武汉科技大学 - 信号与系统习题精解第7章

第7章 连续时间系统的频域分析

7.1 学习要点

1 频率响应的定义

频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励的傅里叶变换F(j?)def之比，即H(j?)?Y(j?)F(j?)。

j???H(j?)可写为：H(j?)?H(j?)e?,其中，H(j?)是输出与输入信号的幅度

之比，称为幅频特性（或幅频响应）；?(?)是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。

2虚指数信号通过线性系统

假设一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，若有激励信号

f(t)?ej?t　　　　???t??

则系统的零状态响应为：

yf(t)?H(j?)ej?t

j?t所以，当虚指数信号e3 正弦信号通过线性系统

j?t通过线性系统时，其零状态响应就是用e乘以H(j?)。

若线性系统的激励为正弦信号

f(t)?Acos?t?A2(ej?t?e?j?t)　　　　???t??

则系统的零状态响应为：

yf(t)?A2H(j?)(ej?t?e?j?t)?AH(j?)cos??t??(?)?

所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与

H(j?)模值的乘积，其相位为激励的初相位与H(j?)相位的和。

4 非正弦周期信号通过线性系统

周期为T的非正弦周期信号f(t)可展开为：

?f(t)??Fn???nejn?t

170

式中，

Fn?1TT?22?Tf(t)e?jn?tdt

则线性系统对该信号的零状态响应为：

?yf(t)??Fn????nH(jn?)ejn?t

??n???FnH(jn?)ej?n?t??(n?)??(n?)?

??F0??2Fn?1nH(jn?)cos?n?t??(n?)??(n?)?

式中，Fn?Fnej?(n?)，H(jn?)?H(jn?)ej?(n?) 。

所以，当周期信号f(t)作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。

5 非周期信号激励下系统的响应

当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为f(t)时，系统的零状态响应为：

y(t)?f(t)*h(t)

对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：

Y(j?)?F(j?)H(j?)

即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得

Y(j?)后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。

6 系统实现无失真传输的条件：

（1）系统在全部频率范围(??,??)内为常数，即系统的通频带应为无穷大；

（2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即?(?)在整个频率范围内与?成正比。

设输入信号为f(t)，那么经过无失真传输，输出信号应该为：y(t)?Kf(t?td)，即输出信号的幅度是输入信号幅度的K倍，而且比输入信号延时了td秒。其幅频响应和相频响应分别为：

H(j?)?K??

?(?)???td?信号通过系统的延时为：

td??d?(?)d?

7 理想低通滤波器的定义

具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。

171

H(j?)K??c0?c?(?)?

图7-1 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性

可见，该滤波器对低于?c的频率成分不失真地全部通过，而对高于?c的频率成分完全抑制掉，称?c为截止角频率。所以，???c的频率范围称为通带；???c的频率范围称为阻带。理想低通滤波器的频率响应函数为：

?j?td????c?KeH(j?)??

??0???c8 理想低通滤波器的冲激响应

理想低通滤波器的冲激响应为：

h(t)??cK?Sa[?c(t?td)]

取k?1，其波形如图7-2所示。

?h(t)?cSa[?c(t?td)]??c?0tdt图7-2 理想低通滤波器的冲激响应

由图7-2可知，冲激响应h(t)的波形不同于激励信号?(t)的波形，产生了严重失真。另外，冲激响应h(t)在t?0的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。

9 理想低通滤波器的阶跃响应

理想低通滤波器的阶跃响应为：

g(t)?K2?K?Si[?c(t?td)]

取k?1，g(t)的波形如图7-3所示。

172

g(t)?11211?Si[?c(t?td)]2?tr0td图7-3 理想低通滤波器的阶跃响应

t

由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。

7.2 精选例题

例1 已知一个连续LTI系统可用号作用下的输出y(t)： （1）f(t)?e?tu(t)

（2）f(t)?u(t)

dy(t)dt?2y(t)?f(t)描述，利用傅里叶变换求下列输入信

解：对微分方程求傅里叶变换，得：

j?Y(j?)?2Y(j?)?F(j?)

频率响应为：

H(j?)?Y(j?)F(j?)?12?j?

（1）输入f(t)?eu(t)，其傅里叶变换为F(j?)??t11?j?1，

Y(j?)?F(j?)H(j?)?11?j??2?j?

求其反变换可得y(t)?(e?t?e?2t)u(t)。

（2）输入f(t)?u(t)，其傅里叶变换为F(j?)???(?)?1j?，

?1?11?Y(j?)?F(j?)H(j?)????(?)???????j??2?j?2??

?1????j????11?????22?j? ??173

求其反变换可得y(t)?12(1?e?2t)u(t)。

例2 如例2图所示的RC电路，若激励电压源Us(t)为单位阶跃信号u(t)，求电容电压

Uc(t)的零状态响应。

?RC?Us?t??Uc?t??

例2图

解：电路的频率响应函数为：

1H(j?)?Uc(j?)Us(j?)?j?CR?1j?C?1RCj??1RC????j?

式中，??1RC。单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换为：

Us(j?)???(?)?1j?

可得零状态响应Uc(t)的频谱函数为：

Uc(j?)?H(j?)Us(j?)??1??????(?)???(?)? ????j??j????j?j?(??j?)?考虑到冲激函数的取样性质，得：

Uc(j?)???(?)?1j??1??j?

取上式的傅里叶反变换，得输出电压

Uc(t)?12?12sgn(t)?e??tu(t)?(1?e??t)u(t)

式中，??1RC。

2?j?2?j?例3 某LTI系统的频率响应为H(j?)?，若系统输入为f(t)?cos(2t)，求该系

174

统的输出y(t)。

解：因为F(j?)????(??2)??(??2)?，所以系统的输出y(t)的傅里叶变换Y(j?)为：

Y(j?)?H(j?)F(j?)?2?j?2?j?????(??2)??(??2)??j???(??2)??(??2)?得输出为y(t)?sin2t。

例4 已知某一理想低通滤波器的频率响应为H(j?)?G240(?)，若输入信号为

f(t)?20cos(100t)cos(10t)，求输出y?t?。

24解：对输入信号进行化简，得：

f(t)?10cos(100t)?5cos(100?2?10)t?5cos(2?1044?100)t

44?0?100，即输入信号包含了三个频率成分：?1?100?2?10以及?2?2?10?100。

由于系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让?0?100的频率分量通过，而?1和?2无法通过，故y(t)?10cos(100t)。

例5 已知系统框图如例5图所示，其中G1(t)为门函数，子系统的单位冲激响应为：

sin23???h1(t)???(t?2n)， hn???(t)?2?tt

系统输入为e(t)?cos?t（???t???）。 （1）求子系统输出?(t)的傅里叶变换；

1k?2（2）证明?(t)傅里叶系数为Ck?（3）求系统的稳态响应。

?(1?k)2cos；

??t?e?t?G1?t?h1?t?h2?t?r?t?

例5图

解：（1）?(t)??e(t)?G1(t)??h1(t)，

175

因为 e(t)?E(j?)????(???)??(???)?，G1(t)?Sa?由频域卷积定理得：

e(t)?G1(t)?12????? ?2????(???)??(???)??Sa????1?????????????Sa???Sa?2?2?2?2??????? ??再由时域卷积定理可得：

?(t)?W(j?)?1??????????Sa?Sa????2??2?2??????H1(j?) ????而h1(t)???(t?2n)的周期Tn????2，角频率为?1??，由于其单周期h10(t)??(t)的傅

里叶变换为H10(j?)?1，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：

??h1(t)??n???1TH10(j?)|??n?1?ejn??12???en???jn?

故其傅里叶变换为：

H1(j?)?12?????2??n???(??n?)????(?n????n?)

则

W(j?)?1??????????Sa?Sa????2??2??2???????H1(j?)???2?2cos2n?2??(??n?)2　　　　??n?????(n?)??2cosn?2

　　??n???1?n2??(??n?)（2）由（1）知?(t)也是周期T?2，角频率为?1??的周期信号。若?(t)的傅里叶级数

??为?(t)??Wn???nejn?1，则其傅里叶变换为：

??W(j?)?2??Wn???n?(??n?)

与（1）的结果相对比直接可得Wn?

2。 2?(1?n)176

cosn?sin3?2?tt?G3?(?)，即系统h2(t)是一个理想低

（3）由傅里叶变换的对称性可知h2(t)?通滤波器，其截止频率为

3?2。由（2）知?(t)的基波频率为?1??，则2次谐波和2次

谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：

r(t)?1??14(ej?t?e?j?t)?1??12cos(?t)

sin5t?2cos997t，

例6已知系统的单位冲激响应为h(t)?求系统的输出y(t)。 解：显然有

h(t)?sin4t4t?4sin4t?t输入f(t)??2cos1000t，

?t??2cos1000t?Sa(4t)?8?cos1000t

由傅里叶变换的对称性可得：

4?Sa(4t)?G8(?)

再根据频移特性可得：

4?Sa(4t)?2cos1000t?G8(??1000)?G8(??1000)

即

H(j?)?G8(??1000)?G8(??1000)

同理可求得：

F(j?)?G10(??997)?G10(??997)

根据时域卷积定理，可得：

Y(j?)?E(j?)H(j?)?G6(??999)?G6(??999)

由

3?Sa(3t)?G6(?)及频移性质得y(t)?6?Sa(3t)cos999t。

7.3 习题精解

1. 已知某LTI系统的单位冲激响应为h(t)?ef(t)?e?bt?atu(t),a?0，系统的输入为

u(t),b?0，求该系统的输出。

解：输入信号的频谱为：F(j?)?1b?j?

177

系统的频率响应为：H(j?)?则输出信号的频谱为：

1a?j?

Y(j?)?F(j?)H(j?) 　　　　?　　　　?11(b?j?)(a?j?)(b?a)(a?j?)?1?1(a?b)(b?j?)?1?1

输出信号y(t)为：

?1?at?bt(e?e)u(t)　　a?b? y(t)??b?a?te?atu(t)　　　　　　　a?b?2. 已知某LTI系统由微分方程y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f(t)描述，求该系统对信号

f(t)?e?3tu(t)的响应。

解：输入信号的频谱为：F(j?)?1j??31

系统的频率响应为：H(j?)?则输出信号的频谱为：

(j?)?3(j?)?22

Y(j?)　?F(j?)H(j?)　　　　?1(j??3)?1?(j?)2?3(j?)?2?

　　??1?111???????2?j??1j??3?j??2输出信号y(t)为：

y(t)?(12e?t?e?2t?12e?3t)u(t)

3. 已知系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f(t)，用傅里叶变换法求在周期信号

f(t)?Fmcos?0t　　(???t??)激励下的正弦稳态响应y(t)。

解：由于激励是在t???时刻接入系统的，故不存在零输入响应，即全响应就是零状态响

应，且是正弦稳态响应。

F(j?)?Fm???(???0)??(???0)?

178

H(j?)?1(j?)?3j??22?H(j?)ej?(?)

式中，H(j?)?1(2??)?(3?)222，?(?)??arctan3?2??2

Y(j?)　?H(j?)F(j?)　　　　　?Fm?H(?j?0)ej?(??0)?(???0)?Fm?H(j?0)ej?(?0)?(???0)

又由于H(j?0)?H(?j?0)，?(??0)???(?0) 可得：

y(t)?FmH(j?0)e?j??0t??(?0)??e2j??0t??(?0)??FmH(j?0)cos??0t??(?0)?

4. 已知LTI系统的微分方程为y??(t)?4y?(t)?3y(t)?f(t)，求系统的频率响应H(j?)和 冲激响应h(t)。

解：对微分方程两边作傅里叶变换

?(j?)得系统的频率响应为：

H(j?)?Y(j?)F(j?)?2?4(j?)?3Y(j?)?F(j?)

?1(j??3)(j??1)??1??1?11????? ????2?j??1?2?j??3?单位冲激响应为：

h(t)?12(e?t?e?3t)u(t)

5. 已知LTI系统的输入信号为f(t)?sin6?t?cos2?t，当系统的单位冲激响应为

h(t)?Sa(4?t)时，求其输出y(t)。

解：对输入信号求傅里叶变换

F(j?)?j???(??6?)??(??6?)?????(??2?)??(??2?)?

对单位冲激响应求傅里叶变换得到该系统的频率响应

H(j?)?14G8?(?)

输出信号的频谱为：

Y(j?)?F(j?)H(j?)?j?4??(??6?)??(??6?)???4??(??2?)??(??2?)?

对其求傅里叶反变换得输出信号

179

y(t)?14sin6?t?14cos2?t

6. 因果线性时不变系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f?(t)?3f(t)， （1）求频率响应； （2）求单位冲激响应；

（3）求f(t)?e?tu(t)时的响应y(t)。 解：（1）对微分方程两边作傅里叶变换

(j?)?3(j?)?2Y(j?)?(j??3)F(j?)

2?可得频率响应

H(j?)?Y(j?)F(j?)?j??3(j??2)(j??1)?2j??1?1j??2

（2）单位冲激响应为：

h(t)?(2e?t?e?2t)u(t)

（3）当输入为f(t)?e?tu(t)时，F(j?)?1j??1，则输出信号的频谱为：

Y(j?)?F(j?)H(j?)?j??3(j??1)(j??2)2

输出信号为：

y(t)?(2te?t?e?t?e?2t)u(t)

7. 有一因果LTI系统，其频率响应为H(j?)?1j??3，对于某一特定的输入f(t)，其输

出为y(t)?e?3tu(t)?e?4tu(t)，求f(t)。

解：输出y(t)的傅里叶变换为：

1j??31j??4Y(j?)??

则输入f(t)的傅里叶变换为：

Y(j?)H(j?)1j??4F(j?)??

对F(j?)求傅里叶反变换，得：

180

f(t)?e?4tu(t)

8. 如题8图所示，以u(t)为输出，求系统的频率响应H(j?)，欲使系统无失真传输信号， R1，R2应为何值。

R1R2i(t)u(t)LC

题8图

解：由电路图可得：

(R)??1?1?j??R2?j??j?)???U(?I(j?)

R?1?1?R2?j???????系统函数为：

(R1)?j???RR1?1R2?H(j?)?U(j?)?2????I(j?)?(R?1?

1?R2)?j???????欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件：

H(j?)?K??(?)???t?

d?可见，当R1?R2?1?时，可满足此条件，有

H(j?)?1，?(?)?0

所以

R1?R2?1?

9. 如题9图所示，求系统的频率响应H(j?)及系统无失真传输的条件。

181

L1R1f(t)R2L2y(t)

题9图

解：由电路图可得：

j?L2R2Y(j?)?j?L2?R2j?L1R1j?L1?R1?j?L2R2j?L2?R2R2L2H(j?)?Y(j?)F(j?)?j?L2?R2L1R1j?L1?R1?L2R2j?L2?R2F(j?)

系统函数为：

欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件：

H(j?)?K??

?(?)???td?可见，当R1?R2?1?时，可满足此条件，有

H(j?)?1，?(?)?0

所以

R1?R2?1?

10. 低通滤波器的频率特性如题10图所示，输入f(t)?2sin(10t)sin(30t)，求输出y(t)。

H(j?)2-30030?

题10图

解：已知

f(t)?2sin(10t)sin(30t)?cos(20t)?cos(40t)

由于f(t)是由2个频率的正弦分量组成。频率为20的分量能通过该低通滤波器，频率为40

182

的分量不能通过。故输出为：

y(t)?2cos(20t)

11. 证明LTI系统对周期信号的响应仍是周期信号且不会产生新的谐波分量或新的频率分量 量。

解：分别讨论正弦信号和非正弦周期信号的情况。 （1）正弦信号

若有激励

f(t)?Acos?t?A2(ej?t?e?j?t ???t?? )　系统的零状态响应为：

yf(t)?A2H(j?)(ej?t?e?j?t)?AH(j?)cos??t??(?)?

由此可得，LTI系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与

H(j?)模值的乘积，其相位为激励的初相位与H(j?)相位的和。

（2）非正弦周期信号

若有激励

?f(t)??Fn???nejn?t

式中，Fn?1TT?22?Tf(t)e??jn?tdt。系统的零状态响应为：

yf(t)??Fn???nH(jn?)ejn?t?

n　　　?F0??2Fn?1H(jn?)cos?n?t??(n?)??(n?)?j?(n?)式中，Fn?Fnej?(n?)，H(jn?)?H(jn?)e。可以看出，当周期信号f(t)作用

于LTI系统时，其零状态响应yf(t)仍为周期信号，周期和f(t)相同，且不会产生新的谐波分量或新的频率分量。

12. 某一信号处理系统，已知f(t)?20cos(100t)cos(10t)，理想低通滤波器的频率响应 为H(j?)?G240(?)，求系统的零状态响应y(t)。 解：对输入信号化简得：

f(t)　?20cos100tcos10t　　　?10cos100t?10costcos2?10t　　　?10cos100t?5cos(100?2?10)t?5cos(2?104442424

?100)t44?0?100，?1?100?2?10以及?2?2?10?100。即输入信号包含了三个频率成分，

183

由于系统传输函数是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让?0?100的频率分量通过，而?1和?2无法通过，故y(t)?10cos(100t)。 13. 若系统的频率响应H(j?)?2j??3，激励为周期信号f(t)?sint?sin(3t)时，求响

应y(t)，并讨论经传输是否引起失真。 解：对输入信号求傅里叶变换得：

F(j?)?j???(??1)??(??1)??(??3)??(??3)?

由于

H(j?)?2j??3

可得：

Y(j?)　?F(j?)H(j?)?2? 222　　　　?j???(??1)??(??1)??(??3)??(??3)?3?j3?3j3?3j?3?j?对其求傅里叶反变换得：

?11?jty(t)?j?e?e3?j?3?jjt?13?3je?3jt?13?3je3jt?? ?可见，经过传输信号引起了失真。

184

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/71zf.html