圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型：

（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）

（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）

4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题：

x2y2例1：已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆

abC的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A,B分别是椭圆C的左右顶点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

（1）求圆O和椭圆C的方程

（2）已知P,Q分别是椭圆和圆上的动点（P,Q位于y轴的两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP,BP分别与y轴交于点

M,N，求证：?MQN为定值

解：（1）依题意可得2a?4?a?2，

且r?b O过焦点，

?b?c，再由b2?c2?a2?4可得b?c?2 x2y2?1，圆方程为x2?y2?2 ?椭圆方程为?42（2）思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设P?x0,y0?，由PQ与x轴平行，可得Q?x1,y0?。若要证明?MQN为定值，可从?MQN的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑

cosMQN?QM?QNQM?QN，模长并不利于计算，所以先算QM?QN，考虑利用条件设出

AP,BP方程，进而M,N坐标可用核心变量x0,y0表示，再进行数量积的坐标运算可得QM?QN?0，从而?MQN?解：设P?x0,y0?

?2，即为定值

PQ与x轴平行，

?设Q?x1,y0?，由P,Q所在椭圆和圆方程可得：

22?x0y022?x0?4?2y0?1??? ??22?42??x2?y2?2?x1?2?y00?1由椭圆可知：A??2,0?,B?2,0? ?kAP?y0y0 ?AP:y??x?2?

x0?2x0?2令x?0，可得：M?0,??2y0?? x0?2?同理：BP:y???2y0?y0x?2N可得???0,?

x0?2?x0?2?第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

??????2y0xy?2y0xy??QM???x1,?y0????x1,?00?,QN???x1,??y0????x1,?00?x0?2x0?2?x0?2x0?2???????2222?x?4?2y??xyxyxy?00可得： ?QM?QN?x12?00???00??x12?200，代入?22x0?2?x0?2?x0?4??x1?2?y02QM?QN?2?y04?2y?y??202024?2y0?422?2?y0??y0?2??0

?QM?QN，即?MQN??2为定值

思路二：本题还可以以AP,BP其中一条直线为入手点（例如AP），以斜率k作为核心变量，直线AP与椭圆交于A,P两点，已知A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标（用k表示），从而可进一步将涉及的点的坐标都用k来进行表示，再计算QM?QN?0也可以，计算步骤如下：

解：设P?x0,y0?，由椭圆方程可得：A??2,0?,B?2,0? 所以设直线AP:y?k?x?2?，联立方程：

?x2y2?1????2k2?1?x2?8k2x?8k2?4?0 42??y?k?x?2??8k2?44k2?24k?xAx0?2?x0??2，代入到直线方程可得：y0? 22k?12k?12k?1?4k2?24k??P??2,2?

?2k?12k?1?4k22k?1??1 ?kBP?4k2?22k?2?22k?11?BP:y???x?2?，由AP:y?k?x?2?，令x?0可得：

2k?1?M?0,2k?,N?0,?

?k?设Q?x1,y0?，则QM???x1,2k?y0?,QN???x1,??1??y0? k?第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

2k?1?1?2?QM?QN?x??2k?y0???y0??x12?y0?2?y0

kk??2122由Q在圆上可得：x1?y0?2，再由y0?24k代入可得： 22k?12k2?14kQM?QN?2?2??2?0

k2k?1?QM?QN，即?MQN??2为定值

x2y2例2：设椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B，

ab已知AB?3F1F2 2（1）求椭圆的离心率

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率

解：（1）由椭圆方程可知：A?a,0?,B?0,b?，F1??c,0?,F2?c,0?

?AB?a2?b2,F1F2?2c

?a2?b2?3?2c?a2?b2?3c2 222即a?a?c?3c?e?22c2? a2（2）由（1）可得a:b:c?2:1:1

x2y2?椭圆方程为2?2?1 设P?x0,y0?,B?0,c?

2cc?F1P??x0?c,y0?,F1B??c,c?

以线段PB为直径的圆经过点F1

?F1P?F1B?c?x0?c??cy0?0?y0???x0?c?

联立方程：??y??x?c22?x?2y?2c22?x?2x?c?2c，整理可得： ??22第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

3x2?4cx?0，解得：x0???41??P??c,c?

?33?4cc，代入直线方程：y0? 33B?0,c?

2211?45?22???1??c?0?c?c?c 可知PB的中点为T??c,c?，r?PB?????22?33?33???3?2??2?5c2??圆方程为?x?c???y?c??

339????设直线l：y?kx

22?dT?l?22?kc?c33k2?12?5c，整理可得： 32?52?22k??k?1?k?8k?1?0，解得： ????3?9?3k?4?15 ?直线l的斜率为4?15或4?15

x2y2例3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，

ab点D在椭圆上，DF1?F1F2,（1）求椭圆的标准方程

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设F1??c,0?,F2?c,0?，由

F1F2DF1?22，DF1F2的面积为

2 2F1F2DF1?22可得：DF1?F1F222?2c 2?SDF1F2?11222F1F2?DF1??2c?c?，解得c?1?c?1 22222 2?F1F2?2,DF1?

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

在DF1F2中，DF22?DF1?F1F2?22932?DF2? 22?2a?DF1?DF2?22?a?2

x2?b?1 ?椭圆方程为：?y2?1

2x2?y2?1相交，（2）如图：设圆与椭圆2P1?x1,y1?,P2?x2,y2?是两个交点

y1?0,y2?0，F1P1,F2P2是圆的切线，且F1P1?F2P2，则

由对称性可得：

x2??x1,y1?y2 ?P1P2?2x1

由（1）可得F1??1,0?,F2?1,0?

?F1P1??x1?1,y1?,F2P2??x2?1,y2????x1?1,y1?

2?F1P?FP?FP?FP?0??x?1?y??122112211?0，

2???x1?1?2?y12?04??3x12?4x1?0，解得x1?0（舍）或x1?? 联立方程?x223?1?y1?1?2?过P1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C 1,P2且分别与F由F1P1,F2P2是圆的切线，且F1?CP2 1P1?F2P2，可得：CP因为CP1P2为等腰直角三角形 1?CP2?r ?CP?r?CP1?242PP?2x? 12123x2y2例4：已知椭圆2?2?1?a?b?0?的焦距为4，设右焦点为F1，离心率为e

ab（1）若e?2 ，求椭圆的方程 2第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

（2）设A,B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上 ① 证明：点A在定圆上

② 设直线AB的斜率为k，若k?3，求e的取值范围

解：（1）依题意可得：c?2 ?a?222c?22 ex2y2?1 ?b?a?c?4 所以椭圆方程为：?84（2）①思路：设A?x0,y0?，则B??x0,?y0?，由此可得M,N坐标（用x0,y0进行表示），而O在以MN为直径的圆上可得：OM?ON?0，所以得到关于x0,y0的方程，由方程便可判定出A点的轨迹

解：设A?x0,y0?，则B??x0,?y0?。因为F1??2,0?，且M,N为AF1,BF1的中点 所以有M??x0?2y0???x0?2y0?,?,N?,?? 2??22??2 O在以MN为直径的圆上

?OM?ON

?OM?ON?0?x0?2?x0?2y0?y0????????0 222?2?224?x0y022???0?x0?y0?4

44?A点在定圆x2?y2?4上

?y?kx22?kx??x?21k212y2?2?2?1?x② ?2?2?1??a消去x可得：2?2=?k?1?（*） bab4b?a?x2?kx2?4??22??x?y?4?c2442222而e??,?b?a?c?2?4，a?2

aaeee4?2e2?1?3 代入（*）可得：k?2e2?12第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

e4?8e2?4??0

2e2?1?2?e?3?1 210?e?1 所以解得：?e2?4?23

25x2y2例5：已知椭圆2?2?1?a?b?0?的上顶点为B，左焦点为F，离心率为

5ab（1）求直线BF的斜率

（2）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，PM??MQ ① 求?的值 ② 若PMsinBQP?75，求椭圆方程 9解：（1）由e?c5?可知a:b:c?5:2:1 a5设F??c,0?，B?0,b???0,2c?

?kBF?2c?0?2

0???c?（2）① 设P?x1,y1?,Q?x2,y2?

?BP:y?2x?2c

x2y2a:b:c?5:2:1 ?椭圆方程为：2?2?1

5c4c?4x2?5y2?20c22?4x2?5?2x?2c??20c2，整理后可得： 联立方程：??y?2x?2c24x2?40cx?0可解得：x1??因为BQ?BP ?kBQ??5c?5c4c? ?P??,??

333??11 设BQ:y??x?2c 22第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

?4x2?5y2?20c22??1?2联立方程：??4x?5??x?2c??20c2，整理后可得： 1?2??y??x?2c?221x2?40cx?0，解得x2?40c?40c22c?,，即Q?? 212121??2设M?0,y0?，PQ斜率为k，由弦长公式可知：PM?1?k?5c5c?0?1?k2 33QM?1?k240c40c?0?1?k2 21215c21?kPM7???3?

40cQM1?k2821PM777② 由①可得：? ??PM?PQ

PQ1515MQ8PMsinBQP?7515 ?BP?PQsinBQP?PM97PMsiBQPn?53 52??5?2???5c4c??4??55由B?0,2c?,P??,?c ?可得：BP??0???c????2c???c???3?3?3?3?????3???????5555c??c?1 33x2y2?1 ?椭圆方程为?543x2y2例6：已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左焦点为F??c,0?，离心率为，点M在椭圆

3ab43b2上且位于第一象限，直线FM被圆x?y?截得的线段的长为c，FM? 3422（1）求直线FM的斜率 （2）求椭圆的方程

（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）斜率的取值范围

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

解：（1）由已知可得e?c3? ?a:b:c?a33:2 :1?a?3c,b?2c

x2y2?椭圆方程为2?2?1?2x2?3y2?6c2

3c2c设直线FM:y?k?x?c??kx?y?kc?0，其中k?0

?dO?FM?2kck?12 ?由d2O?FM?1???c??r2可得： ?2?2?kc?12b2k2c2c22c23?c????k?解得： ?2?234k?144?k?1?4（2）由（1）可得：FM:y?3?x?c? 3?3?y??x?c??2x2?3?1?x?c?2?6c2 ??33?2x2?3y2?6c2?5?3x2?2cx?5c2?0解得：x??c或x?c

3M在第一象限

?x?c?23??Mc,c?，即 ???23??3?c??y?3??3?4c43 ?FM?1??c??c??????3?33??可得：c?1

2x2y2?1 ?椭圆方程为：?32（3）由（2）可知F??1,0?，设P?x,y?，设FP的斜率为k

PF:y?k?x?1?

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

联立方程：??2?y?k?x?1?22?2x?3kx?1?6 ??22??3x?2y?62?k?6?2x23?x?1??3??2 可解得：x???,?1??2???1,0?

设直线OP的斜率为m，即m?22222y?y?mx x21?3x2133x?2y?1?3x?2mx?1?m???

2x22x22当x???,?1?时， 可知y?k?x?1??0

?3?2???m?y?0 ?m?x?223?22?3??x??,?1m?,，由可得： ????2??x33??2??3当x???1,0?时，可知y?k?x?1??0

?2223?y?m???，由x???1,0?可得：m????,??m??0 ??? x233x??综上所述：m????,????23??3???223???3,3?? ??2，其短轴的两端点分别为A?0,1?,B?0,?1?. 2例7：已知椭圆G的离心率为（1）求椭圆G的方程；

（2）若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点

M,N.试判断以MN为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说

明理由. 解：（1）

e?c2? ?a:b:c?2:1:1 a2由短轴顶点A?0,1?,B?0,?1?可得：b?1

x2?a?2 ?椭圆方程为?y2?1

2（2）设C?x0,y0?，则对称点D??x0,y0?

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

?kAC?y0?1y?1,kBD??0 从而直线AC,BD的方程为： x0x0y0?1y?1x?1,BD:y??0x?1，令y?0解得： x0x0AC:y??x???x0?M?0,0?,N?,0?，设MN中点为E ?1?y0??1?y0?1?x0?x0?x0y0则xE?? ???22?1?y01?y0?1?y0半径r?MN2?x01x0?x0 ??221?y01?y01?y022?x0y0?x02?以MN为直径的圆方程为：?x? ?y?22?21?y0???1?y0?22x0x022?y0?1??1?y0代入可得： 2222?2y0?44y04y0?4x02222x??0，代入?1?y0可得： ?x???y?2?x?y?22xxxx0?000?2即x?y?224y0x?2?0 ① x0?x?0,y??2时，无论x0,y0为何值

等式①均成立

?圆E恒过0,?2

例8：如图，设抛物线C1:y?4mx?m?0?的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1,F2为

2??焦点，离心率e?1的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点2Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P,Q之间运动

（1）当m?1时，求椭圆C2的方程

（2）当PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

MPQ面积的最大值

2解：（1）m?1时，C1:y?4x，焦点坐标F2?1,0?

?c?1 e?c1? ?a?2 a2?b2?a2?c2?3

x2y2?1 ?椭圆C2的方程为：?43（2）由C1:y2?4mx?m?0?可得：F2?m,0?，即c?m

e?c12222?a?c?3m ? ?a?2m,ba2x2y2??1 ? 椭圆方程为：

4m23m2222??3x?4y?12m?3x2?16mx?12m2?0 ?2??y?4mx??x?6m??3x?2m??0?x??226??P?m,m?

33??26m2m2代入y?4mx解得：y?

33?PF2?x?p2m5m ??m?2335m7m6m F1F2?2c?2m? PF1?2a?PF2?4m??333PF1F2边长为3个连续的自然数 ?m?3

?抛物线方程为y2?12x，P2,26,F2?3,0?

??kPF2?26?0??26

2?3即PQ:y??26?x?3?，代入抛物线方程可得：

24?x?3??12x?2x2?13x?18?0解得xQ?29 2?9??9??yQ??26???3???36 ?Q?,?36?

?2??2?第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

?t2?设M?,t?，t??36,26

?12????dM?PQ?62t?t?66624?1626?6?75 ?t?6t?36??t???3030?2?222?6?75?75?t??36,26 ??t??????,0?

2?2?2??????dM?PQ?max6?6?756755????6 ?t???30?2?23024max?9?2??2由P2,26,Q?,?36?可得：PQ?1?24xP?xQ???25 2??SMPQ?max?112551256PQ??dM?PQ?max???6? 222416例9：在平面直角坐标系xOy中，点P?a,b??a?b?0?为动点，F1,F2分别为椭圆

x2y2??1的左，右焦点，已知F1PF2为等腰三角形 a2b2（1）求椭圆的离心率e

（2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM?BM??2，求点M的轨迹方程

解：（1）设F1PF2为等腰三角形即PF1??c,0?,F2?c,0?，由图可知，F2?F1F2

PF2??a?c?2?b2,F1F2?2c,代入可得：

2?a?c?2?b2?2c??a?c??b2=4c2

?2a2?2ac?4c2?0?2e2?e?1?0，解得：e??1（舍）或e?2221 2（2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为：3x?4y?12c，与直线PF2的方程联立，

222??3x?4y?12c2即?消元后发现方程形式为5x?8cx?0，形式极其简单，所以直接求出??y?3?x?c?第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

点的坐标可得：A?c,?8?533?c?,B0,?3c，进而设所求点M?x,y?。将AM,BM坐标5???化后，再利用

AM?BM??2即可得到关于x,y的方程：

8??33??x?x?c???y?c?y?3c??2，方程中含有c，所以考虑利用直线方程

55??????y?3?x?c?将c消掉：c?x?解：

3y，代入即可得到轨迹方程 3e?c1? ?a?2c,b?a2?c2?3c a2x2y2?椭圆方程转化为：2?2?1即3x2?4y2?12c2

4c3cP?a,b?即P2c,3c ?kPF2???0?3c?3 c?2c?PF2的方程为：y?3?x?c?，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立方程可得：

222?3x?4y?12c?，消去y，方程转化为： ???y?3?x?c?3x2?4?3?x?c??12c2?5x2?8cx?0

解得：x1?2?833?8c?,B0?,c,x2?0 ?A?c,5?5?5?c3

?设M?x,y?，则AM??x???833?c,y?c?,BM?x,y?3c 55???8??33??c?y?3c??2，化简可得： 由AM?BM??2可得：x?x?c???y?55??????8239x2?cx?y2?cy?c2?2?0 ①

555因为y?3?x?c?，所以c?x?y，代入①式化简可得： 318x2?163xy?15?0

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

18x2?1510x2?5y?0?x?0 将y?代入c?x?，可得：c?16x163x3?M的轨迹方程为：18x2?163xy?15?0?x?0?

x2y2例10：如图，F1,F2分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点，椭圆C上的点到F1ab距离的最大值为5，离心率为

2，A,B是椭圆C上位于x3轴上方的两点，且直线AF1与BF2平行。 （1）求椭圆C的方程

（2）设AF2与BF1的交点为P，求证：PF1?PF2为定值

解：（1）e?c2?，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为a?c?5 a3?a?3,c?2 b2?a2?c2?5 x2y2??1 所以椭圆方程为95（2）

解：由（1）可得：F1??2,0?,F2?2,0?，设A?x1,y1?,B?x2,y2? 设直线AF1:x?my?2，与椭圆联立方程：

?x?my?222?5my?2?9y?45，整理可得： ???22?5x?9y?45?9?5m?y22?20my?25?0

?y1?20m??20m?2?100?9?5m2?2?9?5m2?10m?15m2?1? 29?5m10m?15m2?1由y1?0可得：y1?

5m2?910m?15m2?1?AF1?1?my1?0?1?m? ① 25m?922第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

同理，设直线BF2:x?my?2，与椭圆联立方程：

?x?my?222?5my?2?9y?45 ???22?5x?9y?45整理可得：

?9?5m?y22?20my?25?0

?y2??20m??20m?2?100?9?5m2?2?9?5m2??10m?15m2?1? 29?5m?10m?15m2?1由y2?0可得：y2? 25m?9?10m?15m2?1?BF2?1?my2?0?1?m? ②

5m2?922AF1∥BF2

?PF1PB?AF1BF2?PF1PB?PF1??AF1BF2?AF1?PF1BF1?AF1BF2?AF1

?PF1?AF1?BF1BF2?AF1AF1??2a?BF2BF2?AF1?

?PF2AF2?BF2BF2?AF1

同理

PF2PA?BF2AF1?PF2PA?PF2??BF2AF1?BF2

?PF2?AF2?BF2BF2?AF1BF2??2a?AF1?BF2?AF1?PF1?PF2?AF1??2a?BF2BF2?AF1??BF2??2a?AF1?BF2?AF1?2a?

?2a?AF1?BF2??2AF1?BF2BF2?AF12AF1?BF2BF2?AF1

?6?由①②可得：

2AF1?BF2BF2?AF1 ③

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

210m?15m2?12?10m?15m?1AF1?BF2?1?m??1?m? 225m?95m?92 ?30?m2?1?5m?922

210m?15m2?12?10m?15m?1AF1?BF2?1?m??1?m? 225m?95m?915? ??1?m?2m2?1?10m15m2?1?10m???5m2?9?2?

2 ?1?m2???225?m2?1??100m2?5m

2?9?2??1?m2??25?5m2?9??5m?9?2

?25?1?m2??5m2?9?代入到③可得：

2?PF1?PF2?6??5m30?m25?1?m2?22?1??9??6?513? 335m2?9?PF1?PF2为定值

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

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