第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限 limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?x?x0dydf?x?，等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

dxx?x0dxx?x0则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y?f?x?在点x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?表示曲线

y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的斜率。

切线方程：y?f?x0??f??x0??x?x0? 法线方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? f??x0? 设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，则

f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y?f?x?在点x0处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反之不然，即函数

y?f?x?在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f?x??x，在x0?0处连

续，却不可导。 4．微分的定义

设函数y?f?x?在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表达式

?y?A?x0??x?o??x? ??x?0?

其中A?x0?为?x为无关，o??x?是?x?0时比?x高阶的无穷小，则称f?x?在x0处可微，并把?y中的主要线性部分A?x0??x称为f?x?在x0处的微分，记以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我们定义自变量的微分dx就是?x。 5．微分的几何意义

?y?f?x0??x??f?x0?是曲线y?f?x?在点x0处相应于自变量增量?x的纵坐标

f?x0?的增量，微分dy增量（见图）。

x?x0是曲线y?f?x?在点M0?x0,f?x0??处切线的纵坐标相应的

6．可微与可导的关系

f?x?在x0处可微?f?x?在x0处可导。

且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx

一般地，y?f?x?则dy?f??x?dx 所以导数f??x??dy也称为微商，就是微分之商的含义。 dx 7．高阶导数的概念

如果函数y?f?x?的导数y??f??x?在点x0处仍是可导的，则把y??f??x?在点x0处

d2y的导数称为y?f?x?在点x0处的二阶导数，记以y??，或f???x0?，或等，2x?x0x?xdx0也称f?x?在点x0处二阶可导。

如果y?f?x?的n?1阶导数的导数存在，称为y?f?x?的n阶导数，记以y?n?，

dnyy?x?，n等，这时也称y?f?x?是n阶可导。

dx?n?

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 [f1f2]?f1f2?f1f2

'''' [f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3

'''f'f'g?fg' ()? 2gg （2）反函数求导公式

设y?f(x)的反函数为x?g(y)，则g(y)? （3）复合函数求导和微分公式 设y?f(u),u?g(x)，则 （4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y 例：ex?y'11? ''f(x)f[g(y)]dydydu??f'[g(x)]g'(x) dxdudx'?sin(3x?2y)?5x?6y?7，确定y?y(x)，求y'

解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量 ex?y(1?y')?[cos(3x?2y)](3?2y')?5?6y'?0

' 然后把y解出来 （5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则 y? lny? 求导得

(x?1)(x?2)

(x?3)(x?4)1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)] 2y'11111?(???) y2x?1x?2x?3x?4 解出y'

y?xxx?0

xlnx y?e 解出y'

lny?xlnx

y'?lnx?1解出y' y

（6）用参数表示函数的求导公式

dydydt?'(t)??设x??(t),y??(t),则

dxdx?'(t)dt

(?'(t)?0)

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