Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

|

||生活|

一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..

|-----郭敬明

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若Px2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2 y2

b2

1上，则过P0

的椭圆的切线方程是a2 b2 1. 6.

Px2y2

若0(x0,y0)在椭圆a2 b

2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

是x0xyy

a2 0b2 1. 7.

x2y2

椭圆a2 b

2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆的焦点

角形的面积为S2

F1PF2 btan2

.

8.

x2y2

椭圆a2 b

2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆a2 b

2 1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM kAB a2，

b2即K x0

AB a2y。

12. 若Px2y2

x20x0(x0,y0)在椭圆a2 b

2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2 y0yx0y20b2 a2 b2. (xx2y213. 若Px2y2x0xy00,y0)在椭圆a2 b

2 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a2 b2 a2

0y

b2. 双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y2

5. 若P0(x0,y0)在双曲线a2 b

2

1（a＞0,b＞0）上，则过Px0x0的双曲线的切线方程是a2 y0yb2 1. 6. 若Px2y2

0(x0,y0)在双曲线a2 b

2 1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

切点弦Pxxy0y

1P2的直线方程是0a2 b

2 1.

7. 双曲线x2y2

a2 b

2 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点 F1PF2 ，

则双曲线的焦点角形的面积为Sb2

cot F1PF2 2

.

8. 双曲线x2y2

a2 b

2 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1( c,0) , F2(c,0)

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是双曲线x2a y2

2b2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

K b2x0b2x0

OM KABa2y，即KAB 2。

0ay012. 若Px2y2

0(x0,y0)在双曲线a2

b

2 1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

x22

0xa2 y0yx0y0b2 a2 b

2. P,yx2y2

13. 若0(x00)在双曲线a2

b

2 1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2a2 b2 x0xy0ya2 b

2. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

x2y2

1. 椭圆a2 b

2 1（a＞b＞o）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

A与Ax2y2

1P12P2交点的轨迹方程是a2 b

2 1.

x2 过椭圆y2

2.a2 b

2 1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

则直线BC有定向且kb2x0

BC a2y（常数）.

03. 若P为椭圆x2y2

a2 b

2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2 ,

PFa c2F1 ，则

a c tan

2cot2

. 4. 设椭圆x2a y2

2b

2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ，则有

sin sin sin c

a

e.

x2y2

5. 若椭圆a2 b

2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在

椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为椭圆x2y2

a2 b

2 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a |AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7. 椭圆(x x0)2(y y2

a2 0)b

2

1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.

已知椭圆x2y2

8.a2 b

2 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.（1）

1|OP|2 1|OQ|2 1a2 1b2;（2）|OP|2+|OQ|2

的最大值为4a2b2a2b2a2 b2;（3）S OPQ的最小值是a2 b2.

x2y2

9. 过椭圆a2 b

2 1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x

轴于P，则|PF|e

|MN| 2.

10. 已知椭圆x2y2

a2 b

2 1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

P(xa2 b2a2 b2

0,0), 则 a x0 a. x2y2

11. 设P点是椭圆a2 b

2 1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1PF2 ，则

(1)|PF 2b22

1||PF2|1 cos

.(2) S PF1F2 btan2.

A、B是椭圆x2y2

12. 设a2 b

2 1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB ,

PBA , BPA ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA| 2ab2|cos |

a2 c2cos2

.(2) tan tan 1 e2

.(3) S2a2b2 PAB b2

a2

cot . 13. 已知椭圆x2y2

a2 b

2 1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交

于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

双曲线x2y2

1.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于

Px2y2

1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2 b

2 1.

过双曲线x2y2

2.a2 b

2 1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

B,C两点，则直线BC有定向且kb2x0

BC a2y（常数）.

0 若P为双曲线x2y2

3.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2 ,

PFa2F1 ，则

c c a tan 2cot 2（或c a

c a tan2cot2

）. 设双曲线x2y2

4.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

在△PFsin 1F2中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2

P ，则有 (sin sin ) c

a

e. 若双曲线x2y2

5.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1

时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

P为双曲线x2y2

6. a2 b

2 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF2| 2a |PA| |PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线x2y2

a2 b2 1（a＞0,b＞0）与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是

A2a2

B2b2 C2.

x2y2

8. 已知双曲线a2 b

2 1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ.

（1）1|OP|2 1|OQ|2 1a2 14a2b2b2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为b2

a2;（3）Sa2b222

OPQ的最小值是b2 a2. 过双曲线x2y2

9.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

直平分线交x轴于P，则|PF|e

|MN| 2.

已知双曲线x2y2

10.a2 b

2 1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

a2 b2a2交于点P(x b2

0,0), 则x0 a

或x0 a.

11. 设P点是双曲线x2y2

a2 b

2 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1PF2 ，

|PF2b2则(1)2

1||PF2| 1 cos

.(2) S PF1F2 bcot2.

12. 设A、B是双曲线x2y2

a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点， PAB ,

PBA , BPA ，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA| 2ab2|cos |

|a2 c2cos2 |

.

(2) tan tan 1 e2

.(3) S2a2b2 PAB b2

a2cot . x2y2

13. 已知双曲线a2 b

2 1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/72x1.html