清华大学版理论力学课后习题答案大全 第4章运动分析基础

第2篇 工程运动学基础

第4章 运动分析基础

4－1 小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R（如图所示）。已知小环的初速度为v0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜?，试确定小环

2A的运动规律。

2 解：asin??a?v，a?nRv2 Rsin?A

θ O v a a?dv?acos??tdt v?ds?v0Rtan?

dtRtan??v0tstvRtan?0ds??0?0Rtan??v0tdt

s?Rtan?lnRtan?

Rtan??v0t

tv2，vdv1??v0v2?0Rtan?dt Rtan?习题4－1图

4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。 y2??x?3sint?x?4t?2t 1．?， 2．?

23y?2cos2t?y?3t?1.5t??? 解：1．由已知得 3x = 4y （1） ? v?5?5t

?y?3?3t? ? a??5 ??y??3? 为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。 2．由已知，得

yx1 arcsin?arccos

3224 化简得轨迹方程：y?2?x2

9??4?4t?xOy4(a) x

???4x???2??1?O?1??2123x???(b) 习题4－2图

（2）

轨迹如图（b），其v、a图像从略。

4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为

1s??Rt2，式中s以厘米计，t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一2次到达y坐标值最大的位置时，求点的加速度在x和y轴上的投影。

R y坐标值最大的位置时：?s?1?Rt2??R，?t2?1

22 ax?at??R，ay???2R

y R 解：v?s???Rt，at?v???R，an?v??2Rt2

2M O 习题4－3图

x -1-

4－4 滑块A，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r的鼓轮上，鼓轮以匀角速度ω转动，如图所示。试求滑块的速度随距离x的变化规律。

B 解：设t = 0时AB长度为l0，则t时刻有：

rr A (?t?arctanr?arctan)r?l?x2?r2

l0x2?r20 对时间求导：

?r????xω ?xxx2?r2x x ?r2xxx2?r2?rx x?r22??

习题4－4图

4－5 凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC = e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。 解：（1）顶板A作平移，其上与轮C接触点坐标： y?R?esin? t（?为轮O角速度）

y

??e?cos? t v?y???e?2sin? t a??yωt

x

（2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。

习题4-5图

y ?a

R?e? Re?e?2

R-e?t OO?t 2?t?e?O?-e??π ? (a) (b) (c)

4－6 绳的一端连在小车的点A上，另一端跨过点B的小滑车车绕在鼓轮C上，滑车离地面的高度为h。若小车以匀速度υ沿水平方向向右运动，试求当? = 45°时B、C之间

??各为多少。 绳上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数?解：1．∵P点速度与AB长度变化率相同

?d12xxv vP?(h2?x2)2??（?= 45°，x = h时） ?dt2h2?x221?P?2．同样：aP?v??2dxxxv2 ()??dth2?x222h22h??0，x = h） （∵?x 3．tan??xx，??tan?1 hh习题4-6图

1?x?hxh??2 ?? 2xh?x21?2h?2?2hxxv2?? ??222??2（顺） (h?x)2h

4－7 图示矢径r绕轴z转动，其角速度为 ?，角加速度为 ?。试用矢量表示此矢径端点M的速度、法向加速度和切向加速度。

-2-

dtdv??r?ω?vM?α?r?ω?(ω?r) aM?M?ωdt aMt?α?r

aMn?ω?(ω?r)?ω?v

解：vM?dr?ω?r

z M r?? O x y

习题4-7图

4－8 摩擦传动机构的主动轮I 的转速为n＝600r/min，它与轮II的接触点按箭头所示的方向移动，距离d按规律d＝10-0.5t变化，单位为厘米，t以秒计。摩擦轮的半径r＝5cm，R＝15cm。求：（1）以距离d表示轮II的角加速度；（2）当d＝r时，轮II边缘上一点的全加速度的大小。 n I 解：

II r （1）?2d??nr，?2??nr

3030d??600?5?0.550??nrd rad/s2 ?2????30d230d2d22242244（2）a?r????r2500???n?59220cm/s2

r4304R 习题4-8图

d

4－9 飞机的高度为h，以匀速度v沿水平直线飞行。一雷达与飞机在同一铅垂平面内，

雷达发射的电波与铅垂线成? 角，如图所示。求雷达跟踪时转动的角速度? 和角加速度?与h、v、? 的关系。

解：tan??vt

h???vcos2? ??v，???co2s?hhvv2? ??????sin2????2sin2?co2s?

hhv

h ?

习题4-9图

4－10 滑座B沿水平面以匀速v0向右移动，由其上固连的销钉C固定的滑块C带动槽杆OA绕O轴转动。当开始时槽杆OA恰在铅垂位置，即?0；销钉C位于C0，OC0＝b。试求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。 A解：tan??v0t，??arctanv0t rad

bb ?????bv0 rad/s

22b2?v0tC0 B v0 32bv0t ??????2222 (b?v0t)? b

习题4-10图

4－11．设? 为转动坐标系Axyz的角速度矢量，i、j、k为动坐标系的单位矢量。试证明：

?dj??dk??diω???k?i???i?j????dt??dt??dt

?j?k? -3-

证：?dj?k?(ω?j)?k?ω?i??x dtdk?i?(ω?k)?i?ω?j??y dtdi?j?(ω?i)?j?ω?k??k dt?等式右侧??xi??yj??zk?ω

证毕

-4-

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