几何证明 - 中点模型（高级）

★初中几何证明专题★

几何证明——中点模型(高级)

【经典例题】

例1、已知?ABC中，?ACB?90，AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于

0P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF//AB。

AHNFQPECMB

例2、已知，D为AC边的中点，?A?3?C，?ADB?45?求证：AB?BC。

BADC

例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、点H是FC的中点，连接EH、DH。 C的连线，求证：EH?DH且EH?DH。

EFADHGBC

◆中点模型◆

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例4、如图，在四边形ABCD中，AB?CD，E,F分别是BC,AD的中点，A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证：?BGE??CHE.

GHAFDBEC

例5、如图，在?ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE?DF，过E、F分

别作CA、CB的垂线，相交于P。求证：?PAE??PBF。

CADBFEP

例6、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，过点C作直线MN垂直于AB，交AB于N，交DG于M，证明：M为DG中点，且CM的长为AB的一半。

DMGECFAB

◆中点模型◆

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例7、如图，已知四边形ABCD、EFGH均为正方形，I、J、K、L分别为AE、BK、CG、DH、的中点，求证：IJKL为正方形。

AIEHLDFGJKBC

【提升训练】

1、在?ABC中，D是AB的中点，?DAC?2?DCA，?DCB?30?，求?B的度数。

BDA

2、如图所示，?BAC??DAE?90?，M是BE的中点，AB?AC，AD?AE，求证AM?CD．

AC

MBCED

3 ◆中点模型◆

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3、在四边形ABCD中，设M,N分别为CD,AB的中点，求证MN≤号成立．

CMD1?AD?BC?，当且仅当AD∥BC时等2ANB

4、以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的数量关系是 ；

⑵将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0???90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

DNEDNAAEBM图①CBM图②C

5、如图，在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，且A在线段EC上，连结EC，取EC 的中点M，连结DM和BM．证明：?MBD??MDB．

BDEAMC

◆中点模型◆

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6、如图，在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，且AD?AC，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．结论?MBD??MDB成立吗?

BAMDEC

7、如图，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：?MBD??MDB．

BDEAMC

8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． ⑴求证：EG?CG；

⑵将图①中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

⑶将图①中?BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

ADAGDADGEEFC图②EBFBF图①CBC图③

◆中点模型◆

5

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10、如图，?ABC是等腰直角三角形，?C?90?，点M，N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD?2BM，点E在射线NA上，且NE?2NA，求证：BD?DE．

E AD M BN C

11、如图，在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，且E在线段AC上，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM，结论?MBD??MDB成立吗?

BAEMC

12、如图，以?ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt?ABD，和Rt?ACE，且使?ABD??ACE?a，

M是BC 的中点，（1）求证：DM?ME；（2）求?DME的度数。

DADEB6 MC

◆中点模型◆

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13、如图，三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，?BDC??BEA?90?，连接AC，取AC中点F，连接EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形。

DEAFBC

14、四边形ABCD是正方形，CE=EF，?CEF?90?，连接AF，G是AF中点，连接GD、GE。求证：GD?GE且GD?GE。

BGEFACD

15、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是

EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半。

DGCEPFAQB

◆中点模型◆

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16、已知，ABCDAEFG均为正方形，连接CF，取CF中点M，连接DM、ME，求证：?MDE为等腰直角三角形。

BGACMFDE

17、如图，在梯形ABCD中，AB//CD，以BC为边向外作正方形BCEF，连接DF，AB、DF的中点分别为H、G，?GHB?45?，求证：AD?BC。

EDCGFAHB

18、如图1，已知Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM?DM且BM?DM； （2）将图1中的?ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不

成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

BEDCAMCEB?MAD

◆中点模型◆

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19、如图，分别以锐角?ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt?DAB、Rt?EBC、Rt?FAC. 求证：（1）AE?DF；（2）AE?DF.

DAFBC

E

20、已知，ABCD、EFGH均为正方形，I、J、K、L分别为AE、BF、CG、DH的中点，求证：IJKL为正方形。

HEGIFLAKDJBC

21、如图，正三角形ABC，以A为顶点向外作两个正三角形ADE和AGF，连接EF、DB、CG，取EF、DB、CG中点M、K、N连接，求证：?KNM为正三角形。

EMFAGDKBCN

◆中点模型◆

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22、设?ABC中，?BAC?60?，?ATC??BTC??CTA?120?，点M是BC的中点。 求证：TA?TB?TC?2AM.

ATBMC

23、如图，以任意四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形ABHG、BCJI、CDLK、ADEF，四个正方形的中心分别N、O、P、M，连接NP和OM。求证：NP?OM且NP?OM.

LEGFMDANHBCPKOIJ

10 ◆中点模型◆

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