高中物理追击和相遇专题训练

追击和相遇问题

【学习目标】

1、掌握追及及相遇问题的特点 2、能熟练解决追及及相遇问题 【自主学习】

1. 相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键

画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：tA tB t0

（2）位移关系：xA xB x0

（3）速度关系：

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 相遇和追击问题剖析： (一)追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。 2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： ⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追

上前有最大距离的条件：两物体速度 ，即v甲 v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，此情况还存在乙再次追上甲。 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 ⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 3、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t图象的应用。 (二)、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 4.相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求

解。

（2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意

义结合三大关系求解。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式

求解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解

典型例题分析：

例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系： v1 at v2 由A、B位移关系： v1t

（包含了时间关系）

12

at v2t x0 2

(v1 v2)2(20 10)2a m/s2 0.5m/s2

2x02 100

a 0.5m/s2

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1

(20 10)t0 100 2

t0 20s

a tan

20 10

0.5 20

a 0.5m/s2

解3：（相对运动法）

以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2vt2 v0 2ax0

物体的v-t图像的斜率表示

加速度,面积表示位移。

2

vt2 v00 102a m/s2 0.5m/s2

2x02 100

（由于不涉及时间，所以选用速

度位移公式。 ）

a 0.5m/s2

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

1

v1t at2 v2t x0

2

12

代入数据得：at 10t 100 0

2

其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

1

4 a 100 ( 10)2

0 a 0.5m/s2

4 a2

把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

2

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法）

当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

v汽

v自6

at v自 t s 2s

a3

11

xm x自 x汽 v自t at2 6 2m 3 22m 6m

22

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度

6

tan 3 t0 2s t0

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积

xm

1

2 6m 6m 2

动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法）

选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀

2

减速运动v0=-6m/s，a=3m/s，两车相距最远时vt=0

对汽车由公式 vt v0 at （由于不涉及位移，所以选用速度公式。 ）

t

vt v00 ( 6)

s 2s a3

2

对汽车由公式 ：vt2 v0，所以选用速度位移公式。 ）

2as （由于不涉及“时间”

2

vt2 v00 ( 6)2

x m 6m

2a2 3

表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.

解4：（二次函数极值法）

设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

x v自t

当t

62 ( )

2

123at 6t t2 22

2s时， xm

624 ( )

2

6m

思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

3

x 6t t2 0

21

x汽 aT2＝24m

2

【针对训练】

T 4s

v汽 aT 12m/s

例1．在十字路口，汽车以0.5s的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5ms的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1） 什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

2

例2．火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距x处有另一列火车沿同方向以速度v2（对地、且v1 v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，

a应满足什么条件？

分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

例3、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得AB＝

17.5ｍ，BC＝14.0ｍ，BD＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：

（1）该肇事汽车的初速度 vA是多大?

（2）游客横过马路的速度是多大?

分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

【能力提升】

1、为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开

2

始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车的加速度为a=4m／s．该高速

2

公路上汽车间的距离s至少应为多少？(取重力加速度g=10m／s．)

2、客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方120m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s2，问两车是否相撞？

3、如图,A、B两物体相距x=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B

2

此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.

V

4、某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一小石子摄在照片中。已知本次摄影的曝光时间是0.02s，量得照片中石子运动痕迹的长度为1.6cm，实际长度为100cm的窗框在照片中的长度是4.0cm，凭以上数据，你知道这个石子是从多高的地方落下的吗？计算时，石子在照片中0.02s速度的变化比起它此时的瞬时速度来说可以忽略不

2

计，因而可把这极短时间内石子的运动当成匀速运动来处理。（g取10m/s）

5、下列货车以28.8km/h的速度在铁路上运行，由于调事故，在后面700m 处有一列快车以72m/h的速度在行驶，快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000m才停下来： （1） 试判断两车会不会相撞，并说明理由。

（2） 若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求快车刹车后经多长时间与货车

相撞？

【能力训练】

1．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v—t图象如图所示，则（ ）

A．乙比甲运动的快 B．2 s乙追上甲

C．甲的平均速度大于乙的平均速度 D．乙追上甲时距出发点40 m远

２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（ ）

A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同 C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇 3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,

则两车在匀速行驶时保持的距离至

少应为：（ ）

A．s B．2s C．3s D．4s

4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时: （ ）

A．两质点速度相等． B．A与B在这段时间内的平均速度相等． C．A的即时速度是B的2倍． D．A与B的位移相等．

5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。据上述条件（ ）

A．可求出乙追上甲时的速度； B．可求出乙追上甲时乙所走过的路径；

C．可求出乙追上甲所用的时间； D．不能求出上述三者中的任何一个物理量。 6．经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？

2

7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s的加速度作

2

匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

2

8．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

9．A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

10.某辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少

应具有多大的加速度？

【学后反思】

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历年高考题：

1.（2007年全国理综卷Ⅰ23 ）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程。乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0=13.5 m处作了标记，并以V=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m. 求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a；（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.

2.（2008年四川高考理综卷23 ）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A

2

车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？

3.（2009年海南物理卷8）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图像如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为x1和x2（x2>x1）初始时，甲车在乙车前方x0处。则（ ）

A．若x0=x1+x2，两车不会相遇 B．若x0<x1，两车相遇2次 C．若x0=x1，两车相遇1次 D．若x0=x2，两车相遇1次

解析：由图可知甲的加速度a1比乙a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为x1。若x0=x1+x2，速度相等时甲比乙位移多x1<x0，乙车还没有追上，此后甲车比乙车快，不可能追上，A对；若x0<x1，乙车追上甲车时乙车比甲车快，因为甲车加速度大，甲车会再追上乙车，之后乙车不能再追上甲车，B对；若x0=x1，恰好在速度相等时追上、之后不会再相遇，C对；若x0=x2（x2>x1），两车速度相等时还没有追上，并且甲车快、更追不上，D错。

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