一倒装望远镜。

?l?F?F2w?l?F2???1????2 准直倍率(发散角压缩比) M?????F1w0F1F1?f?5）高斯光束的模式匹配

模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。

2问题实质是透镜变换。

分两种情况：一种是已知w0 ，w’0 ，确定透镜焦距（F）及透镜的距离 l， l’（即两腔的相对位置）。根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式

f0???w0w0?当F?f0并确定时，可求得 l,l'第二种情况是两腔相对位置固定 (即两光腰

之间的距离) l0?l?l' 及w0, w’0确定，为了实现模匹配, F 如何选择。

l?F??w0?w0F2?f02

w?l??F??0?w0F2?f02将上面两式相加，根据l0?l?l'，得到

?ww??l0?2F??F2?f02?0?0?

?w0??w0其中f0?2?ww????w0w0，设A??0?0?，上面方程变为

?w0???w022?4l0F??l0?A2f02??0根据此式可求的焦距F。

?4?A?F四、思考题

1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写？

2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么？ 3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好？ 4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取？ 5. 如何才能使激光束准直效果最好？

6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件？ 7. 如何加入第二束共线共焦UV激光？(30分)

X2 focus X1 f1 f2 X4 X3 UV1 UV2 IR

8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。

五、练习题

1波长为?的高斯光束入射到位于z?1（图3.1）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距f应为多少？画出解的简图。

fw0样品lL

图3.1

2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径R?2m，腔长L?1m。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数zR及发散角?。

3. 某高斯光束光腰大小为?0?1.14mm，波长??10.6?m。求与腰相距30cm，10m，1km处光斑的大小及波前曲率半径。

4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角?1/e2。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波？即在什么条件下可以用公式

R(z)?z和公式w(z)??1/e2?R(z)来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径？

5. 某高斯光束的?0?1.2mm，??10.6?m。另用f?2cm的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为10m、1m、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少？分析所得的结果。

6. 已知高斯光束的?0?0.3mm，??0.6328?m。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm处；（3）无穷远处的复参数q值。

7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图3.3所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配？

R1?1mR2??R'?50cm'R2??L?30cm50cmL'?25cm

图3.3

8. 从腔长为1m，反射镜曲率半径为2m的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm，曲率半径为10cm的干涉仪中去，两腔长相距50cm，为得到模匹配，应把焦距为多大的透

镜放置在何处？

9. 某高斯光束的w0?1.2mm，??10.6?m，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜：R?1m，口径为10cm；副镜为一锗透镜：f1?2.5cm，口径为1.5cm，高斯光束的束腰与副镜相距l?1m，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。

Rw0f1l

图3.4

10. 月球距地球表面3.8?10km，使用波长??0.5145?m的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为1.0?10rad；（2）光束发散角为1.0?10rad时，月球表面被照亮的面积为多少？两种情况下，光腰半径各为多少？

11. 一高斯光束的光腰半径w0?2cm，波长??1?m，从距离透镜为d的地方垂直入射到焦距为F?4cm的透镜上。求：（1）d?0，（2）d?1m时，出射光束的光腰位置和光束发散角。

?3?6512一染料激光器输出激光器的波长??0.63?m，光腰半径为60?m。使用焦距为5cm的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为0.50m。问：离透镜4.8cm处的出射光斑为多大？

13. 一高斯光束的光腰半径为?0，腰斑与焦距为f的薄透镜相距为l，经透镜变换后传输距离l0，又经一折射率为?，长为L的透明介质后输出，如图3.5所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即L0?0（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角?。

2w0?ll0图3.5

L

14. 如图3.6所示，波长??1.06?m的钕玻璃激光器的全反射镜的曲率半径R?1m，距全反射镜a?0.44m处放置长为b?0.1m的钕玻璃棒，其折射率为??1.7。棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。（1）进行腔的稳定性判别；（2）求输出光斑的大小；（3）若输出端刚好位于f?0.1m的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。

R?半反射膜ab图3.6

f

13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m，腔长L=1m。试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径?0的大小和位置、该高斯光束的f及?0的大小。

当z=10 m时，?（z）Rz）z?10?2.97cm, （z?10?10.015m 当z=1000 m时，?（z）Rz）z?1000?2.96m, （z?1000?1000m

4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角?1/e2。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波？即在什么条件下可以用公式

R(z)?z和公式w(z)??1/e2?R(z)来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径？

解答：

?10.6?10?6?3????2.96?10rad?3??0??1.14?10z0???0?0.38m?2

当z?z0时

z02（pi）?z??zz

??z2?（z）??02?1?（）（z）???Rz0??5. 某高斯光束的?0?1.2mm，??10.6?m。另用f?2cm的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为10m、1m、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少？分析所得的结

果。 解答： 根据

??'20?02z2?2?04（1-）?22f?f??z（1-）??f?f z'??1?24z2??0??（1-）?22??f?f??当z=10 m时，

'?0?2.4?m, z' ?2cm '当z=1 m时，?0?2.12?m, z' ?2.03cm 当z=0 m时，?0?2.64?m, z ?202cm

6. 已知高斯光束的?0?0.3mm，??0.6328?m。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm处；（3）无穷远处的复参数q值。 解答：

''??02, q(z)?z?if，代入数值得 由公式f??（）1z?0时 q?44.66i（2）z?30cm时 q?30?44.66i （3）z??时 q?44.66i??7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图3.3所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配？

R1?1mR2??R'?50cm'R2??L?30cm50cmL'?25cm

图3.3

解答：

根据等相位面曲率半径为

f2R??z(1?2)

z当z?-0.3m时，等相位面曲率半径R1?1 ，由上式得

?f2R1??（z1?2）?1?z? ? f?0.27 ?z?-0.3m??w02 ， ??0.6328?m得到w0?3.24?10?4m 利用f??同理, w0'?3.17?10?4m 根据高斯光束得模匹配公式有

w0?z?F?F2?f02'?w0??'w0'F2?f02 ?z?F?w0???w0w0''?z?z?0.75,f0??0.51???解得

F?0.87m , z?0.31m , z'?0.44m

8. 从腔长为1m，反射镜曲率半径为2m的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm，曲率半径为10cm的干涉仪中去，两腔长相距50cm，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处？ 解答：

z1?L?0.5m22142??3?2??0??2(2RL?L)??424??4??L'''z1?z2??0.025mL2???42 , 4?'0L(R-L)5=2R-2L2?R??0'??2?6.28z2='??0A=?0?4.69'?0?0??0?0'?0.22 f0??

l0?0.5?0.?50.0?5?f?0.25ml,?0.7m6

1.059. 某高斯光束的w0?1.2mm，??10.6?m，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主镜用镀金全反射镜：R?1m，口径为10cm；副镜为一锗透镜：f1?2.5cm，口径为1.5cm，高斯光束的束腰与副镜相距l?1m，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）

两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。

Rw0f1l

图3.4

解答：

(1)f1?2.5cm M'?M M?f2f1w(z1)?z?M1?(1)2w01??01

?M'?M1?(?z12)?20??01?2.506cm

(2)l?f?'(L?f)f2 w?'0??0222(L?f)?()??0(1?z02??0)?(22)f?f24?2.8?10m ?5f2?50cm，主镜上的光斑尺寸超过镜面尺寸，考虑衍射，M?22

10. 月球距地球表面3.8?10km，使用波长??0.5145?m的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为1.0?10rad；（2）光束发散角为1.0?10rad时，月球表面被照亮的面积为多少？两种情况下，光腰半径各为多少？

解答：

根据光斑尺寸为

2 w2(z)?w0?1?(?3?65???z2?)? 2?w0?光束发散角为

????w0

得到w0?2?，将其代入光斑尺寸公式得 ???z?2?2??1?(?)? ???2w(z)?22??于是有

（1）当??1?10?3rad,??0.5145?m,z?3.8?105km时 光腰半径为w0???3.3?10?4m ??月球表面被照亮的面积为S??w2(z)?1.13?105km2 （2）当??1?10?6rad,??0.5145?m,z?3.8?105km时 光腰半径为w0???0.33m ??月球表面被照亮的面积为S??w2(z)?0.113km2

11. 一高斯光束的光腰半径w0?2cm，波长??1?m，从距离透镜为d的地方垂直入射到焦距为F?4cm的透镜上。求：（1）d?0，（2）d?1m时，出射光束的光腰位置和光束发散角。

解答：

出射高斯光束束腰处光斑半径为

w?'2022w0F(F?z)2??w?2240 z'?F?(z?F)F2(z?F)2??w?2240

'd?0,w0?0,z'?4cm??2??w'0??

'd?1m,w0?0,z'?4cm???

12一染料激光器输出激光器的波长??0.63?m，光腰半径为60?m。使用焦距为5cm的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为0.50m。问：离透镜4.8cm处的出射光斑为多

大？ 解答：

出射高斯光束束腰处光斑半径和光腰距透镜的距离为

w?'2022w0F(F?z)2??w?2240 z'?F?(z?F)F2(z?F)2??w?2240

出射高斯光束距束腰距离为z处的光斑尺寸为

??z'2?w(z)?w?1?('2)?

?w0??'20'20计算得到

w?'2022w0F(F?z)2??w?2240?4.44?10?11m2

??z'2??(z)???1?('2)??1.546?10?9m2

??0?z'?7.5?10?3?'20'201?'22????4.44?10?11m2024?0??z?(1?)2?20f?f2???z'2??'2'2???0(z)??0?1?('2)???0????z'?7.5?10?3????'2 ??0 (z)?1.546?10?9m2 ?(z)?39.32?m13. 一高斯光束的光腰半径为?0，腰斑与焦距为f的薄透镜相距为l，经透镜变换后传输距离l0，又经一折射率为?，长为L的透明介质后输出，如图3.5所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即L0?0（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角?。

2w0?ll0图3.5

L

解：

LL0LLL0??L0L1-- L+L???0?A Bff?f??f????Dm???????C D?? ?1 1?L ??ff????02（1）q0?iz0?i???02 q1?q0?1?1?i?l q3?（1-0）q0?qf??1?4ffl q4?q3?l0?l?ll0f?

?1?1???Im??2?（z）?（qz）??

L?（2）q4????02?（f-L）-iLf?i2f??0?4L2??0(1?)?22 f?f2?2? ?'??'??2??0'???04L2?2?0(1?)?22f?f ?='20?02

?=2???0'?2????014. 如图3.6所示，波长??1.06?m的钕玻璃激光器的全反射镜的曲率半径R?1m，距全反射镜a?0.44m处放置长为b?0.1m的钕玻璃棒，其折射率为??1.7。棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。（1）进行腔的稳定性判别；（2）求输出光斑的大小；（3）若输出端刚好位于f?0.1m的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。

R?半反射膜ab图3.6

f

解：

(1) R1=1m, a=0.44mR ?L==50cm 2?L(2) ?os??0.41mm2?' (3) l?a?b?f?l?0.14m f=0.1m?'???22 ???0f?(L?f)?()??60?m???(L'?f)f2' l?f??10.08cm2??(l'?f)2?(0)2'020?12

?

13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m，腔长L=1m。试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径?0的大小和位置、该高斯光束的f及?0的大小。 解：?0??0s2?L?2??6?1?10.6?102?3.14m?1.30mm

R1?2m，R2??，则g1?1?LL?0.5，g2?1??1R1R2z1?L(R2?L)??L，可见束腰的位置在平面镜上。

(L?R1)?(L?R2)22????g1?g2?2g1g2????0.5m，?0?2???L?gg1?gg??12?12??14??f?0?

?3.67?10?3rad

14、某高斯光束束腰斑大小为?0=1.14mm，??10.6?m。求与束腰相距30cm、10m、

1000m远处的光斑半径?及波前曲率半径R。

??z??z??2?04f2?z?2 解：??z???01?????01??， R?z??z?2?z?z?f????0?把z=30cm、10m、1000m分别代入上面两式中，得到 ?分别为??1.455mm，2.963cm，0.296m R分别为R?0.8m， 10.015m，1000m

22

15、若已知某高斯光束之?0=0.3mm，??632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无穷远处q的值。 解：

11?， ??i2q(z)R(z)??(z)2??z??2?04把??z???01??，R?z??z?代入上式中 22??z???0???02得到q?z??z?i

???2?0.45i 束腰处z=0，q(0)?i?无穷远处，q(?)??

??02z?30cm处，q?0.3??0.3?i?0.3?0.45i

?16、某高斯光束?0=1.2mm，??10.6?m。今用F=2cm的锗透镜聚焦，，当束腰与透镜的距离为l?10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得结果。 解：高斯光束束腰变换关系?'20?2F2?0????(F?l)2??????202，l?F?'F2(l?F)????(F?l)2??????202

当l?10m、1m、10cm、0时，可分别得到

17、二氧化碳激光器输出光??10.6?m，?0?3mm，用一F?2cm的凸透镜来聚

'焦，求欲得到?0?20?m及2.5?m时透镜应放在什么位置。

2F2?02???0?2(F?l)??????2解：由公式?'20?'，可得到当?0?20?m及2.5?m时，

透镜与束腰之间的距离l分别为1.96cm及-3.85mm。

\18、如图2.2光学系统，入射光??10.6?m，求?0及l3。

F1?2cm?0?3mmF2?5cm'?0?\0l1?2cml2?1.5cm图2.2

l3

解：由?'20?2F12?0????(F1?l1)2??????202以及l?F1?'1F12(l1?F1)????(F1?l1)2??????202

''可分别得到经透镜F1之后高斯光束的束腰半径?0及其到F1的距离l1 ''到透镜F2的距离l2?l2?l1' ?0'2F22?0'F22(l2?F2)再由??\0????'2(F2?l2)??????'202，l3?F2?????'2(F2?l2)??????'202

即可得到

19、某高斯光束?0=1.2mm，??10.6?m。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1cm，口径为20cm；副镜为一锗透镜，F1?2.5cm，口径为1.5cm；高斯光束束腰与透镜相距l?1m，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

R?1mF1?2.5cm?0?1.2mml ??l?'解：准直倍率M?M1?? 2????0?F?R?20 其中，M?2F12F1代回式中得到M?50.97

20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为?的基模高斯光束，今给

定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及

'2步骤。

21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜组成，R1?1m，R2?2m，L?0.5m。如何选择高斯束腰斑?0的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自在现光束？

?L?2L解：傍轴光束在腔内往返矩阵的元素A?1??0.5， B?2L?1???0.75

R2?R2??2?2L?2L??2L??2?2L??C?????1???2D??，???1?????1?????1

R1??R1??R2???R1R2??R1?得到参考面上曲率半径和光斑尺寸

14R?2B(D?A)??1， ??(??)?B1/2D?A2[1?()]2?1?1.6mm

最后得到高斯束腰斑大小和位置

????2?2??0???1?????R??????

?12???R?2??1.2mm，z?R?1??2????0.365m

????????22、（1）用焦距为F的薄透镜对波长为?、束腰半径为?0的高斯光束进行变换，并使

???02?变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在F?f和F?f?f??两

???种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离l？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜

到高斯光束束腰的距离l不能改变，如何选择透镜的焦距F？

2F12?02解：（1）????0， 22(F1?l1)?f'20整理得F?f?(F?l) 当F?f时，有l?F?222F2?f2 当F?f时，l可取任意值。

（2）对一定的l值，只有当其焦距F?R(l)2（为高斯光束到达透镜表面上的波面的曲率半径）时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，F越小，聚焦效果越好。在F?f的条件下，?0?'?F，l'?F。 ??(l)23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用q参数法来推导出自在现变换条件式

（2.12.3）。

解：qC(lC?l)?q0，且qC?qB?lC

则lC?l时，q0?qB?l 由

111111??得到?? qBqAFq0?lq0?lFq02??022ll)] 整理并解得F?[1?()]?[1?(2l2?l

24、试证明在一般稳定腔（R1，R2，L）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径。 证明：由等价共焦腔参数公式z1?L(R2?L)?L(R1?L)，z2?

(L?R1)?(L?R2)(L?R1)?(L?R2)f2?L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L) 2[(L?R1)?(L?R2)]f2把这组公式代入到R?z??z?中，

z得到R?z1??R1，R?z2??R2，命题得证。

25、试从式（2.14.12）导出式（2.14.13），并证明对双凸腔B?4C?0。

211?1??l?Ll?R?122解：解二元联立方程??1?1?1??l2?Ll1R1??2?l1?Bl1?C?02L(L?R2) ，得到??B?2L?R1?R2??LR(L?R2)?C?12L?R1?R2?4L2[L2?(R1?R2)2?R1R2]?4L(R1?R2)(2L2?R1R2) B?4C?2(2L?R1?R2)2对于双凸腔R1、R2均小于0 ，则上式分子恒为正，即B?4C?0

26、试计算R1?1m，L?0.25m，a1?2.5cm，a2?1cm的虚共焦腔的?单程和?往返。若想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2？反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2端单端输出，应如何选择a1？在这两种单端输出的条件下，?单程和?往返各为多

2大？题中a1为镜M1的横截面半径，R1为其曲率半径，a2、R2的意义类似。 解：对于虚共焦腔有

R1R2??L，则把已知代入可得R2??0.5 22m1?1，m2?R1?2 R2?单程?1?11?50%， ?往返?1?22?75%

m1m2m1m2若想从凹面镜M1端单端输出，

则被镜M2所截并反射回腔内的能量份额?1?a?2a1?应为1， m122a1不变，可得到a2?2.5cm

同理，若想保持a2不变并从凸面镜M2端单端输出，得到a1?2cm 两种情况下?单程和?往返不变。

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