初中数学基础知识及典型例题

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综合知识讲解第一章应知应会知识点

2.1代数篇

一数与式

（一）有理数

1有理数的分类

2数轴的定义与应用

3相反数

4倒数

5绝对值

6有理数的大小比较

7有理数的运算

（二）实数

8实数的分类

9实数的运算

10科学记数法

11近似数与有效数字

12平方根与算术根和立方根

13非负数

14零指数次幂负指数次幂

（三)代数式

15代数式代数式的值

16列代数式

（四）整式

17整式的分类

第 1 页共56 页

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18整式的加减乘除的运算

19幂的有关运算性质

20乘法公式

21因式分解

（五）分式

22分式的定义

23分式的基本性质

24分式的运算

（六）二次根式

25二次根式的意义

26根式的基本性质

27根式的运算

二方程和不等式

（一）一元一次方程

28方程方程的解的有关定义

29一元一次的定义

30一元一次方程的解法

31列方程解应用题的一般步骤

（二）二元一次方程

32二元一次方程的定义

33二元一次方程组的定义

34二元一次方程组的解法（代入法消元法加减消元法）

35二元一次方程组的应用

（三）一元二次方程

36一元二次方程的定义

37一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法）38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式

39一元二次方程的应用

（四）分式方程

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40分式方程的定义

41分式方程的解法（转化为整式方程检验）

42分式方程的增根的定义

43分式方程的应用

（五）不等式和不等式组

44不等式（组）的有关定义

45不等式的基本性质

46一元一次不等式的解法

47一元一次不等式组的解法

48一元一次不等式（组）的应用

三函数

（一）位置的确定与平面直角坐标系

49位置的确定

50坐标变换

51平面直角坐标系内点的特征

52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置

53对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称

P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称

P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称

54变量自变量因变量函数的定义

55函数自变量因变量的取值范围（使式子有意义的条件图象法）56函数的图象：变量的变化趋势描述

（二）一次函数与正比例函数

57一次函数的定义与正比例函数的定义

58一次函数的图象：直线，画法

59一次函数的性质（增减性）

60一次函数y=kx+b(k≠0)中k b符号与图象位置

61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）

62一次函数的平移问题

第 3 页共56 页

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63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）

64一次函数的实际应用

65一次函数的综合应用

（1）一次函数与方程综合

（2）一次函数与其它函数综合

（3）一次函数与不等式的综合

（4）一次函数与几何综合

（三）反比例函数

66反比例函数的定义

67反比例函数解析式的确定

68反比例函数的图象：双曲线

69反比例函数的性质（增减性质）

70反比例函数的实际应用

71反比例函数的综合应用（四个方面面积问题）

（四）二次函数

72二次函数的定义

73二次函数的三种表达式（一般式顶点式交点式）

74二次函数解析式的确定（待定系数法）

75二次函数的图象：抛物线画法（五点法）

76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）

77二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a b c△与特殊式子的符号与图象位置关系

78求二次函数的顶点坐标对称轴最值

79二次函数的交点问题

80二次函数的对称问题

81二次函数的最值问题（实际应用）

82二次函数的平移问题

83二次函数的实际应用

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84二次函数的综合应用

（1）二次函数与方程综合

（2）二次函数与其它函数综合

（3）二次函数与不等式的综合

（4）二次函数与几何综合

2.2几何篇

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行

10内错角相等两直线平行

11同旁内角互补两直线行

12两直线平行同位角相等

13两直线平行内错角相等

14两直线平行同旁内角互补

15三角形两边的和大于第三边

16三角形两边的差小于第三边

17三角形三个内角的和等180°

18直角三角形的两个锐角互余

19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边对应角相等

22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

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23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)

26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合

33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35三个角都相等的三角形是等边三角形

36有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42关于某条直线对称的两个图形是全等形

43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上

45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称

46直角三角形两直角边a b的平方和等于斜边c的平方即a+b=c

47如果三角形的三边长a b c有关系a+b=c那么这个三角形是直角三角形

第 6 页共56 页

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48四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)3180°

51任意多边的外角和等于360°

52平行四边形的对角相等

53平行四边形的对边相等

54夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形的对角线互相平分

56两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58对角线互相平分的四边形是平行四边形

59一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形的四个角都是直角

61矩形的对角线相等

62有三个角是直角的四边形是矩形

63对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形的四条边都相等

65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半即S=(a3b)÷2

67四边都相等的四边形是菱形

68对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形的四个角都是直角四条边都相等

70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的

72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分

73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形在同一底上的两个角相等

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75等腰梯形的两条对角线相等

76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等那么在其他直线上截得的线段也相等

79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰

80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半

82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半

L=(a+b)S=L×h

83如果a:b=c:d那么ad=bc

如果ad=bc那么a:b=c:d

84如果a/b=c/d那么

(a±b)/b=(c±d)/d

85如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例

87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例

88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似

91两角对应相等两三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)

94三边对应成比例两三角形相似(SSS)

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95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似

96相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比

98相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109不在同一直线上的三个点确定一条直线

110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧

112圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等

115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

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116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等

118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

对的弦是直径

119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123圆的切线垂直于经过切点的半径

124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等

130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等

131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

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④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)3180°/n

140正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为360°因此k3(n-2)180°/n=360°化为

(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式:L=n∏R/180

145扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

第11 页共56 页

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第 12 页 共 56 页 第三章 例题讲解

【例１】如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF 。

（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．

（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

解析过程及每步分值

1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG 222222222222 1分 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠

所以BEF CEG △∽△ 2222222222222222222222222 3分

（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．22222222222222222 4分 理由一：

过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，

因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH

因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH

由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，

所以BC ＋CH ＋BH ＝24 22222222222222222222222222 6分 理由二：

由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt△BEF 与Rt△GCE 中，有：

4343,,,5555

EF BE BF BE GE EC GC CE ====， 所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125

CE 图10 M B D C E F G x A

A M x H G F E D C B

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第 13 页 共 56 页 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． 22222222222 6分

（3）设BE ＝x ，则43,(10)55

EF x GC x =

=- 所以21143622[(10)5]2255255

y EF DG x x x x ==-+=-- 222222222 8分 配方得：2655121()2566

y x =--+． 所以，当556

x =时，y 有最大值． 222222222222222222222 9分 最大值为1216． 222222222222222222222222222222 10分

【例２】如图 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A B C 且OA ＝1 OB ＝OC ＝3 ．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边) 且MN∥x 轴 求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．

解析过程及每步分值

（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2y ax bx c =++ 22222222 1分

解方程组得所求解析式为223y x x =-- 2222222222222222222 4分

（2）2223(1)4y x x x =--=-- 2222222222222222222222 5分

∴顶点坐标(14)-，

，对称轴1x = 2222222222222222222222 7分 （3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-， 22222222 8分

把N 点代入223y x x =--

得12r -=

222222222222222222 9分

同理可得另一种情形12

r +=

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第 14 页 共 56 页 ∴

圆的半径为

12

-+

或12+ 10分 【例3】已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-．

（1）求k 的值；

（2）求函数12y y ，的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说

明理由．

解析过程及每步分值

（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，

得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--． 又因为当x k =时，217y =，即261017k k ++=，

解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．

（2）由1k =，得2222610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-， 所以函数2y 的图象的对称轴为262(1)

a x a +=--， 于是，有2612(1)

a a +-=--，解得1a =-， 所以2212212411y x x y x x =-++=++，．

（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1

2)，； 由22

224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(1

9)-，； 故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．

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第 15 页 共 56 页 【例4】如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB

所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,

当46S +≤≤+,求x 的取值范围.

解析过程及每步分值

解：（1）∵4)2(422-+=+=x x x y

∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)

四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(5

45

2-

，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(5

854，-) 四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(51256-，) （3）

由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x

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第 16 页 共 56 页 ①当点P 在第二象限时，x<0,

△POB 的面积x x S POB 4)2(421-=-??=

? ∵△AOB 的面积8442

1=??=?AOB S ， ∴)0(84<+-=+=??x x S S S PO B AO B ∵286264+≤≤+S ， ∴?????+≤+≥2

86264S S 即?????+≤+-+≥+-2

868426484x x ∴???

????-≤-≥22412232S x ∴x 的取值范围是2

2322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,

过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积

44)2(21)2(224+=??-+?+=

-='?'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积4242

1=??='?B A A S ∴)0(84>+=+='?'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ， ∴?????+≤+≥286264S S 即?????+≤++≥+2

868426484x x ∴???

????-≤-≥21242223S x ∴x 的取值范围是

2

1242223-≤≤-x

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第 17 页 共 56 页 【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

解析过程及每步分值

解：（1）设1y =kx ,由图①所示，函数1y =kx 的图像过（1，2），所以2=1?k ，2=k 故利润1y 关于投资量x 的函数关系式是1y =x 2；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =2ax ，由图12-②所示，函数2y =2ax 的图像过（2，2），

所以222?=a ，2

1=a 故利润2y 关于投资量x 的函数关系式是22

1x y =

； （2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（80≤≤x ），

则投入种植树木（x -8）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，得

z =)8(2x -+22

1x =162212+-x x =14)2(212+-x 当2=x 时，z 的最小值是14；

因为80≤≤x ，所以622≤-≤-x 所以36)2(2

≤-x 所以

18)2(2

12≤-x 所以32141814)2(212=+≤+-x ，即32≤z ，此时8=x

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第 18 页 共 56 页 当8=x 时，z 的最大值是32.

【例5】如图，已知 (4,0)A -，(0,4)B ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ．

（1）求C 点坐标及直线BC 的解析式;

（2）一抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB

距离为P ．

解析过程及每步分值

解:（1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴49

AO BO AD CD ==． 由已知(4,0)A -，(0,4)B 可知： 4,4AO BO ==．

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第 19 页 共 56 页 ∴9AD CD ==．∴C 点坐标为(5,9)．

直线BC 的解析是为：

409450

y x --=-- 化简得： 4y x =+ （2）设抛物线解析式为2(0)y ax bx c a =++>，由题意得：24925540c a b c b ac =??=++??-=?

，

解得： 111144a b c =??=-??=?222125454a b c ?=???=??=???

∴解得抛物线解析式为2144y x x =-+或22144255y x x =

++． 又∵22144255

y x x =++的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为244y x x =-+

（准确画出函数2

44y x x =-+图象）

（3） 将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，设P 到 直线AB 的距离为h ， 故P 点应在与直线AB

平行，且相距1l 和2l 上．

由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC

的距离也为 如图，设1l 与y 轴交于E 点，过E 作EF⊥BC 于F 点，

在Rt△BEF

中EF h ==45EBF ABO ∠=∠= ，

∴6BE =．∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为(0,10)

同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为(0,2)-

∴两直线解析式1:10l y x =+；2:2l y x =-． 根据题意列出方程组： ⑴24410y x x y x ?=-+?=+?；⑵2442

y x x y x ?=-+?=-?

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第 20 页 共 56 页 ∴解得：11616x y =??=?；2219x y =-??=?；3320x y =??=?；4431

x y =??=? ∴满足条件的点P 有四个，它们分别是1(6,16)P ，2(1,9)P -，3(2,0)P ，4(3,1)P .

【例6】如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.

（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；

（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.

解析过程及每步分值

初中数学参考资料

第 21 页 共 56 页

【例7】如图，在矩形ABCD 中，9AB =

，AD =点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．

（1）求CQP ∠的度数；

（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？

（3）①求y 与x 之间的函数关系式；

②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

727？ 解析过程及每步分值

解：（1）如图， 四边形ABCD 是矩形，AB CD AD BC ∴==，．

又9AB =

，AD =90C ∠= ，

9CD ∴=

，BC =

tan BC CDB CD ∴∠==30CDB ∴∠= ． D Q C

B P

R

A B A

D C （备用图1） B A D

C （备用图2）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/730q.html