初中数学图形的旋转变换培优综合训练题(附答案)

初中数学图形的旋转变换培优综合训练题（附答案）

一．解答题（共8小题）

1．如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．

（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，边D1E1与BC的交点为M，连接BE1，当CC1多大时，△BME1是等腰直角三角形？并说明理由．

（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，连接AD

1、BE1、边D1E1的中点为F．

①在旋转过程中，AD1和BE1有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接BF，当BF最大时，求AD1的值．（结果保留根号）

2．如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点

E、F，且∠P AC＝∠EDC．

（1）求证：AP＝2ED；

（2）猜想P A和PC的位置关系，并说明理由；

（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．

3．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（

1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

4．如图1，点P是线段AB上的动点（点P与A，B不重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）请你判断AD与BC有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

5．

如图1，点A在y轴正半轴上，点B（m，0）在x轴负半轴上，已知∠BAO＝α°，∠ABO ＝β°，+β2﹣4βα+4α2＝0，点C与点B关于y轴对称．

（1）填空：m＝，∠CAO＝度，△ABC形状为；

（2）如图2，D是y轴上的动点，以CD为边做正三角形CDE，连接BE，图中有无与BE始终相等的线段？若有，请指出这条线段，并证明之；若没有，请说明理由；

（3）如图3，（2）中D点在线段OA上运动时，求线段OE长的取值范围．（可以图1为备用图）

6．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD＝CE，BD⊥CE；

（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）根据图2，请直接写出AD、BD、CD三条线段之间的数量关系．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

（1）如果∠A＝30°

①如图1，∠DCB＝60°

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段

DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α

（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）

8．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，

（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．

（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？

（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”

改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E

分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．

（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，边D1E1与BC的交点为M，连接BE1，当CC1多大时，△BME1是等腰直角三角形？并说明理由．

（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，连接AD1、BE1、边D1E1的中点为F．

①在旋转过程中，AD1和BE1有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接BF，当BF最大时，求AD1的值．（结果保留根号）

【解答】解：（1）如图1中，连接EE1，当CC1＝2时，△BME1是等腰直角三角形．

理由：∵△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，

∴EE1∥AC，EE1⊥BC，

∴EE1＝CC1＝2，∠EE1M＝∠MD1C，

∵DE∥AB，

∴△ABC∽△DCE，

∴＝，∠EE1M＝∠MD1C＝45°，

∵AC＝BC＝6，

∴CD＝CE＝4，

∴BE＝EE1＝2，

∴∠BE1E＝45°，

∴∠BE1M＝90°，

∴∠BE1E＝∠ME1E＝45°，

∵∠BEE1＝∠MEE1＝90°，EE1＝EE1，

∴△BE1E≌△ME1E（ASA），

∴BE1＝ME1，

∴△BME1是等腰直角三角形．

（2）①AD1和BE 1相等

理由：如图2中，

∵∠ABC＝∠D1CE1＝90°，

∴∠BCE1＝∠ACD1，

又∵AC＝BC，CE1＝CD1，

∴△BE1C≌△AD1C（SAS），

∴AD1＝BE1．

②当点F在BC的延长线上时，BF最大．

在Rt△D1CE1中，E1C＝D1C＝4

∴D1E1＝4，

∵F是中点，

∴CF＝D1E1＝2，

∴BF＝6+2．

2．如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°

＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点E、F，且∠P AC＝∠EDC．

（1）求证：AP＝2ED；

（2）猜想P A和PC的位置关系，并说明理由；

（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．

【解答】（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，∴∠DCE＝∠ACP，

∵∠P AC＝∠EDC，

∴△CDE∽△CAP，

∴＝，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，

∴点D为BC边的中点，

∴CD＝BC＝AC，

∴＝＝，

∴AP＝2ED；

（2）解：P A⊥PC，

理由：连接AD，如图1，

∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵∠P AC＝∠EDC，

∴A、D、C、P 四点共圆，

∵∠ADC＝90°，

∴AC 是共圆的直径，

∴∠APC＝90°，

∴P A⊥PC；

（3）解：如图2，∵AP＝2，PC＝4，∠APC＝90°，∴AC＝＝2，

∴DC＝AC＝，AD＝AC＝

∵AP＝2ED，

∴ED＝1，

∵△CDE ∽△CAP ，

∴∠CED＝∠APC ＝90°，

∴CE＝＝2，

∵∠EDG+∠EDC＝90

°∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDG＝∠ECD，

∵∠CED＝∠DEG＝90°，

∴△EDG∽△ECD，

∴＝，

∴GD＝＝＝，

∴AG＝AD﹣GD＝﹣．

3．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD

2的长．

②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍弃）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍弃）．

综上所述，满足条件的AM 的值为20或10．

（2）如图2中，连接CD．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D 2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD 1＝30．

4．如图1，点P是线段AB上的动点（点P与A，B不重合），分别以AP、PB为边向线段

．

AB的同一侧作正△APC和正△PBD

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

【解答】解：（1）AD＝BC

理由如下：

∵△APC是等边三角形

∴P A＝PC，∠APC＝60°

又∵△BDP是等边三角形

∴PB＝PD，∠BPD＝60°

又∵A、P、D三点在同一直线上

所以∠APD＝∠CPB＝120°

在△APD和△CPB中

∴△APD≌△CPB（SAS）

∴AD＝BC

（2）α的大不会随点P的移动而变化

理由如下：

∵△APD≌△CPB

∴∠P AD＝∠PCB

∴∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°

∴∠AQC＝180﹣120°＝60°

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．如图2，∵△APC、△BDP是等边三角形，

∴P A＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠BPD＝60°，

∴∠APD＝∠CPB，

∴在△APD与△CPB中，

，

∴△APD≌△CPB（SAS）

∴∠P AD＝∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，

∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°，

即α＝60°．

5．如图1，点A在y轴正半轴上，点B（m，0）在x轴负半轴上，已知∠BAO＝α°，∠ABO ＝β°，+β2﹣4βα+4α2＝0，点C与点B关于y轴对称．

（1）填空：m＝﹣6，∠CAO＝30度，△ABC形状为等边三角形；

（2）如图2，D是y轴上的动点，以CD为边做正三角形CDE，连接BE，图中有无与BE始终相等的线段？若有，请指出这条线段，并证明之；若没有，请说明理由；

（3）如图3，（2）中D点在线段OA上运动时，求线段OE长的取值范围．（可以图1为备用图）

【解答】解：（1）∵+β2﹣4βα+4α2＝0，

可得：m＝﹣6，β＝2α，

∵α+β＝90°，

∴α＝30°，

∵点C与点B关于y轴对称，

∴∠CAO＝∠BAO＝α＝30°，AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形；

故答案为：﹣6，30，等边三角形；

（2）线段AD与BE始终相等，

理由如下：

∵△ABC，△CDE为等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝60°＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

BCE，

（3）如图，连接BE，由（2）可知△ACD≌△

即当D点在线段OA上运动时，E点在与BC夹30°角的BE上运动，当OE⊥BE时，OE最小，OE＝OB＝3；

当D点与点O重合时，OE与DE重合，此时OE最大，OE＝DE＝OC＝6；

当D点与点A重合时，CE与CB重合，此时OE最大，OE＝OB＝6，

当D点与点A重合时，可AC右侧做等边三角形，此时OE值最大，

综上，3≤OE≤6．

6．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD＝CE，BD⊥CE；

（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）根据图2，请直接写出AD、BD、

CD三条线段之间的数量关系．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°，

∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△

CAE中，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°．

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴BD⊥CE；

2，

（2）如图

（3）2AD2＝BD2+CD2，

∵∠EAD＝90°AE＝AD，

∴ED＝AD

在RT△ECD中，ED2＝CE2+CD2，

∴2AD2＝BD2+CD2

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

（1）如果∠A＝30°

①如图1，∠DCB＝60°

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段

DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠DCB＝60°．

②补全图形如图2，结论：CP＝BF．理由如下：

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，

∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，

∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，

∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，

∵∠PDF＝2α，

∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，

∴DP＝DF，

在△DCP和△DBF中

，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP＝BF，

CP＝BF．

（2）结论：BF﹣BP＝2DE?tanα．

理由：如图3，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，

∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，

∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，

∵∠PDF＝2α，

∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB ，

∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，

∴DP＝DF，

在△DCP和△DBF中

，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP＝BF，

而CP＝BC+BP ，

∴BF﹣BP＝BC，

在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，

∴tan∠DCE＝，

∴CE＝DE tanα，

∴BC＝2CE＝2DE tanα，

即BF﹣BP＝2DE tanα．

8．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，

（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．

（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？

（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”

改为“∠ABC＝∠DBE＝

α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？

【解答】解：（1）结论：AE＝CD．

理由：如图1中，

在△AEB和△CDB 中，

，

∴△AEB≌△CDB（SAS）

∴AE＝CD．

（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD，

O．

理由：如图2中，设AB交CD于

∴∠ABE＝∠DBC，

在△AEB和△CDB中，

，

∴△AEB≌△CDB（SAS），

∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB，∴∠FOA+∠F AO＝90°，

∴∠AFC＝90°，

∴AE⊥CD．

（3）线段AE、CD所在直线的夹角大小不变，∠AFC＝α．理由：如图3中，设AB交CD于O．

∵∠DBE＝∠ABC＝α，

∴∠ABE＝∠DBC，

在△AEB和△CDB中，

，

∴△AEB≌△CDB（SAS），

∴∠EAB＝∠DCB，

∵∠AOF＝∠COB，

∴∠AFO＝∠ABC＝α．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/72jq.html