复数四则运算

复数的四则混合运算

[本周教学内容]：复数

[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。

复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。 [难点]：一元二次方程根的讨论。

[例题讲解]：

例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数 ；(3)纯虚数；(4)零。

解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i (1)当m=1或m=2时，Z是实数。 (2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。

(3)当

即当时，Z是纯虚数。

(4)当

即m=2时，Z是零。

例2．已知： 解：

，求实数x。

即

或x≥8。

例3．计算：

1

解：原式=

例4．求

解：设 则

的平方根为x+yi (x,y∈R)，

的平方根。

由复数相等的定义得 (1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25

x2+y2=5 (舍去负值)........(3) (1)+(3)，x2=3, x= (3)-(1), y2=2,

, 。

∵ ∴

，∴ 的平方根为

或

。

例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。 |Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离； ∴

例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。

2

， ,

。

解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，

几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。

(1)当2a>3即

时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。

(2)当2a=3即

时，Z的轨迹是线段F1，F2。

(3)当2a<3即

时，Z的轨迹不存在。

例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。

解：∵ a∈R，∴ 方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。 (1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。

由韦达定理 又∵ |a|+|b|≥0， ∴

①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=

。

(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。

例8．已知

是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。

解：。

方法(1) ∵ 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，

∴ 也是该方程的根。

3

由韦达定理： 解得：a=1，

。

方法(2)，∵ 是方根的根，代入原方程整理得：

。

由复数相等的定义得 解得a=1，

[本周参考练习] 一、选择题：

1．下面四个命题，正确的是（ ）。 A、|Z|2=Z2 (Z∈C) B、 C、|Z|<1

。

(Z∈C)

Z1=Z2 (Z1,Z2∈C)

-1

2．Z1，Z2∈C, 则Z1+Z2∈R, 且Z1·Z2∈R，是Z1与Z2共轭的（ ）。 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3．复数的共轭复数是（ ）。

A、3-4i B、3+4i C、

D、

4．关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（ ）。 A、 C、

5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、圆 C、直线 D、线段

4

B、 D、

6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（ ）。 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线

的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。

A、

B、 C、 D、

二、填空题

1．设复数Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数 2．-5-12i的平方根是______。

的虚部等于________。

3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，则x=______。

参考答案：

一、1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. A

二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i

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选择题

1．实数m≠-1时，复数(m-3m-4)+(m-5m-6)i是（ ）。

A、实数

B、虚数

C、纯虚数

D、不能确定

2

2

2．若x，y∈R，“x=0”是“x+yi”为纯虚数的是（ ）。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3．下列式子或结论中正确的是（ ）。

A、|1-3i|>|3cosθ+i·3sinθ| C、|5+2i|>|-1-6i|

B、|cosθ+isinθ|=

，最小值是零。

D、|cosθ+isinθ|的最大值是

4．如果z=x+yi (x，y∈R)，则有（ ）。

A、|z|≤|x|+|y|≤C、|z|≤|x|+|y|<

|z| |z|

B、|z|

|z|≤|x|+|y| |z|<|x|+|y|

5．设z1，z2∈C，z1=

A、|z1-z2|=0

的一个必要不充分条件是（ ）。 B、

C、z1=z2

D、|z1|=|z2|

5

6．已知f(z)=1-

A、-3+4i

，且z1=2+3i，z2=5-i，则

B、3-4i

C、4-4i

的值是（ ）。 D、4+4i

7．若复数z满足|z+3-4i|=2，则|z|的最小值和最大值分别是（ ）。

A、1和9

15

15

B、3和7 C、5和11 D、4和10

8．(1+i)-(1-i)的值是（ ）。

A、-256i

B、256i

C、256

D、-256

9．若

A、-2

，则(z-z)的值等于（ ）。 B、-1

C、1

D、±1

2-1

10．若x-1=0有一个虚根

A、0

B、1

C、3

3

，那么ω+ω+1 (n∈N)的值是（ ）。 D、0或3

答案与解析

2nn

答案：1. D 2. B 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D

解析：略。

数的由来和发展

你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如“2+5”，由演员写到黑板上。小狗看到后就会“汪汪汪……”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表，捕获了3头，就放3块石子。“结绳记事”也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有“结绳而治”的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：

1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。

3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。

我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。

从算筹数码中没有“10”这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到

6

了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示为“┴ ╥ ”。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。不过多数人认为，“0”这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了“0”。

说起“0”的出现，应该指出，我国古代文字中，“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作“一百零五”，“零”字与“0”恰好对应，“零”也就具有了“0”的含义。

如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。

但“0”的出现，谁也阻挡不住。现在，“0”已经成为含义最丰富的数字符号。“0”可以表示没有，也可以表示有。如：气温 ，并不是说没有气温；“0”是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。

除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。

现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。

数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。

随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。

随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。

但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大约2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，显然 ，推导的结果是。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 π 就是最重要的一个。人们把它们称为无理数。

有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数为负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“ｉ”表示“-1”的平方根。虚数就这样诞生了，“ｉ”成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成a+bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不“虚”了。

数的概念发展到虚数和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。它是由一个标量 （实数）和一个向量 （其中x、y、z为实数）组成的。四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。

由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

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