陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答（1-2章）

第一章习题

1.1 已知不变线性系统的输入为

g?x??comb?x? 系统的传递函数Λ??f?'?。若b取（1）b??.?（2）b??.?，求系统的输出g?x?。并画出?b?输出函数及其频谱的图形。

δ?x???? 图形从略， 答：（1）g?x??F? （2）g?x??F?δ?fx??δ?fx????δ?fx???????cos??πx? 图形从略。

1.2若限带函数f?x,y?的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零， （1）如果a?????????????，b?，试证明 LW

??x??x?sinc??sinc???f?x,y??f?x,y? ab?a??b??fxfy?F?f?x,y???F?f?x,y??rect??L,W?证明：

????F?f?x,y??rect?afx,bfy??

?x??x??f?x,y??f?x,y??F-1?F?f?x,y??rect?afx,bfy???sinc?sinc????ab?a??b???， b?，还能得出以上结论吗？ LW（2）如果a?答：不能。因为这时F?f?x,y??rect??

?fxfy,?LW????F?f?x,y??rect?afx,bfy?。 ?1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

1

h?x,y???sinc??x???y?

试用频域方法对下面每一个输入fi?x,y?，求其输出gi?x,y?。（必要时，可取合理近似） （1）f??x,y??cos??x

g??x,y??F???F?f??x,y??F?h?x,y????F???F?cos?πx?F??sin?7x?δ?y???答：

??f???F?F?cos?πx?rect?x???F???F?cos?πx???cos?πx???????

（2）f??x,y??cos??πx?rect?答：

?x?rect?y? ???????????x????y??F??sin?7x?δ?y???g??x,y??F???F?f??x,y??F?h?x,y????F???F?cos??πx?rect?rect??????????????????x???f???y??F????F?cos?πx???????sinc?75fx?sinc???fy??rect?x???cos??πx?rect?rect?????????????????（3）f??x,y?????cos??πx??rect??x?

?????x?????g??x,y??F???F????cos??πx??rect????F??sin?7x?δ?y?????????????f???F????F???cos??πx?????sinc?75fx?δ?fy??rect?x?????????????fx????F??????δ?x??δ?fx????δ?fx???????sinc?75fx?δ?fy??rect??????????????x???f???F?????sinc?75fx?δ?fy?rect?x???F?????sinc?75fx?δ?fy???rect????????????答：

?x???rect??x?rect??y?? （4）f??x,y??comb答：

2

?x???rect??x?rect??y???F??sin?7x?δ?y???g??x,y??F???F?comb?fx?fx???fy??????????????????F??combfδfsincsincrect?????xy??????2????????????????rect?fx?????????????F????δf,f??.???δf??,f??.???δf??,f??.???δf??,f???????xyxyxyxy?????????F???0.25δ?fx,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy??????.????.???cos?2πx???.???cos?6πx?

1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 gi?x???comb??rect??????x?????x???Λ?x?

???????对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）H?f??rect??f?? ????f??f???rect?? ??????（2）H?f??rect?略.

1.5 若对二维函数

h?x,y??asinc?ax?

?抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

?答：?F?h?x,y???Fasinc?ax??Λ????fx??δ?fy? ?a? 3

?X?????Bx?a;Y??

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用a?b表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 gs?x,y??g?x,y??comb????x?X??y???x??y??comb???rect??rect?? ??Y???a??b?试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g?x,y?。 答：因为a?b表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g?x,y?也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”f?x,y????x?，系统对线脉冲的输出响应称为线响应L?x?。如果系统的传递函数为Hfx,fy，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿fx轴的截面分布H?fx,??。

证明：F?L?x???F?δ?x??h?x,y???δfyHfx,fy?H?fx,??

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间fx?Bx，fy?By之外恒为零，系统输入为非限带函数g??x,y?，输出为g?x,y?。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

'??????''构成的抽样函数g?它作为等效输入，可产生相同的输出g?x,y?，并请确定g? ?x,y?，?x,y?。

' 4

答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P45。 为了便于从频率域分析，分别设：

物的空间频谱 A0(fx,fy)?F{g0(x,y)}； 像的空间频谱 Ai(fx,fy)?F{gi(x,y)}； 等效物体的空间频谱 A'0(fx,fy)?F{g'0(x,y)}； 等效物体的像的空间频谱 A'0(fx,fy)?F{g'0(x,y)}.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在fx?Bx,fy?By之外恒为零，故可将其记为：

?fH(fx,fy)?rect?x?2Bx?fy?rect???2B??y?、 ???利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

?fy?fx?A0(fx,fy)?H(fx,fy)rect??rect??2B ?2Bx??y?Ai(fx,fy)?frect?x法是把A0(fx,fy)??2Bx?fy???rect??2B??y??? ?在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办

?安置在fxfy平面上成矩形格点分布的每一个???(2Bxn,2Bym)点周围，选择矩形格点在fx、fy方向上的间隔分别为2Bx和2By,以免频谱

混叠，于是

?fA'0(fx,fy)?A0(fx,fy)?rect?x?2Bx

?fy??rect??2B??y?fy??rect??2B??y??????fx?2Bxn,fy?2Byn? ???n?????m?????f1?comb?x??4BBxy?2Bx??fy??comb??2B??y? ????f?A0(fx,fy)?rect?x?2Bx对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许A'0(fx,fy)的中央一个周期成份（n?m?0）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

?fA'0(fx,fy)?H(fx,fy)rect?x?2Bx?fy??rect??2B??y? ????A'i(fx,fy) ?Ai(fx,fy)

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第二章习题：

02.1 一列波长为?的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为30，与y轴夹角为

600，试写出其空间频率及z?z1平面上的复振幅表达式。

?3????f?答：fx? , y , U?x,y,z???expjk1zexpπj2x??2λ?λ?λ?λ????y??U??,?,?? ?

2.2 尺寸为a×b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面

上的透射光场的角谱。 答：U?x,y??rect?

2.3 波长为?的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的

模板，其振幅透过率为tx???.????cos答:：

?x?rect?y? ，A?cosα,cosβ??absinc?acosα?sinc?bcosβ? ，

?????????λ??λ?λ??λ??a??b??????πx0?，求紧靠孔径透射场的角谱。 ?λ??cosαcosβ??cosα,cosβ???.???3λδ??λcosα?????λA?,?????.?δ????λ?λ?λ?λ?λ???cosαcosβ???cosα???cosα???.?δ?,???δ??????.???δ?λ?λ?λλ?λ?λ????

cosα???cosβ?δ?????δ???λ?λ????λ???δ?cosβ????????λ?2.4 参看图2-13，边长为?a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落

在??,??点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出?????时，孔径频谱在x方向上的截面图。

6

图2.13 （2.4题图）

答：tx?,y??rect????x??rect?y???rect?x??ξ??????a???a??a??y??η?rect??? ??a? Ftx?,y???a?sinc?2afx?sinc2afy?a?sinc?afx?sincafyexp-j2πafx?fy

????????????U?x,y???k????x?y???exp?jkz?exp?j?jλz?2z????2ax?sinc?2ay??a?sinc?ax?sinc?ay?exp?-j2πa?x?y????asinc???????????????λz??λz??λz??λz???λzλz????

?x??2ay??a?sinc?ax?sinc?ay?exp?-j2πa?x?y??I?x,y??2??a?sinc?2asinc????????????λz?λz??λz??λz??λz???λzλz??

2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为

?d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍

射图样的强度分布。假定b??a及d??.?a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差?，上述结果有何变化？

图2.14（2.5题图）

答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P73。

（1）如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)及(0,?之和：

d

2d)的矩形孔径振幅透射率2xt(x1,y1)?rect(1)rect(a

y1?ddy1?2)?rect(x1)rect(2) （1） bab7

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

U0(x1,y1)?1 ，

透射光场

xU(x1,y1)?U0(x1,y1)?t(x1,y1)?rect(1)rect(ay1?ddy1?2)?rect(x1)rect(2) （2） babx0y,fy?0），即 ?z?z由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U(x1,y1)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx??k22?exp(jkz)exp?j(x0?y0)?2z???FU(x,y) （3）

U(x0,y0)??11?j?z利用傅立叶变换的相移定理，得到

d??y?1?x12)??FF?U(x1,y1)??F?rect()rect(?ab????d??y?1?x12)? rect()rect(??ab?????absinc(afx)sinc(bfy)?[exp(?j?fyd)?exp(j?fyd)]

?2absinc(把它带入（3）式，则有

ax0by?dy0)sinc(0)?cos() ?z?z?z?k22?exp(jkz)exp?j(x0?y0)??2z??2absinc(ax0)sinc(by0)?cos(?dy0)

U(x0,y0)?j?z?z?z?z强度分布

?2ab?2?ax0?2?by0?2??dy0?I(x0,y0)??sincsinccos???????

?z?z?z?z????????不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

d?d???x??y????t(x1,y1)?rect?1?rect?1?????x1,y1?????x1,y1??? （4）

2?2????a??b???它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。

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2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为t?x???step?x??。采

用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在x方向上的振幅分布曲线。

图2.15 （2.6题图）

答：Ftx?,y??Fstepx???δ?fx?????????????????x?λz??y?????δf?δ?? ?y?δ????j?πfx????λz?j?πx??λz?U?x,y????k??????x?λz??y?exp?jkz?exp??j?x?y????δ?????δ?jλz2z?λzj?πxλz??????????x???y?exp?jkz??xy???δ?,??exp?jk?z??δ??????j?λz?λzλz??πx??2z???λz??

振幅分布曲线图从略。

2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如

何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布g?x,y?是一个实函数，其傅里叶变换Gfx,fy是厄米型函数，即： Gfx,fy?G?fx,?fy 因此I?fx????*??,fy??G?fx,fy???G*??fx,?fy???I??fx,?fy?，所以夫琅和费衍射图样有一个对

称中心。

（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y轴建立坐标系。有：

9

g?x,y??g??x,y? 因此 Gfx,fy?G*?fx,fy 同时 Gfx,fy?G*?fx,?fy 所以

???????G*?fx,?fy??G??fx,fyG?fx,fy??G?fx,?fy????G?f*x,fy?

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每

一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为t?x?,y?，N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为

???δ?x?x,y?y?，则衍射屏的透过率可表示为

Nii tx?,y??t?x?,y??其傅里叶变换可表示为

Ftx?,y??Ft?x?,y??F??????δ?x?x,y?y?，

Nii??????????δ?x?x,y?y???，

??Nii该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

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t?r????????r??cosar??circ?? ?????a?（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。

（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P116。 （1）解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

?x2?y2?1122?t(x,y)???cos[?(x?y)]?circ??l?22???? ???? （1） ???x2?y21?112222? ???exp[?j?(x?y)]?exp[j?(x?y)]??circ??4l?24??（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子exp??j???k2(x?y2)?比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分2f?别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似

?x2?y2与透镜，因子circ??l? （2）解

??表明该屏具有半径为l的圆形孔径。 ??把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

1kexp[?j?(x2?y2)]项，令??，则有 42f1 f1?k?? 2???1?kexp[j?(x2?y2)]项，令??，则有 42f2焦距f1为正，其作用相当于会聚透镜，对于 f1??k??? 2??? 11

焦距f2为负，其作用相当于发散透镜，对于“幅衰减，可看作是 f3?? （3）解

1”这一项来说，平行光波直接透过，仅振2由于改衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长?成反比。例如取

?red?6900A，?blue?4000A，则有

fred?。。4000fblue 6900 ?0.57fblue

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10 用波长为??6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与衍

射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)z??衍射分别要求 z?????π???122(L??L?)及式(2-57)z??k(x0?y0)有菲涅耳衍射和夫琅和费?λ2π???π???(L??L?)即z?????????.?mm ???????λ???.????????? z??kx??y??

????π???????.?mm ???.???????

12

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在

轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为

?x??y?t?x?,y???circ????a?根据式(2.53)有

?????x??y??U??x?,y???circ????a??? ???x??y??exp?jkz??k???????U?x,y??exp?j?x?y????circ???jλza????z??? ??k?π?dxdy??y???exp??j????exp?jxxx?yy????????λz?????z??轴上的振幅分布为

??x??y??exp?jkz?????exp?jk?x??y???dxdyU??,?,z??circ?????jλz???a??z???????

?πaexp?jkz??jkr??rdrdθ?exp?jkz????exp?jka????exp??????jλz???z?z????????轴上的强度分布为

k??????ka???U??,?,z??exp?jkz????exp?ja????cos????????z?z????? ???k????sin??a???z?

2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 tx??a?bcos?π2??x?d

式中，d为光栅周期，a?b??，a?b??。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数

zTd?zTd???值：（1）z?zT?；（2）z?；（3）z?（式中zT称作泰伯距离）

???????d? 13

时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 Ux?,y??a?bcos?π强度分布为

??x?d

x???? I?x?,y????a?bcos?π?

d??角谱为

x???A??fx,fy?????a?bcos?π?exp??j?π?x?fx?y?fy??dx?dy?d?????b????????aδ?fx,fy???δ??fx?,fy??δ?fx?,fy?????d??d??

传播距离z后，根据式(2.40)得到角谱

A?fx,fy,z??A??fx,fy?expjkz???λfx????λfy???????b?????????????aδf,f?δf?,f?δf?expjkz???λfx????λfy?? ??x?x,fy???xyy??????d??d?????b?????????λ????aδ?fx,fy?exp?jkz???δ?fx?,fy??δ?fx?,fy??exp?jkz?????2??d??d????d????利用二项式近似有

??????λ????λ?????jπzλ? ??????expjkzexp exp?jkz??????exp?jkz??????????d??dd????????????故

?b?????????πzλ???? A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,f?δf???x?x,fy??exp??j???xyy???2ddd??????????（1）z?zT??d??时

??πd???b??????????? A(fx,fy,z)?exp?j???aδf,f?δf?,f?δf???x?x,fy???xyy???2??d??d????λ??与A?fx,fy仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

?? 14

zTd??（2）z?时 ????πd???b????????? ??A(fx,fy,z)?exp?j???aδf,f?δf?,f?δf???x?x,fy???xyy???2??d??d????λ??对应复振幅分布为

x?d?x U?x,y??a?bcos?π?a?bcos2 πdd因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。

zTd??（3）z? ????b?????????π???? A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,f?δf???x?x,fy??exp??j??xyy???2??d??d???????对应复振幅分布为

Ux,y?exp?jkz?a?jbcos?π强度分布为

Ix,y?a?bcos?π

2.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为?，光栅

整体孔径为边长L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，?应如何选择？

?????x? ?d?????2x d 15

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