机械优化设计综述及其应用举例

机械优化设计综述与应用

苟晓明

（重庆理工大学 重庆汽车学院，重庆市 400054）

摘要：机械优化设计是一门实践性很强的综合性学科，在现代机械设计中占有非常重要的地位，其应用价值十分高，是非

常有发展潜力的研究方向。文章对机械优化设计的基本理论，基本研究思路、优化设计方法、软件的应用情况以及应用中可能遇到的问题等分别进行了简述，分析了优化设计应用的发展趋势。并应用Matlab优化工具箱对产品进行了优化设计应用实例分析。

关键词：机械优化设计；优化方法；蜗杆传动；Matlab

Summary of Mechanical Optimal Design and Application

GOU Xiao Ming

(Chongqing University of Technology, Chongqing Automobile Institute, Chongqing,400054,Chain)

Abstract: Mechanical optimal design is a very practical comprehensive discipline, it plays a very important role in modern

mechanical design. Its value is very high, and is very promising research direction. This article summarized the basic theory of optimal design, research ideas, optimal design method, the application of software and possible problems in use the software. Analyze the application and trends of optimization methods. And use Matlab optimization toolbox to analyze the optimal design of products.

Key words：mechanical optimal design; optimization method; worm transmission; Matlab

0 引言

优化设计是20世纪60年代发展起来的，以数学规划理论为基础，根据最优化的原理和方法，应用计算机技术，寻求最优设计参数的一种新方法，为工程设计提供了一种重要的科学设计方法。优化设计首先需根据工程需要将实际问题转化成数学模型，然后选择合理的优化方法，通过计算机求得最优解。能使设计周期大大缩短，提高计算精度、设计效率和设计质量。因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业部门，已成为设计方法的一个重要发展趋势。

计，可进一步改善和提高产品的性能；在满足各种设计条件下减少产品或工程结构重量，从而节省产品成本消耗、降低工程造价;可以进一步提高产品或工程设计效率。因此，优化设计是直接提高产品设计性能、降低产品成本的有效设计方法。优化设计可给企业带来直接的经济效益，从而提高企业产品的竞争能力。

优化设计的目标是使设计对象最优，而优化设计的手段是计算机及优化计算软件。优化计算软件是以优化计算方法为基础而形成的应用程序系统。因此，优化设计还可以被理解为采用计算程序的从设计空间搜索最佳设计方案的现代设计手段。优化设计与常规设计相比具有借助计算机为工具的明显特征。优化设计中优化计算方法的数学基础包括线性规划、非线性规划、动态规划、几何规划等内容的数学规划理论。

优化设计一般包含如下主要内容:①将设计中的实际物理模型抽象为数学模型。确定设计过程中主要的设计目标和设计条件，在此基础上构造评价设计方案的目标函数和约束条件等。②数学模型的求解。根据数学模型的性质，选择合适的优化方法，并利用计算机进行数学模型的求解，得到优化设计

1 优化设计基本概念

机械优化设计就是在满足给定的载荷、环境条件、产品的形态、几何尺寸关系或其它约束条件下,以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象,选取设计变量,建立目标函数和约束条件, 利用数值优化计算方法使目标函数获得最优设计方案一种现代设计方法。进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组由数学表达式组成的最优设计参数。利用优化设

[1?3]方案。

任何机械设计问题，总是要求满足一定的工作条件、载荷和工艺等方面要求，并在强度、刚度、寿命、尺寸范围及其他一些技术要求的限制条件下寻找一组设计参数。因此机械优化设计问题就是在满足一系列设计参数的限制条件情况下优选一组设计参数，使得设计参数对应的设计指标达到最佳值。机械优化设计问题在数学上可以表达为以等式或不等式函数描述的约束条件和以多变量函数描述的优化设计目标，这就是优化设计的数学模型。优化数学模型中包含了目标函数、设计变量、约束条件等。一般称优化设计数学模型中的目标函数、设计变量、约束条件为优化问题的三个要素。 在优化设计数学模型中，用多变量函数描述的优化设计目标用来评价方案优劣的指标，被称为目标函数。目标函数一般是可变化的设计参量的显函数，它是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。

在优化过程中进行调整的各独立设计参数称为设计变量;设计变量可以是几何参数，也可以是物理参数等。根据设计要求需要预先给定的参数，不能作为设计变量，这些设计参数被称为设计常量。优化设计的数学模型中对设计变量进行了一定的限制，这些限制设计变量取值的等式或不等式函数，称为约束条件。约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系。

2 优化设计算法分类

尽管求解优化设计问题的算法很多，但仍可依

据求解问题有无约束条件将优化算法分为无约束优化算法和约束优化算法二类。线性约束优化和无约束优化算法是求解非线性优化问题的基础。 无约束优化算法主要包括坐标轮换法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、Powell法、变尺度法、单纯形法等。约束优化算法主要包括Monte Carlo法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法、罚函数法、序列线性规划、序列二次规划法。

在无约束优化算法中，各种优化方法各有优缺点，坐标轮换法具有不需要导数信息的优点，计算过程比较简单，程序实现也比较容易，但存在算法收敛速度较慢、计算效率低等缺点。坐标轮换法主要用来解决优化问题设计变量数目小于10的小规模无约束优化问题;另外，坐标轮换法还可解决目标函数的等值线为圆或平行于坐标轴的优化问题。与其他无约束优化算法相比，最速下降法具有方法简单等优点，计算效率在最初几步迭代时较高，且对初始点不敏感，因而常与其他方法一起使用.但最速

下降法需要目标函数的一阶导数信息。求解无约束优化问题的牛顿法对给定的初始点比较敏感。如果初始点选择的比较好，则其解决优化问题的收敛过程会很快；如果选择不当，则可能会出现收敛失败的情况。另外，牛顿法存在计算过程复杂、计算量特别大等缺点，因此主要适合于设计变量数目小的优化问题及目标函数阶次较低的优化问题。共轭梯度法具有收敛速度快等优点，其收敛速度远快于最速下降法。共扼梯度法计算简单，所需要的存储空间少，适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题。在无约束优化方法中，Powell法是计算效率比较高的优化算法之一，它不需要目标函数的导数，是求解中小型规模优化问题的有效方法。变尺度法也是计算效率比较高的优化算法之一，可用来解决高阶目标函数的优化问题，但存在程序实现比较复杂、存储空间比较大等缺点。单纯形法具有不需目标函数导数信息、程序实现简单、计算效率比较高等优点。

求解约束优化问题的约束优化算法一般以非常成熟的无约束优化算法、线性规划和二次规划类优化算法为基础发展起来的。一般可将无约束优化算法分为直接法和间接法二类。所谓直接法就是在优化过程中直接考虑约束条件的优化方法，随机试验法、随机搜索法、复合形法都属于直接类优化算法。所谓间接法就是在优化过程中将约束优化问题等效转化为无约束优化问题等相对简单的优化问题，在此基础上再对相对简单的优化问题进行求解。间接法包括如下三类优化方法：①以线性规划理论为基础，将原约束优化问题转化为线性规划类问题，采用线性规划类算法来求解，主要包括可行方向法、序列线性规划、简约梯度法等；②以无约束极值理论为基础，将原约束优化问题转化为无约束优化类问题，采用无约束优化算法来求解，主要方法有内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法等；③以二次规划理论为基础，将原约束优化问题转化为二次规划类问题，采用二次规划类算法来求解，主要包括序列二次规划法等。

与无约束优化方法一样，各种约束优化方法也是特点各异：Monte Carlo法具有方法简单、不需要导数信息等优点，但存在求解高维优化问题时计算量大等不足；随机方向搜索法具有优化求解过程收敛快，但存在局部寻优的不足，因而在使用时需采用选择多个不同初始点的策略；复合形法具有程序实现简单等优点，但在解决设计变量和约束条件多的优化问题时优化效率比较低；可行方向法是解决约束优化问题的有效方法之一，适合求解中等规模化问题，但存在程序实现复杂等不足；广义简约梯度法具有算法收敛快、计算精度高等优点，但也存在程序实现复杂等不足；罚函数优化方法包括内点法、外点法、混合法等，具有方法实现简单等优点，

但存在优化过程不稳定、收敛速度较慢等缺点，适宜于解决中小规模优化问题；序列线性规划法收敛较慢，只适用于非线性程度不是很强的优化问题；序列二次规划法是收敛速度较快、优化比较有效的方法之一，比较适合于中等规模优化问题；遗传算法具有通用性强、不需要导数信息、收敛较快等优点，是近十多年出现的比较有效的优化方法。

3 优化设计工具箱

Matlab是美国MathWorks公司推出的一套功能强大的工程计算软件，它将科学计算、数据可视化和程序设计集成到一个灵活的计算环境中，并提供了大量的内置函数，在解决广泛的工程问题时，可以直接利用这些函数获得数值解，故被广泛地应用于自动控制、数理统计、数值分析、流体力学和机械设计等许多工程领域。它包括：线性规划和二次规划，求函数的最大值和最小值，多目标优化，约束优化，离散动态规划等，其简洁的表达式、多种优化算法的任意选择、对算法参数的自由设置，可使用户方便地使用优化方法

[8?9]。

3.1 机械优化设计基本思路

机械优化设计的过程：①分析设计变量，提出目标函数，确定约束条件，建立优化设计的数学模型；②选择适当的优化方法，优化函数，编写优化程序；③准备必须的初始数据并上机计算，对计算机求得的结果进行必要的分析[10]。 3.2 利用Matlab软件进行优化设计 3.2.1 优化数学模型的已知参数

根据搅拌机的特性和工厂生产的实际需要，搅拌机械采用闭式的普通圆柱蜗杆传动。由原始资料得知，搅拌机的输入功率P=9kw，蜗杆转速n1= 1450 r/min，传动比i=20，精度等级为8级精度，传动不反向，工作载荷较稳定，但有不大的冲击，要求传动装置设计寿命Lh为12000h。蜗杆的材料为45钢，渗碳淬硬，表面硬45~55HRC，蜗轮材料为QSn4-3，金属铸造。

3.2.2 目标函数和设计变量的确定

在蜗杆传动的可行方案中，建立以中心距a 最小为目标的优化模型[13?20]，即：

a?12m(q?z12)?2m(q?iz1)

式中，a为传动中心距，单位为mm； m为蜗杆轴向和蜗轮端面模数，单位为mm； q 为蜗杆直径系数； z1为蜗杆头数；

z2为蜗轮头数； i 为传动比。

由上式可知，中心距a大小与m ，q ，z1有关，故可以建立以m ，q ，z1为设计变量的优化模型。设计变量X=(xT1,x2,x3)?(m,q,z1)T。综上可将目标函数确定为：

minf(x)=

12x1(x2?iz3)

3.2.3 约束条件的建立 3.2.2.1 模数m 的选取

在标准压力角α=20?的情况下，模数尽可能选取标准数。由于搅拌机的功率不大，因而选2≤m≤10[21]548?655，于是得到约束条件：

g1(x)=2－x1 ≤0 g2(x)=x2－10≤0

3.2.2.2 蜗杆的直径系数q 的选取

当m一定时，增大q，蜗杆的强度和刚度也提高，所以在搅拌机的功率不大的条件下，选取6≤q≤25[21]558?655，于是得到约束条件：

g3(x)=6－x2 ≤0

g4(x)=x2－25≤0

3.2.2.3 蜗杆头数的选取

蜗杆头数z1可根据要求的传动比和效率来选定。按照实践经验，可选1≤z1≤4[21]559?655，于是可得到约束条件：

g5(x)=1－x3≤0 g6(x)=x3－4≤0

3.2.2.4 导程角γ的选取

导程角γ的大小与机械传动的效率有关，在要求效率高时通常取15?≤γ≤30?[21]559?655，要求蜗

杆具有自锁功能时常取3.5?≤γ≤4.5?[22]252?253。

此处选取15?≤γ≤30?。

由γ=arctan(z1/q)[21]559?655，可得到如下约束条

件： g7(x)=15?－arctan(

x3x)≤0

2

g8(x)= arctan(

x3x2)－30?≤0

?1(x1(x2?20x3))3?244≤0

3.2.2.5 按蜗轮齿面接触疲劳进行设计

按照蜗轮齿面接触疲劳强度进行校验，应该满足条件

[22]252?2533.2.2.6 按蜗轮齿根弯曲疲劳进行设计

按照蜗轮齿根弯曲疲劳进行校验，应该满足条

： 件 [ 22 ] 260 ? 262 ：

σKT2H?ZEZρ≤a3[σ]H?

式中，ZE为材料的弹性影响系数，单位为

MPa，对于ZCuSn10P1，取ZE=160 MPa；

Z240?259ρ为接触系数，从文献[22]查得Z.8881d1d2ρ=4.02e?0；

d1a为蜗杆中圆直径与传动中心距的比值，d12qa?q?iz；

1T2为蜗轮转矩，单位为(N*mm)，取啮合效率

η=0.8，T6Pη2=9.55?10n?9.484?105(N*mm)；

1iK为载荷系数，K=KAKνKαKβ，KA为使用系数，选取K[22]240?259A=1.15

；Kν为动载荷系

数，由于转速不高，冲击不大，选取Kν=1.05 ；Kα为齿间载荷分配系数，取Ka=1；Kβ为齿向载荷分布系数，由于工作稳定，选取K[22]259β= 1；则

K=KAKνKαKβ≈1.21。

σH，

[σ]H分别为蜗轮齿面的接触应力与许用接触应力，单位为MPa。由文献[21]查得[σ]’=300

MPa 。

应力循环次数N=60jn72Lh=5.22 ×10； 寿命系数K?8107HN5.22?7?0.8134。

10[σ]'H=KHN[σ]H=244MPa。

将以上数据代入σKT2H?ZEZρa3≤[σ]H得：

1.7762x2g(x)?1.949?106ex2?20x29

σt2KAF?Fmb≤[σ]F

2式中，Ft2为蜗轮的圆周力，单位为N，

F2t2=

2Tmz?948402mz；

1b2蜗轮齿宽，b2≈2m(0.5 +q?1)； σF，[σ]F分别为蜗轮齿根弯曲应力与许用弯

曲应力，单位为MPa；

从文献[22]259中查得蜗轮的基本许用弯曲应

力为[σ]'F=70MPa。

6 寿命系数KFN?9105.22?107?0.644；

[σ]F=70?0.644=45.08MPa

将以上数据代入σFt2KAF?mb≤[σ]F得：

2g11480010(x)?x3?45.08≤0

1x3(0.5?x2?13.2.2.7 按蜗杆轴的刚度要求进行设计 按蜗杆轴的刚度进行校验，应该满足

[22]260?268：

2f=

Ft1?F2r148EIL3≤[f]

式中，Ft1为蜗杆圆周力，单位为N； Fr1为蜗杆径向力，单位为N；

E为蜗杆材料的弹性模量，单位为MPa；

I为蜗杆轴危险截面的惯性矩，单位为mm，

I?π64?(mq?2m?0.4)4

L?为蜗杆两端支承间的跨距，单位为mm，L?≈18mz1； f，[f]分别为蜗杆挠度和许用挠度，[f]=

x1x21000。

22将以上数据代入式f=

Ft1?Fr148EIL3≤[f]得：

?2g?211(x)??11852??????34519??x?? 1x2???x1x3??833?1.179?10x1x31x2≤0

(x)4?x1x2?2x1?0.410003.3 Matlab优化理论和程序

利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性、非线性规划和多目标规划问题，为优化方法在工程上的实际应用提供方便和快捷的途径。本文中的问题属于有约束的非线性问题。Matlab的求解过程如下(图1)

[23]

：

开始

输入原始方案参数m，q，z1

建立目标函数的数学模型f(m，q，z1)

求min f (m，q，z1) 改变 满足收敛 否

条件？ m，q，z1 的值 是

结束

图1 Matlab计算流程图

Fig.1 the Matlab calculate flow chart

3.3.1 编写目标函数的M文件wolunfun.m；返回x处的值f ：function f = wolunfun(x)

f =x(1)*(x(2)+x(3)*5)/2；

由于约束条件中有非线性约束，所以需要编写

一个描述非线性约束条件的M文件 woluncon.m：

function [c，ceq]=woluncon(x) c(1)=15－atan(x(3)/x(2))； c(2)=atan(x(3)/x(2))－30；

c (3)=1.949*10^6*exp(－1.7762* x (2)/ ( x (2)+20* x (3)))*(1/( x (1)^3*( x (2)+20* x (3))^3))^0.5－244；

c (4)=57378.2/(x(1)^3*x(3)*(0.5+(x(2)+1)^0.5))－45.08；

c (5)=((118552/(x(1)*x(2)))^2+

(34519/(x(1)*x(3)))^2)^0.5*(1.179*10^(-8)*x(1)^3* x(3)^3)/(x(1)*x(2)－2*x(1)－0.4)^40.001*x(1)*x(2)；

ceq=[]； 选现在有一组方案做为优化方案的初始条件，给定变量的可行域，并调用优化过程。

x0=[8， 10，2]； %传统方案设计值 lb=[2， 7，1]； %变量的下限 ub=[10，25，3]； %变量的上限

options=optimset('Display'，'iter'，'LargeScale'，'off')； %设置优化参数

[x，fval，exitflag，output，lambda]=

fmincon(@wolunfun，x0，[]，[]，[]，[]，lb，ub，@woluncon，options)

3.3.2 运行Matlab程序可得到以下结果：

x=[5.9703 11.3826 2.0071]T fval=153.8063

根据蜗杆传动设计要求，将计算参数按工艺标准圆整，先选定m=6.3，z1=2为附加的约束条件，再对直系系数q用Matlab再次进行优化处理；即描述非线性约束条件的M文件变为：

function [c，ceq]=woluncon(x) c(1)=15－atan(x(3)/x(2))； c(2)=atan(x(3)/x(2))－30；

c(3)=1.949*10^6*exp(-1.7762*x(2)/(x(2)+20*x(3)))*(1/(x(1)^3*(x(2)+20*x(3))^3))^0.5－244；

c(4)=57378.2/(x(1)^3*x(3)*(0.5+(x(2)+1)^0.5))－45.08；

c(5)=((118552/(x(1)*x(2)))^2+(34519/(x(1)*x(3)))^2)^0.5*(1.179*10^(-8)*x(1)^3*x(3)^3)/(x(1)*x(2)－2*x(1)－0.4)^4－0.001*x(1)*x(2)；

ceq(1)=x(1)－6.3； ceq(3)=x(1)－2； 3.3.3 运行Matlab程序可得到以下结果： x=[6.3000 10.0267 2.000 0]T fval=157.5841

根据蜗杆传动设计要求，将计算参数按工艺标准圆整[21]，即取m=6.3mm，q=10，z1=2，与之相

对应的γ=10?18?36??，α =160 mm。

所以，蜗杆传动参数模数、直径系数、蜗杆头数、中心距优化前分别为8 mm，10，2，200mm，优化后分别为6.3 mm，10，2，160mm．蜗杆传动的中心距优化后比优化前下降了20%/ 3.4 结论

（1）采用Matlab优化工具箱求解，在保证各约束条件的前进下，与优化前相比，新的设计方案使蜗杆传动的中心距下降了20%，从而可节省大量的材料和成本，结构更加紧凑。

（2）Matlab优化工具箱可直接调用最佳优化函数求解，具有初始参数输入简单，语法符合工程设计语言要求，编程量小，优越性明显因此，成为优化设计中常用的辅助工具。

4 优化设计中需注意的几个问题

在优化设计中，应根据具体设计问题判断是否选择了合适的优化方法，相应的计算程序是否有效，数学模型构造是否合理，能否充分反映实际问题且尽量简化，这些都直接关系到优化设计进程和机械设计结果。 4.1 设计变量选择

在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。注意各设计变量应相互独立，避免耦合情况的发生，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。

4.2 目标函数与约束的确定

对于一般机械，可按重量最轻或体积最小建立目标函数；对应力集中现象突出的构件，以应力集中系数最小为目标；对精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件，目前尚无一套完整的评价方法来检验哪些约束是必须，哪些约束是可忽略的，通常是凭经验取舍，不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。 4.3 数学模型确立

数学模型越精确，设计变量越多，维数越大，建模越复杂，优化进程越慢；但数学模型忽略过多元素，则难以确切凸现结构的特殊之处。故要结合工程实际和优化设计经验，把握与研究目标相关程度大的因素，尽可能的建立确切、简洁的数学模型。然后通过基于统计理论的检验方法，分析模型的置信区间，对模型有效性进行评价，提高模型的准确

度。

4.4 数学模型的尺度变换

因各设计变量、各目标函数、各约束函数表达意义的不同，将可能使得各自在量级上相差很大，从而导致在给定的搜索方向上各自的灵敏度差距也很大。灵敏度大的搜索变化快，灵敏度小的搜索变化慢。为消除这种差别，可以对其进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的设计变量，即进行目标函数尺度变换、设计变量尺度变换和约束函数的规格化，以提高优化进程，提高结果进度，加快收敛速度。

例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 [σ]=150MPa，而下横梁的许用挠度[δ]=0.5mm，约束函数为：

g1(x)?σ-150≤0

g2(x)?δ-0.5≤0

两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计是不利的。例如采用惩罚函数时，两者在惩罚项中的作用相差很大，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到满足，而灵敏度小的几乎得不到考虑。

g1(x)?σ[σ]-1≤0 g2(x)?δ[δ]-1≤0

这样，各约束函数得取值范围都限制在[0，1]

之间，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。

5 未来前景

近年来，随着数学理论的迅猛发展和计算机能力的不断增强，机械优化设计方法不断有突破，设计思路不断开阔。当今的优化正逐步的发展到多学科优化设计，结构拓扑优化、智能算法优化设计、结构动态性能优化设计、柔性机械优化、绿色优化、可靠性稳健设计、仿生学、遗传学算法的优化设计、人工智能优化等现代设计理论的引入，都大大促进优化设计方法的更新和完善。机械优化设计给机械工程界带来了巨大经济效益，随着技术更新和产品竞争的加剧，优化设计的发展前景十分广阔。因此,在加强现代机械设计理论研究的同时,还要进一步加强最优设计数学模型的研究,以便在近代数学、力学和物理学的新成就基础上,使其更能反映客观实际。机械优化设计的研究还必须与工程实践、数学力学理论、计算技术和电子计算机的应用等紧密联系起来,才能具有更广阔的发展前景。

同时，在优化技术水平得到了提高的同时，国内机械加工工艺水平、加工手段和制造技术也应配套提升才行，否则整体机械水平将仍然停滞不前。这不仅要加工技术的引进，更重要的是加工设备的性能提升，尤其是数控机床的加工水平。加强与国际技术发达国家的合作和交流，软硬件技术共同提升，以期达到机械设计与加工一体化的目标。

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