线性代数课本第三章习题详细答案

线性代数课本第三章习题详细答案

第三章 课后习题及解答

将1，2题中的向量 表示成 1, 2, 3, 4的线性组合：

1． 1,2,1,1 , 1 1,1,1,1 , 2 1,1, 1, 1 , 3 1, 1,1, 1 , 4 1, 1, 1,1 .

T

T

T

T

T

2． 0,0,0,1 , 1 1,1,0,1 , 2 2,1,3,1 , 3 1,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1 .

解：设存在k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 2

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 1

解得k1

5454

,k2

14

,k3

14

,k4

14

.

所以

1

14

2

14

3

14

4.

设存在 k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 2k2 k3 0，k1 k2 k3 k4 0，

3k2 k4 0，k1 k2 k4 1.

解得 k1 1,k2 0,k3 1,k4 0. 所以 1 3.

线性代数课本第三章习题详细答案

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. 1 1,1,1 , 2 0,2,5 , 3 1,3,6 .

T

T

T

4. 1 (1, 1,2,4)T, 2 0,3,1,2 ， 3 3,0,7,14

T

T.

解：

3.设存在 k1,k2,k3使得k1 1 k2 2 k3 3 0，即

k1 k3 0

k1 2k2 3k3 0 ，由 k 5k 6k 023 1

025

1

3 0，解得k1,k2,k3不全为零， 6

故 1, 2, 3线性相关.

4.设存在 k1,k2,k3使得k1 1 k2 2 k3 3 0，即

k1 3k3 0

k1 3k2 0

可解得k1,k2,k3不全为零，故 1, 2, 3线性相关.

2k k 7k 023 1

4k 2k 14k 0

23 1

（a1,a2, ,an）5.论述单个向量 线性相关和线性无关的条件.

解：设存在k使得k 0，若 0，要使k 0，当且仅当k 0，故，单个向量线性

（a1,a2, ,an）线性相关的充要条件是无关的充要条件是 0；相反，单个向量

0.

6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.

证：设向量组 1, 2, , n 1, n线性无关，利用反证法，

线性代数课本第三章习题详细答案

假设存在该向量组的某一部分组 i, i, , i(ir n)线性相关，

1

2

r

则向量组 1, 2, , n 1, n线性相关，与向量组 1, 2, , n 1, n线性无关矛盾， 所以该命题成立.

7.证明：若 1, 2线性无关，则 1 2, 1 2也线性无关.

证：方法一，设存在k1,k2使得k1( 1 2) k2( 1 2) 0，

整理得，(k1 k2) 1 (k1 k2) 2 0，

k1 k2 0

因为 1, 2线性无关，所以 ，可解得k1 k2 0，

k k 02 1

故 1 2, 1 2线性无关.

方法二，因为（ 1 2, 1 2） （ 1, 2）

1 11

， 1

又因为

1 1

2 0，且 1, 2线性无关，所以向量组 1 2, 1 2的秩为2，

故 1 2, 1 2线性无关.

8.设有两个向量组 1, 2, , s和 1, 2, , s,其中

a11 a12 a1s

a21 a22 a2s 1 a31 , 2 a32 , , s a3s ,

ak1 aks aks

线性代数课本第三章习题详细答案

1, 2, , s是分别在 1, 2, , s的k个分量后任意添加m个分量b1j,b2j, ,bmj

(j 1,2, ,s)所组成的k m维向量，证明：

(1) 若 1, 2, , s线性无关，则 1, 2, , s线性无关； (2) 若 1, 2, , s线性相关，则 1, 2, , s线性相关.

证：证法1，(1)设A 1, 2, , s ，B 1, 2, , s ，因为 1, 2, , s线性无关，所以齐次线性方程AX 0只有零解，即r(A) s, 且r(B) s， 1, 2, , s线性无关.

证法2，因为 1, 2, , s线性无关，所以齐次线性方程AX 0只有零解，再增加方程的个数，得BX 0，该方程也只有零解，所以 1, 2, , s线性无关.

(2) 利用反证法可证得，即假设 1, 2, , s线性无关，再由（1）得 1, 2, , s线性无关，与 1, 2, , s线性相关矛盾.

9. 证明： 1 2, 2 3, 3 1线性无关的充分必要条件是 1, 2, 3线性无关.

1

证：方法1，（ 1 2, 2 3, 3 1）=（ 1, 2, 3） 1

0

011

1 0 1

1011

1

0 2 0，可得 1 2, 2 3, 3 1的秩为31

因为 1, 2, 3线性无关，且1

所以 1 2, 2 3, 3 1线性无关.线性无关；反之也成立.

方法2，充分性，设 1, 2, 3线性无关，证明 1 2, 2 3, 3 1线性无关.

线性代数课本第三章习题详细答案

设存在k1,k2,k3使得k1( 1 2) k2( 2 3) k3( 3 1) 0，整理得，

(k1 k3) 1 (k1 k2) 2 (k2 k3) 3 0

因为 1, 2, 3线性无关，所以

k1 k3 0

k1 k2 0，可解得k1 k2 k3 0，所以 1 2, 2 3, 3 1线性无关. k k 0

3 2

必要性，（方法1）设 1 2, 2 3, 3 1线性无关，证明 1, 2, 3线性无关，

假设 1, 2, 3线性相关，则 1, 2, 3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设 1可由 2, 3线性表示，则向量组 1 2, 2 3, 3 1可由 2, 3线性表示，且3 2，所以 1 2, 2 3, 3 1线性相关，与 1 2, 2 3, 3 1线性无关矛

盾，故 1, 2, 3线性无关.

方法2，令 1 1 2, 2 2 3, 3 3 1，设存在k1,k2,k3使得

k1 1 k2 2 k3 3 0，由 1 1 2, 2 2 3, 3 3 1得

1 1 2 3）, 2 1 2 3）, 3 1 2 3），代入

2

2

2

111

k1 1 k2 2 k3 3 0得，

111

k1 1 2 3） k2 1 2 3） k3 1 2 3） 0，即 222

(k1 k2 k3) 1 ( k1 k2 k3) 2 (k1 k2 k3) 3 0

线性代数课本第三章习题详细答案

k1 k2 k3 0

因为 1, 2, 3线性无关，所以 k1 k2 k3 0

k k k 0

23 1

可解得k1 k2 k3 0，所以 1, 2, 3线性无关.

10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：

（1） 1, 2, , m（m 2）线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设 1 0 ， 2 1 ， 3 1 ，

1

0

1

1, 2, 3两两线性无关，而 1, 2, 3线性相关.

（2） 1, 2, , m（m 2）线性相关的充分必要条件是有m 1个向量线性相关；

1 0 1

解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设 1 ， 2 ， 3 ，011

1, 2, 3线性相关，而 俩 1, 2, 3两两线性无关.

(3) 若 1, 2线性相关， 1, 2线性相关，则有不全为零的数k1,k2，使得

k1 1 k2 2 0且k1 1 k2 2 0，从而使得k（ 1 1） k（ 2 2） 0， 12

故 1 1， 2 2线性相关.

解：不正确，因为 1， 2线性相关和 1， 2线性相关，不一定存在同一组不全为零的数

k1,k2，使得k1 1 k2 2 0和k1 1 k2 2 0成立；或者说存在两组不全为零的数

线性代数课本第三章习题详细答案

k1,k2和t1,t2使得k1 1 k2 2 0和t1 1 t2 2 0成立.

(4). 若 1, 2, 3线性无关，则 1 2, 2 3, 3 1线性无关.

解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得（ 1 2） （ 2 3） （ 3 1） 0，

所以 1 2, 2 3, 3 1线性相关.

(5) 若 1, 2, 3, 4线性无关，则 1 2, 2 3, 3 4, 4 1线性无关；

解：不正确，因为 1 2, 2 3, 3 4, 4 1线性相关， 由9题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.

(6). 若 1, 2, 3, , n线性相关，则 1 2, 2 3, , n 1 n, n 1线性相关；

解：正确，因为 1, 2, 3, , n线性相关，所以 1, 2, 3, , n中至少有一向量可由剩余的n 1个向量线性表示，则 1 2, 2 3, , n 1 n, n 1也可由那剩余的n 1个向量线性表示，再因为n n 1，

所以 1 2, 2 3, , n 1 n, n 1线性相关.

11.如果 1, 2, 3, 4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数k1,k2,k3,k4，使得k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0.

证：因为 1, 2, 3, 4线性相关，所以存在不全为零的常数k1,k2,k3,k4，使得

k1 1 k2 2 k3 3 k4 4 0，假设k1 0，则k2 2 k3 3 k4 4 0，

得 2， 3， 4线性相关与题设矛盾.故k1 0；同样方法可证得k2,k3,k4都不为零.

线性代数课本第三章习题详细答案

所以该命题成立.

12.若 1, 2, , r线性无关，证明： , 1, 2, , r线性无关的充分必要条件是 不能由 1, 2, , r线性表示.

证：必要性，假设 能由 1, 2, , r，则 , 1, 2, , r线性相关与

, 1, 2, , r线性无关矛盾，故 不能由 1, 2, , r线性表示.

充分性，设存在k0,k1,k2, ,kr使得k0 k1 1 k2 2 k3 3 kr r 0，

若k0 0，则 能由 1, 2, 3, , r线性表出，矛盾，所以k0 0，

因此，k1 1 k2 2 k3 3 kr r 0，又因为 1, 2, , r线性无关，

所以k1 k2 kr 0，故， , 1, 2, , r线性无关.

13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：

（1） 1 (6,4,1,9,2),

2 (1,0,2,3, 4), 3 (1,4, 9, 6,22), 4 (7,1,0, 1,3);

（2） 1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 4 (2,1,5,6), 5 (1, 1,2,0);

（3） 1 (1,1,1), 2 (1,1,0), 3 (1,0,0), 4 (1,2, 3).

6 4

TTTT

解：（1） 1, 2, 3, 4 = 1

9 2

1023 4

14 9 622

7 1 1 00 0 1 0

3 0

01000

1 5000

0

0 1 0 0

所以，向量组的秩为3， 1, 2, 4为一个极大线性无关组， 3 1 5 2.

线性代数课本第三章习题详细答案

（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，

1, 2, 4为一个极大线性无关组，且 3 3 1 2， 5 4 1 2.

（3）类似（1），可求得向量组的秩为3， 1, 2, 3为一个极大线性无关组，

4 5 2 3 1 3.

14.设向量组：

1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 5 (2,1,5,6), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1,5,6).

（1）证明 1， 2线性无关；

（2）求向量组包含 1， 2的极大线性无关组.

（1）证：设存在k1,k2,使得k1 1T k1 2T 0，求得k1 k2 0，所以 1， 2线性无关；

（2）解， 1, 2, 3, 4, 5

T

T

T

T

T

1

1

2 4

0312

30714

1 120

2 1 1 0 05 06

0100

3100

0010

1

1 , 1 0

所以， 1, 2, 4为包含 1， 2的一个极大线性无关组.

15.设A,B皆为n阶矩阵，r(A) n,r(B) n，证明：

（1）秩

A 00

r(A) r(B); B

（2）秩

A 0C

r(A) r(B)，C为任意n阶矩阵. B

证：（1）设r(A) r1,r(B) r2，则存在n阶可逆矩阵P,Q,P,Q,

''

线性代数课本第三章习题详细答案

使得PAQ 0

Er1

0 Er2

''

PBQ , 0 0 0

,从而 0

P

0 0 A ' P 00 Q B 0

Er1

0 0 ' Q 0

0

0000

00Er20

0 0 , 0 0

则 秩

A 00 P

秩 0B 0 A

' P 00 Q

B 00

r1 r2 r(A) r(B). 'Q

（2）因为秩 A

A

C r(A),所以秩 0

C r(A) r(B). B

16.证明r(AB) min(r(A),r(B)).

证：设A,B分别为m n,n s矩阵，将A按列分块，则有

AB 1

2

n

b11

b21 b n1

b12b22 bn2

b1s b2s

的列向量组 1, , s可由A的列向量组 bns

1, 2, , n线性表示，故r(AB) AB的列秩 A的列秩=r(A)，同样，将B按行分块，

得r(AB) r(B)，因此，该命题成立.

1. 设A,B分别为m n,n m矩阵，且n m，

证明：齐次线性方程组(AB)X 0有非零解.

证：由r(AB) min(r(A),r(B)) n m，所以AB 0，故齐次线性方程组(AB)X 0有非零解.

线性代数课本第三章习题详细答案

18.设A是一个s n矩阵，B是由A的前m行构成的m n矩阵.证明：若A的行向量组的秩为r，则r(B) r m s.

1

1

m 证：设 i (ai1,ai2, ,ain),i 1,2, ,s, A ，B m 1 m

s

.

设r(B) p，于是，B的行向量组的极大线性无关组 i, i, , i含p个向量。因此，

12p所A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组 i, i, , i, m 1, , s的一个子集，

1

2

p

以它所含向量个数 p (s m)，即r(A) r p (s m)，

从而，r(B) p r m s.

求下列（19—22题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式： 1

019.

0 0

2000

3 101

4 202

5 3

. 4 1

1

0解：

0 0

2000

3 101

4 202

5 1 1 3 2 0

4 4 0 1 3 0

2000

3 100

4 200

5

3

2 0

所以，矩阵的秩为3。 100

3 10

5

3 4 0为一个最高阶的非零子式。 4

线性代数课本第三章习题详细答案

1 220.

3 0 1 2解：

3 0

1 203

2460

1 2 10

0 0 . 1 1

0 1 1 0 4 0

1 3 0 1 2 0

1300

2000

10 40

0

1 0 0

1 203

2460

1 2 10

所以，矩阵的秩为3。 130

103

1

1 12 0为一个最高阶的非零子式。 0

3

21. 2

4

2 15

13 5

316

2

3 . 1

3

解： 2

4

2 15

13 5

316

2 1

3 0

01

3 70

413 2

9 17 13

3

9 2

所以，矩阵的秩为3。 324

2 15

1

3 14 0为一个最高阶的非零子式。 5

1

222.

0 0

1120

0112

0 0 1 1

线性代数课本第三章习题详细答案

1 2解：

0 0

1120

0112

0 1 0 0 01 01

1 100

0110

0

0 0 1

所以，矩阵的秩为4。 1200

1120

0112

0011

1 0为一个最高阶的非零子式。

23.设A是一个m n矩阵，证明：存在非零的n s矩阵B，使得AB 0的充要条件是 r(A) n.

证：设齐次线性方程组AX 0，B 1

2

s 0，则由AB 0，

可得A j 0,j 1,2, ,s，由于，B 1

2

s 0，至少有一个 j 0，

再由AX 0有非零解的充要条件是r(A) n，故，A j 0,j 1,2, ,s，

至少有一个 j 0的充要条件是r(A) n.

24.设A,B是同形矩阵，证明：A与B相抵的充要条件是r(A) r(B).

证：设A,B是m n矩阵，r(A) r,r(B) p，则存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2，

使得P1AQ1 0

Er

0 Ep PBQ ，22 00 0

， 0

充分性，因为r(A) r(B)，所以，P1AQ1 0

Er

0 Ep PBQ =22 00 0

， 0

线性代数课本第三章习题详细答案

(P2)

1

1 1 1

P1AQ1Q2 B,令(P2)P1 P,Q1Q2 Q,故，PAQ B

因此，A与B相抵.

必要性，因为A与B相抵，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ B，

因此，r(A) r(B).

（m n）25.设A是m n矩阵，r(A) m，证明：存在n m矩阵B使得AB Im.

证：因为r(A) m，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ Im

0 ，所以有

AQ P

1

Im

0 ,

AQ P

1

Im

0 (P

1

0), (1)

（1）右端乘n m阶矩阵T 0 ,得AQT Im，令QT B,

P

故，AB Im.

26.证明：若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为n r的n阶方阵B，使得BA 0.

T

T

证：因为n阶方阵A的秩为r，所以A的秩为r，则AX 0的基础解系含有n r个线

性无关的解向量，取这n r个线性无关的解向量X1, ,Xn r为BT的列向量，则

r(B) n r r(B).因此，该命题得证.

T

27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于r个秩为1的矩阵之和.

Er PAQ A证：设为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵P,Q使得 0

0 ， 0

线性代数课本第三章习题详细答案

所以，A P 1 0

Er

0 1

1 1 1 1 1 1

，其中Q P(B B)Q PBQ PBQ1r1r 0

B1, ,Br为秩为1的矩阵

因此，任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和.

后部的证明，（反证法）假设A为秩为r的矩阵，能表示为少于r个秩为1的矩阵之和，不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和，其中，p r，设A (B1 Bp),其中

B1, ,Bp是秩为1的矩阵.r(A) r(B1) r(Bp) p r，与r(A) r矛盾.

28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解： x1 x2 5x3 x4 0

x1 x2 2x3 3x4 0（1）

3x1 x2 8x3 x4 0 x 3x 9x 7x 0

234 1

1

1解：

3 1

11 13

5 28 9

1 3 1 7

1

0

0 0

0100

327 200

1 2 0 0

取x3,x4为自由未知量，令x3 1,x4 0和x3 0,x4 1，得原方程组的一个基础解系为

37T,,1,0);22

X1 ( X2 ( 1, 2,0,1)，

T

3 1

2

2 7

k2 因此，一般解为X k1X1 k2X2=k1，其中k1,k2为任意常数. 2 0

1 1

0

线性代数课本第三章习题详细答案

3x1 x2 8x3 2x4 x5 0

2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0(2).

x1 11x2 12x3 34x4 5x5 0 x 5x 2x 16x 3x 0

2345 1 3

2解：

1 1

1 211 5

8 3122

2 73416

1 1

2 0

0 5

0 3

0100

00

19

878

258

38

00

2

0 0

12

取x3,x4,x5为自由未知量，令x3 1,x4 0,x5 0，x3 0,x4 1,x5 0和

x3 0,x4 0,x5 1，得原方程组的一个基础解系为

X1 (

32511197TTT

,0,1,0), X3 ( ,,0,0,1), ,,1,0,0), X2 (,

882288

19

87 8

k1 1

0 0

3

8 1 2

251

8 2 k 0 k 0 ，其中，k1,k2,k323 1 0

10

因此，一般解为X k1X1 k2X2 k3X3

为任意常数.

29. 求下列非齐次线性方程组的一般解： 2x1 7x2 3x3 x4 6

（1） 3x1 5x2 2x3 2x4 4

9x 4x x 7x 2

234 1

2

解： 3

9

754

321

116

24 0

72 0

9 110

4 50

8

1 10

00 0

T

取x2,x3为自由未知量，令x2 x3 0，得方程组的一个特解：X0 (8,0,0, 10)，

再令x2 1,x3 0和x2 0,x3 1，得其导出组的一个基础解系：

线性代数课本第三章习题详细答案

X1 ( 9,1,0,11),

T

T

X2 ( 4,0,1,5).

所以，方程组的一般解为X X0 k1X1 k2X2，其中k1,k2为任意常数.

（2）

x1 x2 x3 x4 x5 7

3x1 2x2 x3 x4 3x5 2

x2 2x3 2x4 6x5 23

5x1 4x2 3x3 3x4 x5 121214

1123

1123

1 3解：

0 5 17

3 2 0

6230

0 112 1

0100

1200

1200

5 16

623

00

00

取x3,x4,x5,为自由未知量，令x3 x4 x5 0，得方程组的一个特解：

X0 ( 16,23,0,0,0)；

T

再取x3 1,x4 0,x5 0，x3 0,x4 1,x5 0和x3 0,x4 0,x5 1得其导出组的一个

TTT

基础解系：X1 (1, 2,1,0,0),X2 (1,2,0,1,0),X3 (5, 6,0,0,1)

所以，方程组的一般解为X X0 k1X1 k2X2 k3X3，其中k1,k2,k3为任意常数. 30.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解. (p 3)x1 x2 2x3 p

(1) px1 (p 1)x2 x3 2p

3(p 1)x px (p 3)x 3

123

p 3

解： p

3(p 1)

1p 1p

p p 3

2

12p p p 3

2

p 33 p(p 1)2

100

2

3 p 3p 6

32

0p 3p 15p 9 2

p

所以，p 0或p 1时，该方程组无解，

线性代数课本第三章习题详细答案

p 0且p 1时，

p 3

2

p p 3 2

p(p 1)

100

2

3 p 3p 6

32

0p 3p 15p 9 2

p

0

0

1

100

32

4p 3p 12p 9

12

p(p 1) 32

0p 3p 15p 9

2

p(p 1) 0

p 12p 9p(p 1)

2

3

有唯一解是

3

2

3

X1

p 3p 15p 9

p(p 1)

2

，X2

p 12p 9p(p 1)

2

，X3

4p 3p 12p 9

p(p 1)

2

32

x1 x2 x3 x4 x5 1

3x1 2x2 x3 x4 3x5 p（2）

x 2x 2x 6x 32345

5x 4x 3x 3x x q

2345 1 1

3解：

0 5

1214

1123

1123

111

3p 0

630

0 1q

1100

1200

1200

1

63

0p

0q 2

1

所以，当p 0或q 2时，方程组无解；

当p 0且q 2时，方程组有无穷多解，

1

0 0 0

1100

1200

1200

111 63 0

000

000

0100

1200

1200

5 2

63

00

00

T

取x3,x4,x5为自由变量，令x3 x4 x5 0，得方程组的一个特解：X0 ( 2,3,0,0,0)；

再取x3 1,x4 0,x5 0，x3 0,x4 1,x5 0和x3 0,x4 0,x5 1得其导出组的一个

TTT基础解系：X1 (1, 2,1,0,0),X2 (1, 2,0,1,0),X3 (5, 6,0,0,1)

线性代数课本第三章习题详细答案

2 1 1 5 3 2 2 6

所以，方程组的一般解为X 0 k1 1 k2 0 k3 0 ，其中k1,k2,k3为任意常

0 0 1 0 0 0 0 1

数.

x1 x2 2x3 x4 1

x1 x2 2x3 7x4 3（3）

x2 px3 qx4 q 3

x x 2x (q 2)x q 3

234 1 1

1解：

0 1

1 111

2 2p2

1

73 0

qq 30

0q 2q 3 1

1

1100

22p 20

3 1

q 3q 2

q 1q 2 1

1

所以，当p 2且q 1时，方程组有唯一解。

当q 1时，方程组无解；

1

0

当p 2时，

0 0

1100

2200

1

3 1 0

q 3q 20

0q 1q 2 1

1

1100

2200

1

3 1

12

04 q

1

所以，当p 2且q 4时，方程组有无穷多解， 10, 7,0,2 k 0, 2,1,0 ，其中k为任意

T

T

常数。

当p 2且q 4时，方程组无解。

31.设A是m n矩阵，证明：若任一个n维向量都是AX 0的解，则A 0.

T

证：因为任一个n维向量都是AX 0的解，则n维向量 i (0, ,0,1,0, ,0)（第i个分

量为1其余分量均为0的列向量）满足A( 1, , n) (A 1, ,A n) 0，即AI 0,其中

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/72mi.html