安徽省江淮十校联考2015届高三上学期8月月考数学试卷（文科）

安徽省江淮十校联考2015届高三上学期8月月考数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则为（） A． 0 B． 2i C． ﹣2i D．﹣1﹣2i

2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x= A． y=2sin（2x﹣

3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）+（y+a）=4所截得的弦长为，则实数a的值为（） A． ﹣2或6 B． 0或4 C． ﹣1或 D．﹣1或3

2

2

2

对称的函数是（）

） D．y=2sin（﹣

）

） B． y=2sin（+） C． y=2sin（2x+

4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A． 2 B． C． ﹣1 D．

5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）

22

A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

2

B． “x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

22

C． 命题“?x∈R，使得x+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x+x+1＜0” D． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）

A． i＞3

7．（5分）椭圆

B． i＞5

C． i＞7

D．i＞9

=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）

A． B． 1或﹣2 C． 1或 D．1

8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A． 220+15π B． 208+15π C． 200+9π D．200+18π 9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）时，f（x）=2﹣ A． 0

x

，则B． 1

的值为（） C．

D．

2

2

10．（5分）如图，已知点，正方形ABCD内接于圆O：x+y=1，M、N分别

的取值范围为（）

为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，

A． [﹣2，2]

B．

C． [﹣1，1]

D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．） 11．（5分）设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=．

12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在

上的最大值为．

13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是．

随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．

14．（5分）已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转

到OB交单位圆于点B（xB，yB），则2yA﹣yB的最大值为．

15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”．下列所给出的五个函数：

2

①y=x； ②y=

；

③f（x）=ln（2x+3）；

④y=2﹣2； ⑤y=2sinx﹣1．

其中是“美丽函数”的序号有．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=

．

x

﹣x

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积． 17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据： 日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日 平均气温x（°C） 9 10 12 11 8 销量y（杯） 23 25 30 26 21

（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； （Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程

=

x+

；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．

（参考公式：=，=﹣）

18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N ），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．

*

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn并比较Tn+bn 与6大小． 19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1． （Ⅰ）求证：BC∥EF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．

20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）． （Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x+

21．（13分）已知椭圆C：

+

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

，且由椭圆上顶点、右焦

3

f'（x） 在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．

点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

安徽省江淮十校联考2015届高三上学期8月月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则为（） A． 0 B． 2i C． ﹣2i D．﹣1﹣2i

2

考点： 复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 由纯虚数的定义可得a值，进而可得复数z，可得． 解答： 解：由纯虚数的定义可得

，

解得a=1，∴z=2i，∴ 故选：C

点评： 本题考查复数的基本概念，属基础题．

2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x= A． y=2sin（2x﹣

） B． y=2sin（+

对称的函数是（）

） D．y=2sin（﹣

）

） C． y=2sin（2x+

考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 根据函数的周期性和对称性即可得到结论．

解答： 解：由周期为π可排除选项B和D，对于选项C，当时，函数取得最大值，显

然符合题意， 故选：C

点评： 本题主要考查函数解析的确定，根据三角函数的周期性和对称性是解决本题的关键，本题使用排除法比较简单．

3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）+（y+a）=4所截得的弦长为，则实数a的值为（） A． ﹣2或6 B． 0或4 C． ﹣1或 D．﹣1或3

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．

22

分析： 由圆的性质可得圆心到直线的距离为a．

解答： 解：圆（x﹣1）+（y+a）=4的圆心C（1，﹣a），半径r=2，

22

∵直线x﹣y=2被圆（x﹣1）+（y+a）=4所截得的弦长为， ∴由圆的性质可得圆心到直线的距离为

，

2

2

，由此能求出

解得a=﹣1或3． 故选：D．

点评： 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意直线与圆的性质的合理运用．

4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A． 2 B． C． ﹣1 D．

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．

分析： 由题意作出平面区域，找到取最大值时过的点，代入即可． 解答： 解：其平面区域如右图： 则由y=2x﹣z可知， z=2x﹣y的最大值时，

y=2x﹣z过直线y=x与x=2y﹣2的交点B，

由

解得，x=y=2，

则此时z=2×2﹣2=2是z=2x﹣y的最大值时， 故选A．

点评： 本题考查了线性规划，要注意作图要准确． 5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）

A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

2

B． “x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

22

C． 命题“?x∈R，使得x+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x+x+1＜0” D． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

考点： 命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

2

分析： 对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x≠1，则x≠1”，故错误．

22

对于B：因为x=﹣1?x﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．

2

对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为?x∈R，均有x+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．

22

解答： 解：对于A：命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”．因为否命题应

2

为“若x≠1，则x≠1”，故错误．

22

对于B：“x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1?x﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．

对于C：命题“?x∈R，使得x+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x+x+1＜0”．

2

因为命题的否定应为?x∈R，均有x+x+1≥0．故错误． 由排除法得到D正确． 故答案选择D．

点评： 此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点． 6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）

2

2

2

A． i＞3 B． i＞5 C． i＞7 D．i＞9

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定判断框内应补充的条件．

解答： 解：由程序框图知：i=1，S=0，

S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体； S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体； S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体， 故判断框内应补充的条件为i＞5 故选：B．

点评： 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．

7．（5分）椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）

A． B． 1或﹣2 C． 1或 D．1

考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．

解答： 解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，

∴它们的焦点在x轴上，

2

且6﹣a=a+4（a＞0）， 解得a=1， 故选D．

点评： 本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题． 8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A． 220+15π B． 208+15π C． 200+9π D．200+18π

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 由三视图想象出空间几何体，代入数据求面积即可． 解答： 解析：由三视图易得，

此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体，

2

其表面积为（10×4+10×5+4×5）×2﹣6×2+π×3+π×3×2=208+15π． 故选B．

点评： 本题考查了学生的空间想象力，属于基础题． 9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）

时，f（x）=2﹣ A． 0

考点： 专题： 分析： 解答： 而

x

，则B． 1

的值为（） C．

D．

函数的周期性；函数的值；对数的运算性质．

函数的性质及应用．

根据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化即可得到结论． 解：由题意知函数f（x）是周期为2的周期函数，

，

所以，

故选：A

点评： 本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．

10．（5分）如图，已知点

，正方形ABCD内接于圆O：x+y=1，M、N分别

的取值范围为（）

2

2

为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，

A． [﹣2，2]

B．

C． [﹣1，1]

D．

考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 由已知，将转化为，得到

=﹣cos∠PON，结合角的范围求余弦值是范围．

解答： 解：cos∠PON

∵∠PON∈R，∴cos∠PON∈[﹣1，1]， ∴

的取值范围为[﹣1，1]．

=

=﹣

故选C．

点评： 本题考查了向量的加减运算以及向量数量积的运算，本题注意利用余弦值的范围求向量的数量积的范围．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．） 11．（5分）设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=36．

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解． 解答： 解：因为a2+a3+a10=12，

由等差数列的性质知3a5=12， 故a5=4， 所以

．

故答案为：36．

点评： 本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；导数的综合应用．

上的最大值为．

分析： 求导分判断导数在上的正负，从而得出在上的单调性，从而

求出最大值．

解答： 解：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx， 则当当∴f（x）在故

时，f′（x）＞0， 时，f'（x）＜0，

上单调递增，在

．

上单调递减，

时，f（x）取得最大值

．

故答案为：

点评： 本题考查了利用导数判断函数的单调性与最值，属于基础题． 13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是068．

随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．

考点： 简单随机抽样． 专题： 概率与统计．

分析： 根据随机数表进行简单随机抽样，抽取出符合条件的号码，对于不符合条件的号码，应舍去，直到取满样本容量为止．

解答： 解：根据随机数表进行简单随机抽样的方法得， 抽取的第一个号码为175，

后面的数331，572，455都大于200，应舍去， ∴第二个号码为068．

故答案为：068．

点评： 本题考查了利用随机数表进行简单随机抽样的问题，解题时应熟悉随机数表的应用问题，是容易题．

14．（5分）已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转

到OB交单位圆于点B（xB，yB），则2yA﹣yB的最大值为

．

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值．

分析： 设A（cosα，sinα），则由三角函数的知识可得．

解答： 解：设A（cosα，sinα），则∴=

，

，代入要求的式子

，

∴其最大值为， 故答案为：

点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的最值，属基础题． 15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”．下列所给出的五个函数： ①y=x； ②y=

；

2

③f（x）=ln（2x+3）；

④y=2﹣2； ⑤y=2sinx﹣1．

其中是“美丽函数”的序号有②③④．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 新定义．

分析： 由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数．

2

解答： 解：①函数y=x≥0，所以不可能是“美丽函数”，所以①错；

x﹣x

②的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，所以②正确；

③f（x）=ln（2x+3），值域为R，关于原点对称，所以③正确； ④y=2﹣2，令t=2＞0，则y=

x

﹣x

x

，在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，值域关于原

点对称，所以④正确；

⑤y=2sinx﹣1，则y∈[﹣3，1]，不关于原点对称，所以⑤错误．

故答案为：②③④．

点评： 本题考查的函数的值域，新定义题型，关键是理解题目的意思．属于中档题．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=

．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： （Ⅰ）已知等式变形后，利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出角B的大小；

（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinA=，

∴a=2bsinA，

由正弦定理可得sinA=2sinBsinA， ∵0＜A＜π，∴sinA＞0， ∴sinB=

，

∵a＜b＜c， ∴B＜C， ∴0＜B＜则B=

；

，cosB=，

2

2

，

（Ⅱ）∵a=2，b=

∴由余弦定理可得：7=4+c﹣2c，即c﹣2c﹣3=0， 解得：c=3或c=﹣1（舍去），即c=3， 则S△ABC=acsinB=

．

点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据： 日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日 平均气温x（°C） 9 10 12 11 8 销量y（杯） 23 25 30 26 21

（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； （Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程

=

x+

；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．

（参考公式：=，=﹣）

考点： 线性回归方程．

专题： 应用题；概率与统计．

分析： （Ⅰ）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有4种．根据等可能事件的概率做出结果．

（Ⅱ）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（Ⅲ）利用线性回归方程，x取7，即可预测该奶茶店这种饮料的销量． 解答： 解：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A， 所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14）， （11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15），共有10种． 事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种．

所以 为所求． …6分

，

，

，

． …10分

．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯． …12

．

（Ⅱ）由数据，求得由公式，求得

所以y关于x的线性回归方程为（Ⅲ）当x=7时，

分．

点评： 本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．

18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N ），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn并比较Tn+bn 与6大小．

考点： 数列的求和；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列．

*

分析： （Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，由此求出公比式． （Ⅱ）出

．

，从而能求出数列{an}通项公

，由此利用错位相减法能求出，并求

解答： 解：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，

即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，亦即（a4+a3）+a4=0， ∴

，∴公比

，…4分

于是数列{an}通项公式为（Ⅱ）所以

，

．…5分

，①

，②…8分

①﹣②得，

=

=∴∴

，

，…11分

….12分．

点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用． 19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1． （Ⅰ）求证：BC∥EF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．

（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF的体积． 解答： 解：（Ⅰ）因为AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF， 所以BC∥平面ADEF，…3分

又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF， 所以BC∥EF．…6分

（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，

因为DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH， 又AD、DE?平面ADEF，AD∩DE=D， 所以BH⊥平面ADEF，

所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分

在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以， 因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD， 又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC， 所以AD∥EF，所以DE⊥EF， 所以三棱锥B﹣DEF的体积：

．…13分．

点评： 本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）． （Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x+

3

f'（x） 在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： （I）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出．

（II）由函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=﹣2，

．可得g′（x）=3x+（t+4）x﹣2，由于函数g（x）在区

2

间（1，2）上存在极值，注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，因此只需

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）当k=﹣1 时，

．

，

令f′（x）＞0 时，解得x＞1，令f′（x）＜0 时，解得0＜x＜1， ∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）． （Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行， ∴f′（2）=1，即∴k=﹣2，

，

， ，

∴g′（x）=3x+（t+4）x﹣2，

∵函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，

注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0， ∴只需

，

2

解得﹣9＜t＜﹣5，

∴t 的取值范围为（﹣9，﹣5）．

点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（13分）已知椭圆C：

+

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

，且由椭圆上顶点、右焦

点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

考点： 圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．k1+k2 为定值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，解得a=8，b=4，

22

所以椭圆C的方程为=1．…5分

（Ⅱ）k1+k2 为定值4，证明如下：…6分

（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=﹣1，

由方程组 易得，，

于是k1=，k2=

，

所以k1+k2=4为定值．…8分

（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣（﹣2）=k[x﹣（﹣1）]，即y=kx+k﹣2， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由方程组

，消去y，得（1+2k）x+4k（k﹣2）x+2k﹣8k=0，

2

2

2

由韦达定理得（*） …10分

∴k1+k2=

=

=

=2k+（k﹣4）?，

将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值．…13分．

点评： 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/72kg.html