计算方法习题集及答案

习题一

1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法

n2. 试证明 x证明：

??maxxi,1?i?nx?(x1,x2,?xn)?R及ATn??max1?i?n?j?1aij,A?(aij)?Rn?n.

（1）令xr?maxxi

1?i?nnx??lim(?xi)p??i?1p1/pn?limxr[?(p??i?1xixrn)]p1/p?limxr[?(p??i?1xrxr)]p1/p?limxr?np??1/p?xr

即x??xr

np1/pn又lim(?xi)p??i?1?lim(?xrp??i?1p)1/p?xr

即x??xr x??xr

⑵ 设x?(x1,...xn)?0，不妨设A?0，

nnn1?i?n1?i?n1?i?nn?令??max?aij1?i?nj?1Ax??max?aijxj?max?aijxj?maxximax?aij??x1?i?nj?1j?1j?1

即对任意非零x?Rn，有

Axx????

下面证明存在向量x0?0，使得

Ax0x0????，

n设???j?1Tai0j，取向量x0?(x1,...xn)。其中xj?sign(ai0j)(j?1,2,...,n)。

nn显然x0??1且Ax0任意分量为?aijxj?0i?1nnij?i?1ai0j，

故有Ax0??maxi?ai?1xj??j?1ai0j??即证。

3. 古代数学家祖冲之曾以解：x?325133?355113作为圆周率?的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？

1??0.314159292?10

x?x

???355113?0.266?10?6?0.5?101?7该近似值具有7为有效数字。

1

4. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为

?R(T):?T(h)?T??Ahii?12i

?T0(h)?T(h) ?hm其中，系数Ai与h无关。试证明由?4Tm?1()?Tm?1(h)2?Tm(h)?,m4?1??

m?1,2,?所定义的T的逼近序列{Tm(h)}的误差为Tm(h)?T?其中诸Ai(m)是与h无关的常数。

??Ai?1(m)ih2m?2，

2i证明：当m=0时 左边?T（h）-T=??ih?右边 0i?1?(k)2k?2i设m=k时等式成立，即T （h）-T=??ihki?1当m=k+1时

4Tk?（h）-T=1?k?14Tk()?Tk(h)2?T=k?14?1(k)i2(k?1)?2ih?k?1[T???i?1(k)i()2h?2k?2i]?[T??1??i?1(k)i(h)2k?2i]?T4k?1

???i?1(h) 即证。

习题2

1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）x?解：

（1）迭代公式xk?1?k xk *cosx?sinx4; (2)x?4?2。

xcosxk?sinxk4,?(x)?cosx?sinx4，?(x)'?1公式收敛

2 0.25098 3 0.25098 0 0 x?0.25098

1 0.25 （2）?(x)?xk?1?ln(4?x)ln2ln(4?xk)ln2，x0?1.5，?(x0)'?1 局部收敛 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 0 1 2

xk 1.5 *1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386 x?1.386

2. 方程x3?x2?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）x?1?1x2,对应迭代公式xk?1?1?1x2k;

（2）x3?1?x2，对应迭代公式xk?1?（3）x2?1x?131?xk;

2,对应迭代公式xk?1?1xk?1。

判断以上三种迭代公式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x0?1.5附近的根到4位有效数字。 解：

（1）?(x)?1?1x2 ?(x)??2312'2x3 ?(x0)'?1 局部收敛

2?23（2）?(x)?1?x2 ?(x)??'x(1?x) ?(x0)'?1 局部收敛

（3）?(x)?迭代公式（1）：

0 1.5 9 1.4650 *1x?1 ?(x)??'' 不是局部收敛 x(?13) ?(x0)?1?21 2 3 4 5 6 7 1.4416 15 1.465534 8 1.46647 16 1.465595 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 10 1.46593 11 1.4653 12 1.46572 13 1.46548 14 1.46563 x?1.466

迭代公式（2）：

k xk 0 1.5 1 1.481 2 1.473 3 1.469 4 1.467 5 1.466 6 1.466 x?1.466

*3. 已知x??(x)在[a,b]内有一根x，?(x)在[a,b]上一阶可微，且?x?[a,b],??(x)?3?1，试构造一个

*局部收敛于x的迭代公式。 解：

方程x??(x)等价于x?0.5[?(x)?3x] 构造迭代公式xk?1??0.5[?(xk)?3xk] 令?(x)??0.5[?(x)?3x]

3

*'由于?(x)在[a,b]上也一阶可微 [?0.5?(x(?)x?3?)]?0.x5?(?)?3 0.51故上述迭代公式是有局部收敛性.

4. 设?(x)在方程x??(x)根x*的邻近有连续的一阶导数，且??(x*)?1，证明迭代公式xk?1??(xk)具有局部收敛性。 证明：

?(x)在x*邻近有连续一阶导数，则?(x)在x*附近连续， 令?'(x*)?L?1则取??1?L

则 ???0当x?x*??时 有 ?'(x)??'(x*)?? 从而 ?'(x)??'(x)??'(x*)??'(x*)?L?(1?L)?1

**'**?(x)?x??(x)??(x)??(?)(x?x)?x?x??

'故 x*??

由定理2.1知，迭代公式xk?1??(xk)是有局部收敛性。

5. 用牛顿法求方程f(x)?x3?2x2?4x?7?0在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。 解：f(x)?x3?2x2?4x?7

f'(x)?3x2?4x?4 y次迭代公式xk?1?xk?k xk xk?2xk?4xk?73xk?4xk?4232

1 3.64 2 3.63 3 3.63 0 3.5 x?3.63

*6. 试证用牛顿法求方程(x?2)(x?3)?0在[1,3]内的根x?2是线性收敛的。 解：

令f(x)?(x?2)(x?3)

f(x)?3x?2x?8?(x?2)(3x?4) y次迭代公式xk?1?xk?(xk?2)(xk?3)3xk?4'222*

故ek?1?x?xk?1?2?xk?*(xk?2)(xk?3)3xk?4?(xk?2)(2xk?1)3xk?44

*ek?x?xk?xk?2 从而

ek?1ek?2xk?13xk?4，k??时，xk?2

故k??，

ek?1ek?12

故牛顿迭代公式是线性收敛的

7. 应用牛顿法于方程x3?a?0, 导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：f(x)?x3?a f'(x)?3x2

相应的牛顿迭代公式为xk?1?xk?3xk?a3x23?2xk?a3xk23

迭代函数?(x)?2xk?a3x2k，?(x)?'2x?2a3x33，?''(x)?2ax?4

则?'(3a)?0，?''(3a)?0 5

习题3

1. 设有方程组

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20 ?2x?3x?10x?3123?(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x?5?解：（1）A??1???224?3(k?1)?x(k)??10?4时迭代终止。

1??4 A是强对角占优阵。 ?10??故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。

2（2）x1??5x2?1x3?5125

x2?14x1?1512x3?5

310x3??x1?x3?310

雅克比法：

x1(k?1)??25x2(k)?35x3(k)?125(0)，x2(k?1)?14x1(k)?12x3(k)?5，x3(k?1)??15x1(k)?310x2(k)?310，

取初始向量x1(0)?x2(0)?x3?0，迭代18次有xi18?xi17?10?4（i=1,2,3）

x1??3.999996，x2?2.999974，x3?2.000000

高斯-塞德尔法：

x1(k?1)??25x2(k)?35x3(k)?125(0)，x2(k?1)?14x1(k)?12x3(k)?5，x3(k?1)??15x1(k)?310x2(k)?310

取初始向量x1(0)?x2(0)?x3?0，迭代8次有xi8?xi7?10?4（i=1,2,3）

x1??4.000033，x2?2.999983，x3?2.000002

?a11x1?a12x2?b12. 设有方程组?, (a11,a12?0) ,

?a21x1?a22x2?b21?(k)(k?1)x?(b?ax)11122??a11迭代公式：? , k?1,2,?.

1(k)(k?1)?x2?(b2?a21x2)?a22?求证由上述迭代公式产生的向量序列?x(k)?收敛的充要条件是?6

?a12a21a11a22?1.

证明：

??0?f中的矩阵B???a21???a22?a12?a11?aa?，det(?E?B)??2?1221，

a11a22?0??2122迭代公式x(k?1)?Bx(k)由迭代收敛的充要条件知 ?(B)?1???a12aa11a ?即证。1?4(k?1)(k)3. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子??1.2）,要求x?x??10.

?2x1?x2?1. ??x1?4x2?5解：SOR方法 x1(k?1)?x1(k)??a11(b1?a11x1(k)?a12x2)

(k)(k?1)(k) x2?x2??a22(b2?a21x1(k?1)?a22x2)

(k)a11?2,a12?1,a21?1,a22??4,b1?1,b2?5,??1.2

故x1(k?1)??0.2x1(0)(k)?0.6x2?0

(k)?0.6，x2(k?1)??0.2x2?0.3x1(k)(k?1)?1.5

迭代初值x1?x2(0)k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x1(k) x2(k) 0.000000 0.6000000 1.2720000 0.858240 1.071341 0.964293 1.017857 0.991071 1.004464 0.997768 1.001116 0.999442 1.000279 0.999861 1.000070 0.999965 1.000017 7

0.000000 -1.320000 -0.854400 -1.071648 -0.964268 -1.017859 -0.991071 -0.997768 -0.997768 -1.001116 -0.999442 -1.000279 -0.999861 -1.000070 -0.999965 -1.000017 -0.999991 x(16)?x(16)(15)??0.000052?10?4

x1?x1?1.000017 ??0.999991

x2?x2(16)4. 用选列主元高斯消去法求解方程组

?3x1?x2?4x3?7???x1?2x2?2x3??1 ?2x?3x?2x?0123?

解：

??37????1??0??0????0??1?73??153?7341434??23143?7??4?3?14???3??3?1?A?D??????2?12?34?2?2??3???0???0??1?73?41432353??7??3??14????0?3??04???3??

0?47??14??3??2??解得

???2,1,0?.5

?2??1??0??0??0?12?1000?12?1000?12?10??x1??1??????x00??2???0??x3???0? ??????1??x4??0???2???x5???0??5. 用追赶法解三角方程组

解：高斯迶元

??1??01??0?00??00????0??10???20???0??0??120?2300?341?02??1?03??1? 04?1?4??5?51?1?6?

?2???1?0??0?0??12?1000?12?1000?12?110008

10010

xx回代得

5????1615141312????45342312????161?134xx31? 322??23561232x1?解为 x??56231213??16

6. 用三角分解法求解方程组

??2??4????641828??x1??5???????16x2?6

??????20????x3????7??解：系数矩阵三角分解为： ??2? ?4????68??18?16??2?2?0?40?0?1?????210?????3?1????12004?8??10 32??0??76 原方程可表为： ?1? 2???301?10???2??00???1???0410?0??8?????32????7?6???1????5???? 8??2??????73??1? 解 2???3??2?解 0???001?14?y?05??1??????0?y??8 得 y???2????17????????y3??5?2?10??

8??x1??5??????10?32??2 x??2??????0?7?6???0?x3???1得x?????291,21,5??1909538?????????1.5316,0.2211,0.1316????

122564. 19

7. 用选主元法去法计算下列行列式的值39

12256?95221915??139??1113539解：39r314?r???311m21?34????01?m31960

139?r3?02 ?r??l2?l31??539113?513913339m32?53?????00?15390??51393053

0?

?9?????53??30? ?0?????39??53?

?1104??计算 cond(A)?. 8. 设A???11???解：

?1??11-104? A??1??104-1?4?10?4-110?

?1?4?1-10?cond?A???A?A?1?104?1?4?10?1???104?4?1???10??? 10

习题四

1. 给出概率积分

f(x)?2x??0e?x2dx

的数据表：试用二次插值计算f(0.472). X 0.46 0.47 0.4937542 0.48 0.5027498 0.49 0.5116683 f(x) 0.4846555

解：取插值节点：

x0?0.4 6

x1 x?0.48 ?0.472

2L2?x???yili?x?i?0??x?x1??x?x2??y0???x0x1??x0x2??x?x0??x?x2??y1???x1x0??x1x2?

?x?x0??x?x1?y2?x2?x0??x2?x1?

L2?0.472??0.4955616f?0.472??L?0.472??0.49556162

2. 已知y=sinx的函数表 X sinx 1.5 0.99749 1.6 0.99957 1.7 0.99166 试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.

解：由题意得如下差商表

k012xkf?x?k?f??x0,xk?0.02080?0.02915?f??x0,x1,xk?1.51.61.70.997490.999570.991662

?0.49950N?x??0.9974?90.02???0x80???1.?5.4?x99?5?0?0??x??1.51.6?故 N2?1.60?9R2?1.60?9?0.99927

?1.6??091.?6f?3????6?3??1.6?09??1.5?1.6091.7又 f?3??x??sinx , f?x???cosx

f????max1.5?x?1.7cosx?0.12884

11

故：R2?1.609??1.92?10?6 3. 设xj为互异节点(j?0,1,?,n),求证

n(1)

?xj?0nkjlj(x)?x(k?0,1,?,n)

k(2)

?(xj?0j?x)lj(x)?0(k?0,1,?,n)

k证明：?1? 令 f?x??xkn

Ln?x???xjlj?x?

j?0k 又

R?x??f?x??L?x???n?1?!?nnf?n?1????n?1?x?

所以

f?n?1?????0 故

R?x??0

nLnx??f?x??xk

?2? 原等式左边用二项式展开得：

?xj?xlj?x???j?0nn??knj?0?kxjl???x??Cnxjxlj?x??????1?xlj?x?? j?1k?1k1k?1kk? ??j?0?kxj??k??????1?lj?x??Cnxxjl?jxx xxj?l?j??k0?n 由?1?结论

?xjxj?x??xj?0k 得

??xj?x?lnkj?0?x??xjk?Cnxk1xkk?1?Cn2xx2k?1?????1?xkkx0

?x?1?1??0 即证

n244. 若yn?2,求?yn和?yn.

解：

?y2n????y?????yn?1n?1?y?n?

n?2y3n?2?2y12?y12n2?2?2n?1?2n?2n

?y4n??y2n???3y2n? ?2 ?

??yn?1??yn???yn??y2n?1?

12

????????????????yyn?32????yn?1????2??yyn??12???yn??1??2?

n?12????y1????n?2??n?1?2???y?3?n??2???y

????y?????n?2??yn?1????ynn?1?y???n????yynn?1?y?n??yy?1nn??y?????1nn?1y?nn?1n?1?yy??4ny?n1???????n?1?y??1n??y??n2???

yn?2n?2?4y?6ny?4??2yn?1n?2 ?2?2?4?2?6?2?2

n?2n?25. 证明两点三次Hermite插值余项是

R3(x)?14!f(4)(?)(x?xk)(x?xk?1),??(xk,xk?1)

22证明： f?x?? 且 即 设

s?x??R?x?

33k3k?13k3k?1??R?x??0,R?x??0,R?x??0,R?x??0

3x,xk3k?1为R3?x?的二阶零点

22R?x??R?x??x?xk??x?xk?1?2?f?x??s3?x?

2 令 ??t??f?t??s3t?xk??t?xk?1???t???x?xk??x?xk?1?22?f?x???s?x???

3 易知 ??xk??0,??xk?1??0,???xk??0,???xk?1??0 又 ??x??0

?由微分中值定理（Rolle定理）?????xk,x?,?2??x,xk?1?，使得 1??????0,??????0

12 进而 ????x?有三个零点，??????x?有两个零点，?即 ????xk,xk?1?使得??4???x?有一个零点，

?4?????0

4!22?得

?4?????f?4?????0??x?xk??x?xk?1?2R?x??0

3R?x??314!f?4?????x?xk??x?xk?1?13

2 ???xk,xk?1?

6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)

X Y y? -1 -1 4 0 1 1 3 3 31 28 解：已知x0??1,x1?0,x2?1,x3?3,

y0??1,y?01?1,y32?3,y3?31,

边界条件

y?4,y??28

h1i?xi?1?x?i,i?0,1,2 即h0?1,h1?1,h2?2 12,

从而

a?h0h0?haf2?hh1?af111h2?213,

b1??3??1?????3??1???a?1f1?0?1hf2?f10hf23???6 ?????18 ??

b2a?2?1f1?h?af22h

m0?4,m3?28 1???m1??6??2?????2??m2??18?????4??42??26?1?28???33?1?? ????2 解 ?2??3得m1?1,m2?4 当 x??x,x? 即

012x???1,0?时

?0??x?0?????1?0?2x?1???1?2??0?1??x?2x?3?

2?x?1??????0?1?1x?0???1?2???1?0???x?1??1?2x?

2 14

?0??x?0????x?1??x?x?1? ??1?0?2222?x?1??????x?0???x?1??0?1?1x

故 s?x??y??x??y??x??m??x??m??x??x001100113?x?1

同理，在?0,1?及?1,3?上均有 s?x??x3?x?1

7. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx2的经验公式，使与下列数据相拟合

X Y 解：依题意 n?4,m?1,?419 19.0 25 32.3 231 49.0 38 73.3 44 97.8 ?x??1,?1?x??x 00i0i 故

??,??????x???x??5

00i?0

??,????x01i?042i?5327

??,???5327

10??,????x11i?0444i?7277699

?0??y??x??271.4 ?i?0i0i1?5 ?y??x??36932.1i?0i1i4正则方程为 ??5?0?5327?1?271.491?36932.15?0?727769??5327

解得

?0?0.973,?1?0.050

故拟合曲线为 y?0.973?0.05x2

15

习题5

1． 试确定下面求积公式

1?使其具三次代数精度.

?1f(x)dx?C[f(x0)?f(x1)?f(x2)]

解：要公式有3次代数精度，需有

?C(1?1?1)?1dx?2??1?1?C(x?x?x)?012???1xdx?0? ?122222?C(x0?x1?x2)??xdx??13?1?3333C(x?x?x)?x012???1dx?0?23222322 解得：C?,x0?0,x1?,x2??

故求积公式为?1?1f(x)dx?[f(0)?f(22)?f(?22)]

2． 在区间[a,b]上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度.

解：

?baNf(x)dx?(b?a)?Bnf(a?nh)n?0Bn?(?1)N?nN[n!(N?n)!]??0NN

(t?i)dt1645215i?0,i?n当N?4时，B0?790,B1?,B2?

790又Bn?BN?n 故B3?B1?当N?4时，有求积公式

1645,B4?B0?

?baf(x)dx?1445hf(x0)?6445hf(x1)?2445hf(x2)?6445hf(x3)?1445hf(x4) （＊）

其中h?b?a4,xi?a?ih,i?1,2,3,4

由Lagrange差值定理有：R4(f,x)?f(?)5!54f(4?1)(?)4(4?1)!?(x?x)

ii?0故余项R4(f,x)??ba?(x?x)dx

ii?0对（＊）至少有四次代数精度

16

f(x)?x,C?5时 式（＊）左边=右边=

0b?a666

C?6时 左边?右边 故（＊）式具有5次代数精度

3． 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算

?2xln(x?1)161dx, (取步长h=1/6).

解：（1）用复合梯形公式a?1,b?2,h?1ln2)?)?)?)? 故 N?6 f(x)?xln(x?1)

f(a)?f(a?f(a?f(a?f(a?1626364656?1.4427716ln(1316)413ln(713)312ln(512)513ln(813)11?1.5089?1.5736?1.6370 ?1.6992f(a?)?26?1.7604ln(1716)?1.8205f(b)?5ln(3)?2?f(xn)?16.3582n?1?2xln(x?1)1dx?1125

[f(a)?f(b)?2?f(xn)]?1.6351167n?1（2）用复合Simpson公式：

f(x1)?f(a?2112312512)?1.4760)?)?514ln(914)17112ln(1114)?1.5414 1.6055f(x3)?f(a?2f(x5)?f(a?2 17

f(x7)?f(a?2712912)?)?19112ln(31112)714ln(11)423112ln(3512)?1.6683f(x9)?f(a?2?1.7299f(x11)?f(a?251112)??1.7905

?4?f(xn?1)?39.2464n?02?baf(x)dx?136525[f(a)?f(b)?4?f(xn?1)?2?f(xn)]?1.6352167n?0n?14． 用变步长梯形求积公式计算

?解：a?0,b?1,f(x)?T0?b?a210e?x2?4dx, (精确到10).

e?x2

12(1?[f(a)?f(b)]?e?1)?0.68393972

由 Tk??1212Tk?1?12kb?a22kk?12k?1?n?1f[a?2n?12k(b?a)] (k?1,2?, )Tk?1??n?1f(2n?12k)得：

T1?T2?T3?T4?T5?T?61212121212T0?T1?T2?T3?T4?T5?11f()?0.731370252222131?(1)?(3)[f()?f()]?0.36568513?(e4?e4)?0.7429841444411357[f()?f()?f()?f()]?0.7458656288888116132164[f(161116f()?f(2n?13264316)?f(516)?f(716)?f(916)?f(1116)?f(1316)?f(1516)]?0.74658459

?n?132)?0.74676425)?0.7468112?n?1f(2n?1?|T6?T5|?10??e01?x2?4dx?0.746815． 用Romberg算法计算积分

??解：

40sin(x)dx, (精确到102?4).

18

a?0,b?T0T0T1(0)?4,f(x)?sinx2???b?a212T0(0)[f(a)?f(b)]?0.22716?b?a2(0)(1)[f(a?b?a2

)]?0.17390(0)4T0(1)?T04?1?0.1561462k?1?(k)1(k?1)b?a??T0?T0k?22由公式 ?m(l?1)(l)?(l)4Tm?1?Tm?1Tm?m??4?1?n?1f(a?(2n?1)b?a2k)

得：

T0T1T(2)?12T0(2)(1)??(1)16[f(?16)?f(3?16)]?0.161288(1)??4T02?T04?14T112(1)2?0.157147(0)(0)2?T14?1T0(2)?0.157147[f( T0(3)?T1TT(2)??32(2)?32)?f(3?32)?f(5?32)?f(7?32)]?0.158184

???(0)4T02(3)?T04?14T13(2)2?0.157150(1)(1)2?T1?T24?14T2(1)3(0)?0.157154?0.157154?4(0)34?1?T2(0)又?|T3即T3?(0)|?0.157154?0.157147?0.000007?10

已经达到预定精度

2(0)取?4sinxds?T30?0.1572

6． 试构造两点Gauss公式

?并由此计算积分(精确到10?41?1f(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1),

)

?解：

二次Lagendre多项式：

101?2xdx.

19

w2(x)?2d(x?1)4!dx2222?x?213

Gauss点为x0?由公式An?1,x??3113 dx N?1得

?bawN?1(x)(x?xn)w?(xn)N?1A0?A1???1?1(x?31x?32133)*2*32dx?1x?3133) dx?1?1(x?3)*2*(?3??1?1f(x)dx?f(121)?f(?3t?121) 3令t?2(x?10) 即x? 使得[0,1]?[?1,1]

12[(33?1?2xdx?1?21?1t?2dt?3?2)?(?3?2)]?1.3991

20

习题6

1． 试用三种方法导出线性二步方法

yn?2?yn?2hfn?1

解：

（1） Taylor展开法

kki 线性k步公式为

??i?0yn?i?h??ifn?i

i?0k?2,p?2,?2???0?1,?1?2 得

????1??2?0??1?0?0????1?2?2?(?0??1??2)?0???0?0 ?1???0(??4?)?(??2?)?0?2212??2!1即得yn?2?yn?2hfn?1 且C3?11(?1?8?2)?1(?1?4?2)??0 3!23tn?2（2） 数值积分法

yn?2?yn??tnf(t,y(t))dt

用矩形求积公式

yn?2?yn?(tn?2?tn)f[?tn?(1??)tn?2,?yn?(1??)yn?2]

令??12（中矩形公式）

即得：yn?2?yn?2hf(tn?1,yn?1)?yn?2hfn?1

（3） 由隐式欧拉法得yn?1?yn?hfn?1 ①

由显示欧拉法得yn?2?yn?1?hfn?1 ② ① 代入②得

yn?2?yn?2hfn?1

2． 用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.

解：线性k步公式为

kki

??i?0yn?i?h??ifn?i

i?0 k?3,p?4，在（6.17）中令C0?C1???C4?0,C5?0

21

???C0?C1?? 即?C2??C?3?C??4??0??1??2??3?0??1?2?2?3?3?(3?0??1??2??3)?0?1(?1?4?2?9?3)?(?1?2?2?3?3)?02?1?11(?1?8?2)?1(?1?4?2)??03!234!(?1?16?2?81?3)?13!(?1?8?2?27?3)?0

取?3?1。即

???0??1??2?1???2?2?(3?0??1??2??)?3?1? ??1?4?2?(2?1?4?2?6?3)?????8??(3??12??27?3?)212?1??2?10?83??1?16?2?(4?1?32?39 81?27?)? 满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令?2?3可得

,0??1?,1??6?,3 ?1 ?0?8,?1??9,?2?0?方法即为

yn?3?9yn?1?8yn?h(?fn?6fn?1?3fn?2)

3． 形如

k??i?0jyn?j?h?kfn?k

的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。

解：线性k步公式为

kki

??i?0yn?i?h??ifn?i

i?0由Gear法的定义知，三步Gear法满足

k?p?3,?0??1??2?0

方法为p?3阶，故有

??C0??C1??C2??C3??C4?

??0??1??2??3?0??1?2?2?3?3?(?0??1??2??3)?0?1(?1?4?2?9?3)?(?1?2?2?3?3)?02?1?13!(?1?8?2?27?3)?1(?1?4?2?9?3)?02(?1?16?2?81?3)?13!(?1?8?2?27?3)?0

4!22

得：?0??13?3,?1?32?3,?2??3?3,?3?116?3,C4??14?3?0

取?3?6得?0??2,?1?9,?2??18,?3?11

得三步Gear方法：11yn?3?18yn?2?9yn?1?2yn?6hfn?3

4(4)其中 Rn?C4hy(nt)??32hy(4(4)n )t4． 试用显式Euler法及改进的Euler法

yn?1?yn?h2[f(tn,yn)?f(tn?1,yn?hfn)]

计算初值问题（取步长h=0.2）

2t??y(t)?y(t)?,t??0,1?? y(t)??y(0)?1,?并比较两者的误差。 解：步长h?0.2 , 真解 y? 显式Euler法：

xn0.20.40.60.81.0yn1.2000001.3733331.5314951.6810851.826948yn1.1866671.3524141.5062901.6540171.800171y?xn?1.1832161.3413411.4832401.6124521.732051y?xn?1.1832161.3416411.4832401.6124521.732051en0.0167840.0316930.0482560.0686330.094898en0.0034510.0107740.0230500.0415650.0681201?2x

改进Euler法：

xn0.20.40.60.81.0

显然改进的Euler法误差小于Euler法。

5． 给出线性多步法

yn?2?(??1)yn?1??yn?h4[(??3)fn?2?(3??1)fn]

为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 证明： 线性多步法

3? yn?2????1?yn?1??yn??????4khfn?2???3??1fn ?? 的相应多项式 ?????

???ii?0i??????1?????????2????1?

23

多项式的两根为：?1?1，?2???。

由判断零稳定的充要条件 根条件 知：此方法的零稳定的条件为 ??1 由于 ?0???，?1???1，?2?1 ?0? 得：

c0?c1?c2?0 c3??1314?3??1?，?1?0，?2?14???3?

???1?

当方法为零稳定时 ???1，从而c3?0，故 方法是二阶收敛的。 6． 给出题(6.5)题中??1时的公式的绝对稳定域.

解：

6.5中当??1时，即为方法 yn?2?yn?fn?2?fn 其相应的差分方程的多项式为

????22 ???,h????1?h?????1????2?1h????????? ?1h??????令 ???,h??0，??h????????????1?h?

1?h??1?h???1?h?0 ?i?h??1????1?h?即方法的绝对稳定域为 S?h???|h?0

?

7． 指出Heun方法 0 1/3 2/3 0 1/3 0 0 0 2/3 0 0 0 1/4 0 3/4 的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤. 解：

24

s??Yi?yn?h?aijf?tn?cjh,Yj?j?1? RK法?s?y?yn?h?bjf?tn?cjh,Yj??n?1j?1???0?1 中对Heun方法有 A???3??0?0023??0?TT1213????0? c??0,,? b??,0,? ?4??33??4?0??类似例?6.1?将Heun方法应用到?6.54?得

h?2???ft,U,V?3ft?h,U,V1?n33???1?n11?4?3???h?2???ft,U,V?3ft?h,U,V??2?n33???2n114?3???un?1?un??1?

Vn?1?Vn??2?

其中

??U?uV1?Vn1n?hh? ?U2?un?f1?tn,U1,V1?V2?Vn?fn?tn,U1,V1?33??2h?12h1???U?U?ft?h,U,VV?u?ft?h,U,Vn1?n22?3n2?n22??33333??????3?

上述步骤可按如下步骤完成：将原问题初值代入?3?得出当前步的Ui，Vi ?i?1,2,3?? 然后代入?1?，?2?得出u1，v1，再以u1，v1作为第2个计算步的初值重复上述步骤可求出

u2，v2，依次类推即可求出原问题的相继数值序列??un,vn??.

经验证Heun方法满足

?3??bj?1?j?1?31??bjcj?2?j?1 ?312?bjcj???j?13?31?bac???jjkk6?j,k?1由RK方法p阶相容的充要条件知Heun方法具有三阶相容阶。

25

8． 试述刚性问题的基本特征，并给出s级Runge-Kutta方法为A-稳定的条件. 解：

刚性问题的基本特征即对于线性系统

'??y?t??Ay?t????t? ???y?a??? 有设A的特征值为?i，满足1)Re??i??0?i?1,?m?

2)maxR?ie??min?iR e1?i?m1?i?mS级 单步RK方法

?s?Y?i?yn???aijf?tn?cjh,Yj?i?1,2,?s?j?1?s?yn?1?yn???bjf?tn?cjh,Yj?n?0,1,2??j?1用于实验方程 y'??y. 令z?h?

???s?Y1?由?1?得 Yi?yn?h??aijYj?yn?z?ai1,ai2,?ais??j?1???

????Y?s???_?n?Y1??? 写成向量形式 记 Y????? 则 ????Y?s?_?n?_?n?_?n?有Y?yne?zAY 即yne??I?zA?Y?eyn ?3?

由?2?得

???s?Y1?yn?1?yn?h??bjYj?yn?z?b1,?bs????j?1?????Y?s??n??yT?n?zbY?3??代入yn?zbT?I?zA??1eyn???1?zbT?I?zA??1e??yn即R?z??1?zbT?I?zA??1e

由A稳定性知RK方法A稳定的充要条件是： 稳定函数R?z?在C?上解析且R?z??1，?z?C?

26

?1??2?

进一步由R?z?只可能在边界上去的极值的最大模原理，C?的边界即为虚轴z?Cx，得RK法稳定的充要条件是：

稳定函数R?z?在C?上解析，且满足R?Cx??1，?x?R.

27

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