浅谈正定二次型的习题课设计

二次型

第2 6卷第 5期21年 1月 OO O

大学数学C0LLEGE ATH EM ATI M CS

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浅谈正定二次型的习题课设计严文利(阴工学院数理学院，苏淮安 2 3 0 )淮江 2 0 3

[摘

要]在高等代数的实二次型内容中，定二次型占有特殊的地位 .文从概念的回顾、定二次型正本正

与正定矩阵的判断、二次型正定及矩阵正定的性质、它类型二次型四个方面来设计正定二次型的习题课，其 并通过具体例子说明例题、题精选的原则.习 [关键词]高等代数；次型；定二次型；二正习题课

[图分类号] G62 4中 4 .

[献标识码] C文

[章编号] 1 7一4 4 2 1 ) 50 7~4文 62l 5 (0 0 0— 160

高等代数是数学专业的一门专业基础课.于该课程中概念、理较多，由定因此学生在学习时往往感

到很抽象 .尽管教师在课堂讲授时分析了概念的内涵，绍了定理的推导思路，不少同学遇到习题特介但别是一些综合性的习题还是不知从何人手.以，高等代数中的重要内容安排一定的习题课还是很有所对必要的.我认为，习题课主要是问题答疑和习题探究，课堂讲授的补充与深化 .是习题课的核心是总结、巩固和提升已学知识.教师应充分利用习题课帮助学生加深对概念的理解，示高等代数课程中蕴含的揭

丰富的数学思想，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力及运算技巧能力等数学能力.本文以正定二次型为例介绍我在该内容习题课中的一些做法 .这部分的重点是正定二次型与正定矩阵的判断和证明.因此，我就从概念的回顾、正定二次型、正定矩阵的判断、二次型正定及矩阵正定的

性质、其它类型二次型四个方面来上该部分的习题课 .

1概念、论、法的回顾结方习题课一开始应先复习和巩固相关概念、理和基本方法 .师在课堂上可借助提问等手段，发定教启学生积极思考，理清概念之间的关系.回顾正定二次型、先正定矩阵的定义、重要结论及判断方法.

定义 1实二次型 f x, …,称为正定的，果对于任意一组不全为零的实数 c,z…, (

., z ) 2 C如 C, C都有 f( l C,,> O f,2… C ) .

定义 2如果二次型 XIX正定， A称实对称矩阵 A为正定矩阵. 结论 1实二次型 f x,。…, 一 ( z, z ) +d;…+d:定∞> O一1 2…,. 2+ 正，,, 结论 2一个实对称矩阵是正定矩阵∞它与单位矩阵合同. 结论 3非退化的实线性替换保持实二次型的正定性不变. 结论 4正定矩阵的行列式大于零. 正定二次型的判定实二次型 f x,,, ) ( … :x'x正定㈢ a ( A与单位矩阵合同， i )即存在可逆矩阵 c, A一 C;使(i A的顺序主子式都大于零； i )(i i )f(,,, )正惯性指数等于 I; i xl 2… 的 l '

(v i)A的特征值都大于零 .[稿日期]2 0—21收 0 91~1

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2正定二次型、定矩阵的判断正为使学生更好地理解正定二次型、定矩阵的概念，正掌握正定二次型的判断方法，习题课上教师应结合这些课程的核心内容精选例题讲解、习题练习，学生在解题过程中理解思考的过程，受其中的让感数学思想；可精选一道典型题用各种方法计算，加以推广和探讨，养学生的发散思维能力 .也并培 在常规课堂教学中，我们曾给出下面的例子来考察学生对正定性的理解 . 例 1￡ 如何取值，次型 f x,, ) +z+5; t 1—2 1 3 x 3为正定？二 (1 2 3一； x+2x 2 x z+4 2

这个问题的求解要运用正定二次型的矩阵 A的顺序主子式都大于零这样一个性质，即要利用它的二阶、三阶顺序主子式都大于零来求出 t的范围.就化为行列式计算的问题 .类问题可以培养学生这这的计算能力，是证明题是最能体现思维过程的，包含着丰富的数学思想，反证法的思想、造法的但也如构思想、归转化思想等.证明题的讲解与练习更能培养学生的缜密的思维能力 .化故因此，习题课上，在我

们选择一些有代表性的证明题，多个角度给学生介绍思考的方法、中的数学思想及可用的技巧.从其因此，回顾了正

定二次型的定义和正定二次型判别的四个充分必要条件后，在就要举例说明对一个具体的证明问题到底该用哪种方法来判断 .的做法是：讲清一个例子的思路，我先再类推到其他类似问

题 .先以教材[ -。习题 1我 -]。 1P。 1为例介绍了判断 A为正定矩阵的三种方法，引导学生把这几种方法 并推广应用到其它问题的证明中.例 2设 A是级正定矩阵，明： 也是正定矩阵 .证 A

证法 1由 A是正定矩阵知， x为正定二次型，因为 A为实对称矩阵， ( )一 ( XA又故 A A)一A~,以 A是实对称矩阵. x所 令=A~Y有，xAx一 ( ' A y, A ) )A(一 ( r A一 ) AA一 y=y ( l A一 )y— ( 一 y=yA_ Y, A ),。

从而 yA Y为正定二次型， A为正定矩阵. '故 法 2因 A是正定矩阵， 故存在可逆矩阵 c, A一. C,么， 一C ( )。从而 A为正定使=那， A _,矩阵. 法 3因 ( )一 ( 一A1,以 A为实对称矩阵. A A)。所 设为 A的特征值 (一 1 2…, )即 i,,",

A=A,以 A x A 即 x 所 -￣x,=为正定矩阵.

为 A的特征值 .因为 A正定，以> 0从而 又所，

>o因此 A,

分析与推广在法 1中，我们用定义的方法来判断待证矩阵 A是正定矩阵，定义的方法还适用 该于证明若干个矩阵之和与矩阵之积为正定矩阵情形.:如1设 A,为阶正定矩阵，明： . B证 A+B,A (> O是正定矩阵 . k走 )

2设 A为阶正定矩阵，明：是正定矩阵. .证 A 证因为 A正定，以 I O且 A正定，以 A所 Af,> 所一 l 正定 . Af A 3设 A为 n阶实矩阵， f .且 Af, A, A 是正定矩阵.≠0则 A, A都 在法 2中，我们用构造的方法来判断 A是正定矩阵. 构造法还可用于证明 A是正定矩阵情形 .即 4设 A是阶正定矩阵，明 A .证也是正定矩阵 .

在法 3中，我们用特征值法来判断 A是正定矩阵，方法也适用于证明矩阵 A的各种运算如数

该乘、方幂、随矩阵、伴多项式矩阵等为正定矩阵情形 .如 5设 A是阶正定矩阵， k 0时， A A .则> k A,,都是正定矩阵.6设 A是阶实对称矩阵，满足 A一 4。 7 1A+ 1E=O,明：是正定矩阵 . .且 A+ A一 6 2证 A

由上可见，由一个例子引伸出六类问题的证明，好地锻炼了学生的发散思维能力.很

3正定矩阵的性质以上问题主要是巩固学生对正定矩阵判断方法的理解，面例子则考察学生对正定矩阵性质的下掌握.

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例 3设阶矩阵 A是正定的， E是”阶单位矩阵，证明：A+E I 1试 J> . 证因为 A正定，以 A的特征值 ,。…,,大于零， A~A,中所 , 均且其

A=:

2●● ●

,

即存在可逆矩阵 P,得 P A使 P=A,即 A—P一所以有亦 AP,

l El lAP+El【 ( A+ — P P A+E)。I I 1= P。— Pl A+E I I 1 P一

』 A+E} ( I 1 (2 1… (+ 1> 1一 A十 )+ ) ) .

在以上证明过程中，综合运用了正定矩阵的判定定理、阵的特征值的概念、似矩阵和矩阵的行矩相列式的概念，现了数学中化归转化的思想 .教学中，师应该有意识地向学生渗透这种思想，强这体在教加类问题的训练可帮助学生深入理解知识问的联系，养学生转化的数学能力和综合运用数学知识的培能力 .

练习设 A, -”阶正定矩阵，明： B的特征值均大于零. B为证 A

提示启发学生用构造法找与 A B相似的正定矩阵 (如正定矩阵 P B(一 C A其中 C。 P )或 C,一 )利用相似矩阵具有相同特征值来证；用 A,或 B的特征值、特征向量定义来证.提问上面的各问题中涉及的矩阵均为”阶矩阵，不满足该条件，若如何考虑？下再举例说明.例 4设 A为阶实对称正定矩阵，为 1×”实矩阵，明：为 7阶正定矩阵的充分必要条 B ) 7证 BAB" l件为秩 ( )" B: . 证必要性 . B A为”阶正定矩阵，对任意实”维列向量≠

0有 X ( B) 0即 ( /设，B则， BA>, B ) A ( x> 0由 A正定知 B≠ 0因此 B:0只有零解，而秩 (一” B ) . x, x从 B) .

充分性 .因为 ( A BA B:BA所以 BA为实对称矩阵 . B,B)一. ,/B, B由于秩 (一”则齐次线性方程 B),组 B=0只有零解，而对任意实维列向量≠ O有 B≠ O且由 A为正定矩阵可得 x从， x,( AB) ( B ) B一 ( B,一 A( ) B )A(, B ) 0>

故 BA为正定矩阵 . B

分析由于 BA是抽象矩阵，断其正定性，法从顺序主子式全大于零得到结论.,B判无这类问题一

般从定义和特征值全大于零两方面考虑.而求特征值要求知道抽象矩阵满足一定的矩阵关系式，题无本此条件，故本题应用定义来证明.外，教学中还应特别强调要注重细节.要证明 B A是正定矩另在如 B阵，必须先说明该矩阵为实埘称矩阵.

4其它类型二次型对其它类型二次型，我们也给出一例，并用反证法和构造性证明两种方法来证明. 例 5设 A是 n阶实对称阵， f 且 Af,明：<0证必存在实”维向量 x≠0使 xA,/<O . 证法 1反证法 )若对任意均有 XA≥O则 A是半正定矩阵. ( x,因此，的主子式都大于或等于 A…由已知 f O知，有某个 f A<必

零，已知 I 0矛盾，与 AI<故必有≠0使 xA, '<0 .法 2构造法 )设，,,, A的特征值，有 i— ( … 是则 c A<”,取 1…一一0,,】…一一 1则一 Y一，一

<0即 A的负惯性指数不等于零.存在可逆线性变换—P,故使 '—Y+…十Y一 Ax ;(,,2…, ) .1,2, 一 P ( 1, 2,, )≠ 0, 1 3 … y

~ ir一Y,

且使 xA ': 0…十0 (+…十 1一一 (一r< 0+一 1 )" ) .

在上面的证明过程中，们建立了矩阵半正定与 A的主子式及 A的负惯性指数之问的关系，时，我同 法 2通过具体构造满足 xA还 '< O的非零实维向量来证明其存在性 . 总之，题

课不仅要回顾、纳、结重要的概念和定理等知识点，要精选例题、题帮助学生加习归总还习深对概念和方法的理解，过讨论、究，针对性地对学生实施能动的心理和智能的导引 .题选择的通探有例原则是由浅到深、简单到综合、由由特殊到一般，构造或转化 .师应通过对习题、题的精选、讨、可教例探

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巧解、广、结来让学生理解思维的过程，受到求解过程中丰富的数学思想，而培养学生的抽象思推总感进

维能力、散思维能力、发逻辑推理能力及转化问题能力，学生可以举一反 i,使融会贯通地综合运用有关的知识解决相应的问题.

[参考文献][]北京大学数学系几何与代数教研室.等代数[ . 1高 M] 3版.京：等教育出版社，0 3 2 6 2 5北高 2 0:2 3E 3李师正 .等代数解题方法与技巧[ .京：等教育出版社， 0 4 1 1 1 5 2高 M]北高 2 0:5— 6 . []周金土 .等代数解题思想与法[ .州：江大学出版社， 0 8 2 7 2 5 3高 M]杭浙 2 0:0— 1. E]徐仲，全， .等代数导教、 4陆等高导学、考[ .导 M]西安：北 l业大学出版社，0 4 2 3 2 9西 l: 2 0:8 9.

Br e i f Tal on he D e i f a e c s s o k t s gn o n Ex r le Le s n。

ii e D fn t o h a r tcF r of Pos tv e i ie ft eQu d ai o m

yA N g l W一 i( h lo a he a is a Sc oo fM t m tc nd Phy is, H uayi ns iut fT e hno o sc i n I tt e o c l gy, H u i n 22 03 Chi a) a a 30 n,

Ab t a t sr c:Qu d a i f r o o i v e i ie h s s e i lp a e i e lq a r t o m f Ad f c a g b a I h s a r t o m f p st e d fn t a p ca lc n r a u d a i f r o v i c i c n ler n t i.

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c n e s u g me to h u d a i o m fp stv e i i n h o iie d f i t i;p o e te f出e q a r t o c pt;j d e n ft e q a r tcf r o o i e d fn t a d t ep s t ei t ma rx r p r is o i e v n e u d ai cf r ofp ii fnie a d t e p ii e d fniem ati n he nd fq dr tc f m o m ostvede i t n h ostv e i t rx a d ot rki s o ua a i or.

A nd we as h lo s ow he D i i l t rncp e

Ofho t e e t s t l x m p e nd e r ie r c nc e e e m pls w o s lc uiab e e a l s a xe c s s by ou o r t xa e.

K e r: a va c d age a; q dr tcf m;qu dr tc f m ostve d fn t y wo ds d n e l br ua a i or a a i or ofp ii e i ie;ex r ie 1 s on e c s e s s

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