八年级第5讲 因式分解的常用方法（拓展班）

第五讲 因式分解的常用方法拓展

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca

222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b)

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 1 页 共 6 页

2

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a) 例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2 =(a?b)2?c2

=(a?b?c)(a?b?c)

练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax?bx?bx?ax?a?b （3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a （5）a?2a?a?9 （6）4a2x?4a2y?b2x?b2y

22（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1

22432222222222222（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a) （11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a?b?c?3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a. 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax+bx+c，都要求??b平方数。

于是??9?8a为完全平方数，a?1

2

33322?4ac >0而且是一个完全

例5、分解因式：x?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

2解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3 22 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 2 页 共 6 页

例6、分解因式：x?7x?6

解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1 =(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5

练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x?10x?24

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1

（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例7、分解因式：3x?11x?10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习7、分解因式：（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2

（3）10x?17x?3 （4）?6y?11y?10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

22222222222222b 例8、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b

22b=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解：a?8ab?128 =(a?8b)(a?16b)

22练习8、分解因式(1)x?3xy?2y(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

222222例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)

第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 3 页 共 6 页

2222

练习9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2 （2）ax?6ax?8

综合练习10、（1）8x?7x?1 （2）12x2?11xy?15y2 （3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3 （5）x2y2?5x2y?6x2 （6）m?4mn?4n?3m?6n?2 （7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 （9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2

思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005x?(2005?1)x?2005

（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x 解：（1）设2005=a，则原式=ax?(a?1)x?a

=(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)

（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2

设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x

22∴原式=(A?2x)A?x2=A?2Ax?x

22632222222 =(A?x)2=(x2?6x?6)2

练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)

（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90 （3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2

例14、分解因式（1）2x?x?6x?x?2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

22解：原式=x(2x?x?6?4321111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6?

xxxx1122设x??t，则x?2?t?2

xx2∴原式=x（2t2?2)?t?6?=x22t2?t?10

21????2 =x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?

xx????21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1

xx????2 =(x?1)(2x?1)(x?2)

???????第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 4 页 共 6 页

（2）x4?4x3?x2?4x?1

41??1??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????1122 设x??y，则x?2?y?2

xx ∴原式=x2(y2?4y?3)=x2(y?1)(y?3)

112 =x(x??1)(x??3)=x2?x?1x2?3x?1

xx练习14、（1）6x4?7x3?36x2?7x?6

（2）x4?2x3?x2?1?2(x?x2)

解：原式=x(x?4x?1?22????

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）x3?3x2?4

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4 =

(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x2?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4)

=(x?1)(x?2)2 =(x?1)(x?2)2

（2）x9?x6?x3?3

解：原式=(x9?1)?(x6?1)?(x3?1)

=(x3?1)(x6?x3?1)?(x3?1)(x3?1)?(x3?1) =(x3?1)(x6?x3?1?x3?1?1) =(x?1)(x2?x?1)(x6?2x3?3)

练习15、分解因式

42243（1）x?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1) 42422（3）x?7x?1 （4）x?x?2ax?1?a

444222222444（5）x?y?(x?y) （6）2ab?2ac?2bc?a?b?c

七、待定系数法。

例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6

分析：原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)

解：设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn

222222222222?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13，解得?

n?3??mn??6?第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 5 页 共 6 页

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。

（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必为

(x?y?a)(x?y?b) 解：设x2?y2?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x2?y2?mx?5y?6=x2?y2?(a?b)x?(b?a)y?ab

?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；

当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)； 当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)

（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因

式必为形如x?c的一次二项式。

32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

32 则x?ax?bx?8=x3?(3?c)x2?(2?3c)x?2c

32?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21

练习17、（1）分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6

（3） 已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。 （4） k为何值时，x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积，并

分解此多项式。

22第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 6 页 共 6 页

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。

（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必为

(x?y?a)(x?y?b) 解：设x2?y2?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x2?y2?mx?5y?6=x2?y2?(a?b)x?(b?a)y?ab

?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；

当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)； 当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)

（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因

式必为形如x?c的一次二项式。

32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

32 则x?ax?bx?8=x3?(3?c)x2?(2?3c)x?2c

32?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21

练习17、（1）分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6

（3） 已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。 （4） k为何值时，x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积，并

分解此多项式。

22第五讲 因式分解的常见方法拓展（提高班） 第 6 页 共 6 页

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